Номер 344, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

344. 1) $a^4$;
2) $b^6$;
3) $c^{10}$;
4) $x^{20}$.

Для решения данных заданий необходимо представить каждую степень в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием. Мы будем использовать основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание остается неизменным. Формула этого свойства: $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$. Таким образом, чтобы разложить степень на множители, нужно ее показатель представить в виде суммы двух чисел. Для каждого задания существует несколько возможных вариантов решения.

1) Требуется представить степень $a^4$ в виде произведения. Показатель степени равен 4. Представим число 4 в виде суммы двух натуральных чисел, например, $4 = 2 + 2$. Используя свойство степеней, получаем: $a^4 = a^{2+2} = a^2 \cdot a^2$. Также можно использовать разложение $4 = 1 + 3$, тогда $a^4 = a^{1+3} = a^1 \cdot a^3 = a \cdot a^3$.

Ответ: $a^2 \cdot a^2$ (возможны и другие варианты, например, $a \cdot a^3$).

2) Представим степень $b^6$ в виде произведения. Показатель степени равен 6. Разложим 6 на сумму двух слагаемых, например, $6 = 3 + 3$. Тогда: $b^6 = b^{3+3} = b^3 \cdot b^3$. Другой возможный вариант — разложение $6 = 2 + 4$, что дает $b^6 = b^{2+4} = b^2 \cdot b^4$.

Ответ: $b^3 \cdot b^3$ (возможны и другие варианты, например, $b^2 \cdot b^4$).

3) Представим степень $c^{10}$ в виде произведения. Показатель степени равен 10. Существует много способов разложить 10 на сумму двух слагаемых. Например, $10 = 5 + 5$. В этом случае: $c^{10} = c^{5+5} = c^5 \cdot c^5$. Ещё один пример: $10 = 2 + 8$, тогда $c^{10} = c^{2+8} = c^2 \cdot c^8$.

Ответ: $c^5 \cdot c^5$ (возможны и другие варианты, например, $c^2 \cdot c^8$).

4) Представим степень $x^{20}$ в виде произведения. Показатель степени равен 20. Возьмем, к примеру, разложение $20 = 10 + 10$. Тогда: $x^{20} = x^{10+10} = x^{10} \cdot x^{10}$. Другой вариант, используя разложение $20 = 5 + 15$, получим $x^{20} = x^{5+15} = x^5 \cdot x^{15}$.

Ответ: $x^{10} \cdot x^{10}$ (возможны и другие варианты, например, $x^5 \cdot x^{15}$).