Номер 342, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

342. Представить $2^{20}$ в виде степени с основанием:

1) $2^2$;
2) $2^4$;
3) $2^5$;
4) $2^{10}$.

Для решения этой задачи используется свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить число $2^{20}$ в виде $(2^k)^x$, где $2^k$ — новое основание, а $x$ — новый показатель, который нужно найти. По свойству степеней, $2^{20} = (2^k)^x = 2^{k \cdot x}$. Отсюда следует, что $20 = k \cdot x$, а значит, искомый показатель $x = 20 / k$.

1) $2^2$;

Чтобы представить $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^2$, нам нужно найти такой показатель $x$, что $(2^2)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степени, получаем $2^{2 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 20$
$x = \frac{20}{2} = 10$
Таким образом, $2^{20} = (2^2)^{10}$.
Ответ: $(2^2)^{10}$

2) $2^4$;

Чтобы представить $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^4$, ищем показатель $x$, для которого $(2^4)^x = 2^{20}$.
По свойству степени, это эквивалентно $2^{4 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4} = 5$
Следовательно, $2^{20} = (2^4)^5$.
Ответ: $(2^4)^5$

3) $2^5$;

Для представления $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^5$, найдем такой показатель $x$, что $(2^5)^x = 2^{20}$.
Применяя свойство степени, получаем $2^{5 \cdot x} = 2^{20}$.
Отсюда следует равенство показателей:
$5x = 20$
$x = \frac{20}{5} = 4$
Значит, $2^{20} = (2^5)^4$.
Ответ: $(2^5)^4$

4) $2^{10}$.

Чтобы представить $2^{20}$ как степень с основанием $2^{10}$, найдем показатель $x$, удовлетворяющий равенству $(2^{10})^x = 2^{20}$.
Используя свойство степени, преобразуем левую часть в $2^{10 \cdot x}$.
Получаем уравнение $2^{10x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$10x = 20$
$x = \frac{20}{10} = 2$
Таким образом, $2^{20} = (2^{10})^2$.
Ответ: $(2^{10})^2$