Номер 345, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Возвести в степень произведение (345–348).

345.

1) $(3 \cdot 5)^4$; 2) $(7 \cdot 6)^5$; 3) $(1,3 \cdot 8)^5$; 4) $(4 \cdot \frac{1}{7})^3$.

Для решения этих задач используется свойство степени произведения: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. В виде формулы это записывается так: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

1) Дано выражение $(3 \cdot 5)^4$.

Применим свойство степени произведения:

$(3 \cdot 5)^4 = 3^4 \cdot 5^4$.

Теперь вычислим значение каждого множителя:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Перемножим полученные результаты:

$81 \cdot 625 = 50625$.

Также можно сначала выполнить умножение в скобках, а затем возвести в степень:

$(3 \cdot 5)^4 = 15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625$.

Ответ: $3^4 \cdot 5^4 = 50625$.

2) Дано выражение $(7 \cdot 6)^5$.

Применим свойство степени произведения:

$(7 \cdot 6)^5 = 7^5 \cdot 6^5$.

В данном случае вычисление приведет к очень большим числам, поэтому, как правило, в качестве ответа оставляют выражение в виде произведения степеней.

Ответ: $7^5 \cdot 6^5$.

3) Дано выражение $(1,3 \cdot 8)^5$.

Применим свойство степени произведения:

$(1,3 \cdot 8)^5 = 1,3^5 \cdot 8^5$.

Как и в предыдущем примере, дальнейшие вычисления громоздки, поэтому выражение оставляют в виде произведения степеней.

Ответ: $1,3^5 \cdot 8^5$.

4) Дано выражение $(4 \cdot \frac{1}{7})^3$.

Применим свойство степени произведения:

$(4 \cdot \frac{1}{7})^3 = 4^3 \cdot (\frac{1}{7})^3$.

Для возведения дроби в степень нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{1}{7})^3 = \frac{1^3}{7^3} = \frac{1}{343}$.

Вычислим значение первого множителя:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Теперь перемножим результаты:

$64 \cdot \frac{1}{343} = \frac{64}{343}$.

Дробь $\frac{64}{343}$ является несократимой, так как $64 = 2^6$ и $343 = 7^3$, и у них нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{64}{343}$.