Номер 351, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Одночлены и многочлены. Параграф 17. Свойства степени с натуральным показателем. Упражнения - номер 351, страница 116.

Условие.

351. Записать в виде степени произведения выражение:

1) $4^5 \cdot x^5$;

2) $2^3 \cdot a^3$;

3) $5^4 \cdot 7^4$;

4) $2^5 \cdot 3^5$;

5) $16a^2$;

6) $81k^2$;

7) $9^7n^7m^7$;

8) $15^3a^3b^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы записать выражение $4^5 \cdot x^5$ в виде степени произведения, используется свойство степени: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований. Это свойство выражается формулой $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

В данном случае основаниями являются $4$ и $x$, а общим показателем степени является $5$.

Применяя формулу, получаем:

$4^5 \cdot x^5 = (4 \cdot x)^5 = (4x)^5$.

Ответ: $(4x)^5$.

2) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $2^3 \cdot a^3$ используем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

Здесь основаниями являются $2$ и $a$, а показатель степени равен $3$.

Следовательно:

$2^3 \cdot a^3 = (2 \cdot a)^3 = (2a)^3$.

Ответ: $(2a)^3$.

3) В выражении $5^4 \cdot 7^4$ оба множителя возведены в одну и ту же степень $4$.

Применяем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, где $a = 5$ и $b = 7$.

Перемножаем основания и возводим результат в общую степень:

$5^4 \cdot 7^4 = (5 \cdot 7)^4 = 35^4$.

Ответ: $35^4$.

4) Для выражения $2^5 \cdot 3^5$ основаниями являются числа 2 и 3, а общий показатель степени равен 5.

По правилу умножения степеней с одинаковыми показателями:

$2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5$.

Ответ: $6^5$.

5) В выражении $16a^2$ необходимо сначала представить числовой коэффициент 16 в виде степени с показателем 2, чтобы он соответствовал показателю степени у переменной $a$.

Мы знаем, что $4 \cdot 4 = 16$, то есть $16 = 4^2$.

Теперь выражение можно переписать в виде $4^2 \cdot a^2$.

Далее применяем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$4^2 \cdot a^2 = (4a)^2$.

Ответ: $(4a)^2$.

6) Аналогично предыдущему заданию, для выражения $81k^2$ представим коэффициент 81 в виде степени с показателем 2.

Известно, что $9 \cdot 9 = 81$, следовательно $81 = 9^2$.

Подставляем это в исходное выражение: $81k^2 = 9^2 \cdot k^2$.

Объединяем основания под общим показателем степени 2:

$9^2 \cdot k^2 = (9k)^2$.

Ответ: $(9k)^2$.

7) Выражение $9^7n^7m^7$ содержит три множителя, каждый из которых возведен в степень 7.

Свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ можно обобщить для любого числа множителей: $a^n \cdot b^n \cdot c^n \dots = (abc\dots)^n$.

Применяем это обобщенное правило для оснований $9$, $n$ и $m$:

$9^7 \cdot n^7 \cdot m^7 = (9 \cdot n \cdot m)^7 = (9nm)^7$.

Ответ: $(9nm)^7$.

8) В выражении $15^3a^3b^3$ все три множителя ($15$, $a$ и $b$) возведены в одну и ту же степень 3.

Используя обобщенное свойство для произведения степеней с одинаковым показателем, получаем:

$15^3 \cdot a^3 \cdot b^3 = (15 \cdot a \cdot b)^3 = (15ab)^3$.

Ответ: $(15ab)^3$.