Номер 353, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

353. 1) $a^4b^6c^2$;

2) $x^2y^4z^8$;

3) $49x^8y^6$;

4) $100c^8x^6$.

1) Чтобы представить одночлен $a^4b^6c^2$ в виде квадрата другого одночлена, нужно каждый множитель представить в виде квадрата. Это возможно, так как все показатели степеней являются четными числами. Мы используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ в обратном порядке: $x^{mn} = (x^m)^n$.
Для каждого множителя имеем:
$a^4 = (a^{4/2})^2 = (a^2)^2$
$b^6 = (b^{6/2})^2 = (b^3)^2$
$c^2 = (c^{2/2})^2 = (c^1)^2 = c^2$
Теперь объединим полученные выражения в один одночлен:
$a^4b^6c^2 = (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot c^2 = (a^2b^3c)^2$.
Ответ: $(a^2b^3c)^2$.

2) Для представления одночлена $x^2y^4z^8$ в виде квадрата, мы должны найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя.
$\sqrt{x^2} = x^{2/2} = x$
$\sqrt{y^4} = y^{4/2} = y^2$
$\sqrt{z^8} = z^{8/2} = z^4$
Таким образом, исходный одночлен можно записать как квадрат произведения этих корней:
$x^2y^4z^8 = (xy^2z^4)^2$.
Проверка: $(xy^2z^4)^2 = x^2 \cdot (y^2)^2 \cdot (z^4)^2 = x^2y^4z^8$.
Ответ: $(xy^2z^4)^2$.

3) Чтобы представить одночлен $49x^8y^6$ в виде квадрата, необходимо представить в виде квадрата числовой коэффициент и каждую переменную в степени.
Числовой коэффициент $49$ является квадратом числа $7$, так как $49 = 7^2$.
Для переменных, показатели степеней которых четные, делим их на 2:
$x^8 = (x^{8/2})^2 = (x^4)^2$
$y^6 = (y^{6/2})^2 = (y^3)^2$
Собираем все части вместе, используя свойство $(abc)^2 = a^2b^2c^2$:
$49x^8y^6 = 7^2 \cdot (x^4)^2 \cdot (y^3)^2 = (7x^4y^3)^2$.
Ответ: $(7x^4y^3)^2$.

4) Рассмотрим одночлен $100a^8x^6$. Чтобы представить его в виде квадрата, нужно найти одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение.
Сначала находим квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.
Затем находим корни из степеней переменных, деля их показатели на 2:
$\sqrt{a^8} = a^{8/2} = a^4$
$\sqrt{x^6} = x^{6/2} = x^3$
Объединив все части, получаем одночлен, который является квадратным корнем из исходного: $10a^4x^3$.
Таким образом, исходный одночлен является квадратом этого выражения:
$100a^8x^6 = (10a^4x^3)^2$.
Ответ: $(10a^4x^3)^2$.