Номер 335, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

335. 1) $( \frac{3y}{4} )^6 : ( \frac{3y}{4} )^2;$

2) $(2a)^5 : (2a)^3;$

3) $(a-b)^7 : (a-b)^5;$

4) $(m+n)^{10} : (m+n)^5.$

1) Для решения этого примера используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = \frac{3y}{4}$, а показатели степеней $m = 6$ и $n = 2$.
$(\frac{3y}{4})^6 : (\frac{3y}{4})^2 = (\frac{3y}{4})^{6-2} = (\frac{3y}{4})^4$.
Далее возведем дробь в четвертую степень. Для этого необходимо возвести в эту степень как числитель, так и знаменатель дроби:
$(\frac{3y}{4})^4 = \frac{(3y)^4}{4^4} = \frac{3^4 \cdot y^4}{4^4} = \frac{81y^4}{256}$.
Ответ: $\frac{81y^4}{256}$.

2) Применим то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание $a = 2a$, а показатели степеней $m = 5$ и $n = 3$.
$(2a)^5 : (2a)^3 = (2a)^{5-3} = (2a)^2$.
Теперь возведем произведение в квадрат:
$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$.

3) Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом выражении основанием является $(a-b)$, а показатели степеней равны $m = 7$ и $n = 5$.
$(a-b)^7 : (a-b)^5 = (a-b)^{7-5} = (a-b)^2$.
Это и есть окончательный ответ. Также его можно представить в виде многочлена, раскрыв скобки по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ответ: $(a-b)^2$.

4) Снова воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = (m+n)$, а показатели степеней $m = 10$ и $n = 5$.
$(m+n)^{10} : (m+n)^5 = (m+n)^{10-5} = (m+n)^5$.
Ответ: $(m+n)^5$.