Страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Решить уравнение:

1) $5^3 \cdot x = 5^4$;

2) $x \cdot 3 = 3^3$;

3) $2^5 : x = 2^4$;

4) $x : 4 = 4^3$.

1) Исходное уравнение: $5^3 \cdot x = 5^4$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $5^4$ разделить на известный множитель $5^3$.
$x = \frac{5^4}{5^3}$
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются (свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$x = 5^{4-3} = 5^1$
$x = 5$
Ответ: $5$

2) Исходное уравнение: $x \cdot 3 = 3^3$.
Представим число $3$ как степень $3^1$: $x \cdot 3^1 = 3^3$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $3^3$ разделить на известный множитель $3^1$.
$x = \frac{3^3}{3^1}$
Используем свойство деления степеней:
$x = 3^{3-1} = 3^2$
Вычисляем значение:
$x = 9$
Ответ: $9$

3) Исходное уравнение: $2^5 : x = 2^4$.
В данном уравнении $x$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое $2^5$ разделить на частное $2^4$.
$x = \frac{2^5}{2^4}$
Используем свойство деления степеней:
$x = 2^{5-4} = 2^1$
$x = 2$
Ответ: $2$

4) Исходное уравнение: $x : 4 = 4^3$.
В данном уравнении $x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное $4^3$ умножить на делитель $4$.
$x = 4^3 \cdot 4$
Представим число $4$ как степень $4^1$: $x = 4^3 \cdot 4^1$.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются (свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$x = 4^{3+1} = 4^4$
Вычисляем значение:
$x = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$
Ответ: $256$

Записать произведение в виде степени (327–329).

327. 1) $c^3c^2$;

2) $a^3a^4$;

3) $(\frac{1}{2}a)^7(\frac{1}{2}a)$;

4) $(3b)(3b)^6$.

1) Чтобы представить произведение $c^3c^2$ в виде степени, нужно воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном выражении основание — это $c$, а показатели степеней — 3 и 2. Складываем показатели:
$c^3c^2 = c^{3+2} = c^5$.
Ответ: $c^5$

2) Аналогично предыдущему пункту, для произведения $a^3a^4$ применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание здесь $a$, а показатели — 3 и 4.
$a^3a^4 = a^{3+4} = a^7$.
Ответ: $a^7$

3) В выражении $(\frac{1}{2}a)^7(\frac{1}{2}a)$ основанием является $(\frac{1}{2}a)$. Второй множитель $(\frac{1}{2}a)$ можно записать как $(\frac{1}{2}a)^1$, поскольку любое выражение в первой степени равно самому себе. Теперь можно применить правило сложения показателей:
$(\frac{1}{2}a)^7(\frac{1}{2}a)^1 = (\frac{1}{2}a)^{7+1} = (\frac{1}{2}a)^8$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a)^8$

4) В произведении $(3b)(3b)^6$ основание степени — это $(3b)$. Первый множитель $(3b)$ имеет показатель степени 1, то есть $(3b) = (3b)^1$. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием, складывая их показатели:
$(3b)^1(3b)^6 = (3b)^{1+6} = (3b)^7$.
Ответ: $(3b)^7$

328. 1) $2^3 2^2 2^4$;

2) $3^2 3^5 3^3$;

3) $(-5)^6 (-5)^3 (-5)^4$;

4) $(-6)^3 (-6)^2 (-6)^7$.

1) $2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4$

Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно 2. Чтобы найти итоговую степень, нужно сложить показатели всех множителей.

Сложим показатели степеней: $3 + 2 + 4 = 9$.

Таким образом, выражение равно $2^9$.

Вычислим значение $2^9$:

$2^9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 512$.

Ответ: $512$.

2) $3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^3$

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$. Основание равно 3.

Складываем показатели степеней: $2 + 5 + 3 = 10$.

Получаем выражение $3^{10}$.

Вычислим значение $3^{10}$:

$3^{10} = 59049$.

Ответ: $59049$.

3) $(-5)^6 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^4$

Основание степени в данном выражении равно -5. Используем то же свойство, что и в предыдущих примерах, и сложим показатели степеней.

Сумма показателей: $6 + 3 + 4 = 13$.

Выражение принимает вид $(-5)^{13}$.

Так как основание степени (-5) отрицательное, а показатель степени (13) — нечетное число, то результат будет отрицательным.

$(-5)^{13} = -(5^{13}) = -1220703125$.

Ответ: $-1220703125$.

4) $(-6)^3 \cdot (-6)^2 \cdot (-6)^7$

Основание степени равно -6. Сложим показатели степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$.

Сумма показателей: $3 + 2 + 7 = 12$.

Получаем выражение $(-6)^{12}$.

Так как основание степени (-6) отрицательное, а показатель степени (12) — четное число, то результат будет положительным.

$(-6)^{12} = 6^{12} = 2176782336$.

Ответ: $2176782336$.

329. 1) $(-2,5a)^3 (-2,5a)^8;$

2) $(-\frac{5x}{6})^5 (-\frac{5x}{6})^7;$

3) $(x-a)^7 (x-a)^{10};$

4) $(n+m)^{15} (n+m)^5.$

1) Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это правило можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном выражении основанием является $(-2,5a)$, а показателями степеней — 3 и 8.

Применяя правило, получаем:

$(-2,5a)^3 \cdot (-2,5a)^8 = (-2,5a)^{3+8} = (-2,5a)^{11}$

Поскольку показатель степени 11 — нечетное число, знак минус можно вынести за скобки.

Ответ: $(-2,5a)^{11}$.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание в этом примере равно $(-\frac{5x}{6})$, а показатели степеней — 5 и 7.

Складываем показатели степеней:

$(-\frac{5x}{6})^5 \cdot (-\frac{5x}{6})^7 = (-\frac{5x}{6})^{5+7} = (-\frac{5x}{6})^{12}$

Так как показатель степени 12 — четное число, то при возведении в эту степень отрицательное основание становится положительным. Поэтому знак минус можно опустить.

$(-\frac{5x}{6})^{12} = (\frac{5x}{6})^{12}$

Ответ: $(\frac{5x}{6})^{12}$.

3) В этом задании в качестве основания степени выступает выражение в скобках $(x-a)$. Показатели степеней равны 7 и 10.

Применяем то же правило умножения степеней:

$(x-a)^7 \cdot (x-a)^{10} = (x-a)^{7+10} = (x-a)^{17}$

Ответ: $(x-a)^{17}$.

4) Здесь основанием является выражение $(n+m)$, а показатели степеней равны 15 и 5.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, складывая их показатели:

$(n+m)^{15} \cdot (n+m)^5 = (n+m)^{15+5} = (n+m)^{20}$

Ответ: $(n+m)^{20}$.

Записать в виде степени с основанием 2 (330–331).

330. 1) 32;

2) 128;

3) 1024;

4) 256;

5) $2^5 \cdot 128$;

6) $32 \cdot 64$.

1) 32

Чтобы представить число 32 в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $x$, что $2^x=32$.
Начнем последовательно возводить число 2 в степень:
$2^1=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16$
$2^5=32$
Таким образом, $32 = 2^5$.
Ответ: $2^5$

2) 128

Аналогично, ищем показатель степени $x$ для равенства $2^x=128$.
Продолжая возведение в степень с предыдущего пункта:
$2^6 = 2^5 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$
$2^7 = 2^6 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$
Следовательно, $128 = 2^7$.
Ответ: $2^7$

3) 1024

Найдем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $2^x=1024$.
Продолжим возведение в степень:
$2^8 = 2^7 \cdot 2 = 128 \cdot 2 = 256$
$2^9 = 2^8 \cdot 2 = 256 \cdot 2 = 512$
$2^{10} = 2^9 \cdot 2 = 512 \cdot 2 = 1024$
Значит, $1024 = 2^{10}$.
Ответ: $2^{10}$

4) 256

Найдем показатель степени $x$, для которого $2^x=256$.
Из вычислений в предыдущем пункте мы уже знаем, что $2^8=256$.
Следовательно, $256 = 2^8$.
Ответ: $2^8$

5) 2⁵ ⋅ 128

Для решения этого примера сначала представим число 128 в виде степени с основанием 2. Из пункта 2 мы знаем, что $128 = 2^7$.
Теперь исходное выражение можно переписать как $2^5 \cdot 2^7$.
Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяя это свойство, получаем: $2^5 \cdot 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$.
Ответ: $2^{12}$

6) 32 ⋅ 64

Представим оба множителя в виде степени с основанием 2.
Из пункта 1 известно, что $32 = 2^5$.
Также мы знаем, что $64 = 2^6$.
Тогда произведение можно записать как $2^5 \cdot 2^6$.
Используя то же свойство умножения степеней, что и в предыдущем пункте, складываем показатели:
$2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11}$.
Ответ: $2^{11}$

331. 1) 64 : 4;

2) 32 : $2^3$;

3) 8 : $2^2$;

4) 256 : 32;

5) $\frac{2^7}{2^5}$;

6) $\frac{2^{10}}{2}$.

1) Чтобы решить пример $64 : 4$, представим оба числа в виде степеней с основанием 2. Мы знаем, что $64 = 2^6$ и $4 = 2^2$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$64 : 4 = 2^6 : 2^2 = 2^{6-2} = 2^4 = 16$.
Ответ: 16

2) В примере $32 : 2^3$ представим число 32 в виде степени с основанием 2. Число 32 равно $2^5$. Теперь воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$32 : 2^3 = 2^5 : 2^3 = 2^{5-3} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

3) Для решения примера $8 : 2^2$ представим число 8 как степень с основанием 2. Число 8 равно $2^3$. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$8 : 2^2 = 2^3 : 2^2 = 2^{3-2} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

4) Чтобы решить пример $256 : 32$, представим оба числа в виде степеней с основанием 2. Мы знаем, что $256 = 2^8$ и $32 = 2^5$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$256 : 32 = 2^8 : 2^5 = 2^{8-5} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

5) Для вычисления значения выражения $\frac{2^7}{2^5}$ воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит, что показатели степеней вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^7}{2^5} = 2^{7-5} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

6) В выражении $\frac{2^{10}}{2}$ знаменатель 2 можно представить как $2^1$. Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^{10}}{2} = \frac{2^{10}}{2^1} = 2^{10-1} = 2^9 = 512$.
Ответ: 512

Записать в виде степени с основанием 3 (332–333).

332.

1) 81;

2) 27;

3) 729;

4) 243;

5) $3^6 \cdot 81$;

6) $243 \cdot 27$.

1) Чтобы представить число 81 в виде степени с основанием 3, необходимо найти такой показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 81.
$3^1 = 3$
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
$3^3 = 9 \cdot 3 = 27$
$3^4 = 27 \cdot 3 = 81$
Таким образом, 81 можно записать как $3^4$.
Ответ: $3^4$

2) Чтобы представить число 27 в виде степени с основанием 3, найдем соответствующий показатель степени.
$3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Это означает, что 3 нужно умножить на себя 3 раза, чтобы получить 27.
Следовательно, $27 = 3^3$.
Ответ: $3^3$

3) Представим число 729 в виде степени с основанием 3. Продолжим возводить 3 в степень:
Мы уже знаем, что $3^4 = 81$.
$3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$
$3^6 = 3^5 \cdot 3 = 243 \cdot 3 = 729$
Значит, $729 = 3^6$.
Ответ: $3^6$

4) Представим число 243 в виде степени с основанием 3.
Как было вычислено в предыдущем пункте:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Следовательно, $243 = 3^5$.
Ответ: $3^5$

5) Чтобы представить выражение $3^6 \cdot 81$ в виде степени с основанием 3, сначала нужно представить 81 как степень с основанием 3.
Из пункта 1 мы знаем, что $81 = 3^4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $3^6 \cdot 3^4$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$.
Ответ: $3^{10}$

6) Чтобы представить выражение $243 \cdot 27$ в виде степени с основанием 3, представим каждый множитель в виде степени с основанием 3.
Из пункта 4 мы знаем, что $243 = 3^5$.
Из пункта 2 мы знаем, что $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в выражение: $243 \cdot 27 = 3^5 \cdot 3^3$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), сложим показатели:
$3^5 \cdot 3^3 = 3^{5+3} = 3^8$.
Ответ: $3^8$

333. 1) $3^4 : 9$;

2) $27 : 3^2$;

3) $243 : 27$;

4) $81 : 9$;

5) $\frac{3^{15}}{3}$;

6) $\frac{3^8}{3^4}$.

1) $3^4 : 9$

Чтобы разделить степень на число, представим это число в виде степени с тем же основанием. В данном случае, основание равно 3.

Число 9 можно представить как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать так: $3^4 : 3^2$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (согласно свойству степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Выполним вычитание показателей: $3^{4-2} = 3^2$.

Вычислим результат: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

2) $27 : 3^2$

Представим число 27 в виде степени с основанием 3.

$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$.

Исходное выражение примет вид: $3^3 : 3^2$.

Используя правило деления степеней с одинаковым основанием, вычитаем показатели:

$3^{3-2} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

3) $243 : 27$

Представим оба числа, 243 и 27, в виде степеней с основанием 3.

$27 = 3^3$.

$243 = 3 \times 81 = 3 \times 3^4 = 3^5$.

Запишем выражение в новом виде: $3^5 : 3^3$.

Применим правило деления степеней: $3^{5-3} = 3^2$.

Вычислим итоговое значение: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

4) $81 : 9$

Представим оба числа в виде степеней с основанием 3.

$81 = 3^4$.

$9 = 3^2$.

Выражение можно переписать как $3^4 : 3^2$.

По правилу деления степеней с одинаковым основанием: $3^{4-2} = 3^2$.

Результат: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

5) $\frac{3^{15}}{3}$

Дробная черта обозначает операцию деления. Знаменатель 3 можно представить в виде степени как $3^1$.

Выражение имеет вид: $\frac{3^{15}}{3^1}$.

Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{3^{15}}{3^1} = 3^{15-1} = 3^{14}$.

Ответ: $3^{14}$

6) $\frac{3^8}{3^4}$

В данном выражении мы делим степени с одинаковым основанием 3.

Используем правило вычитания показателей при делении степеней:

$\frac{3^8}{3^4} = 3^{8-4} = 3^4$.

Вычислим конечное значение: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

Ответ: 81

Записать частное в виде степени (334–335).

334. 1) $(-\frac{9}{7})^8 : (-\frac{9}{7})^5$;

2) $(\frac{1}{17})^{18} : (\frac{1}{17})^{17}$;

3) $x^{21} : x^7$;

4) $d^{24} : d^{12}$.

Для решения данных задач воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Это свойство можно записать в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1) $(-\frac{9}{7})^8 : (-\frac{9}{7})^5$

В данном выражении основание степени равно $a = -\frac{9}{7}$, а показатели степеней $m = 8$ и $n = 5$. Применяя правило деления степеней, получаем:

$(-\frac{9}{7})^8 : (-\frac{9}{7})^5 = (-\frac{9}{7})^{8-5} = (-\frac{9}{7})^3$

Ответ: $(-\frac{9}{7})^3$.

2) $(\frac{1}{17})^{18} : (\frac{1}{17})^{17}$

Здесь основание степени $a = \frac{1}{17}$, показатели степеней $m = 18$ и $n = 17$.

Выполним деление, используя то же правило:

$(\frac{1}{17})^{18} : (\frac{1}{17})^{17} = (\frac{1}{17})^{18-17} = (\frac{1}{17})^1$

Ответ: $(\frac{1}{17})^1$.

3) $x^{21} : x^7$

В этом примере основание степени $a = x$, а показатели $m = 21$ и $n = 7$.

По правилу деления степеней с одинаковым основанием:

$x^{21} : x^7 = x^{21-7} = x^{14}$

Ответ: $x^{14}$.

4) $d^{24} : d^{12}$

Основание степени $a = d$, показатели степеней $m = 24$ и $n = 12$.

Применим свойство частного степеней:

$d^{24} : d^{12} = d^{24-12} = d^{12}$

Ответ: $d^{12}$.

335. 1) $( \frac{3y}{4} )^6 : ( \frac{3y}{4} )^2;$

2) $(2a)^5 : (2a)^3;$

3) $(a-b)^7 : (a-b)^5;$

4) $(m+n)^{10} : (m+n)^5.$

1) Для решения этого примера используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = \frac{3y}{4}$, а показатели степеней $m = 6$ и $n = 2$.
$(\frac{3y}{4})^6 : (\frac{3y}{4})^2 = (\frac{3y}{4})^{6-2} = (\frac{3y}{4})^4$.
Далее возведем дробь в четвертую степень. Для этого необходимо возвести в эту степень как числитель, так и знаменатель дроби:
$(\frac{3y}{4})^4 = \frac{(3y)^4}{4^4} = \frac{3^4 \cdot y^4}{4^4} = \frac{81y^4}{256}$.
Ответ: $\frac{81y^4}{256}$.

2) Применим то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание $a = 2a$, а показатели степеней $m = 5$ и $n = 3$.
$(2a)^5 : (2a)^3 = (2a)^{5-3} = (2a)^2$.
Теперь возведем произведение в квадрат:
$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$.

3) Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом выражении основанием является $(a-b)$, а показатели степеней равны $m = 7$ и $n = 5$.
$(a-b)^7 : (a-b)^5 = (a-b)^{7-5} = (a-b)^2$.
Это и есть окончательный ответ. Также его можно представить в виде многочлена, раскрыв скобки по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ответ: $(a-b)^2$.

4) Снова воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = (m+n)$, а показатели степеней $m = 10$ и $n = 5$.
$(m+n)^{10} : (m+n)^5 = (m+n)^{10-5} = (m+n)^5$.
Ответ: $(m+n)^5$.

Вычислить (336–337).

336. 1) $\frac{2 \cdot 3^3}{3^2}$;

2) $\frac{2^3 \cdot 3^2}{2^2 \cdot 3}$;

3) $\frac{3^5 \cdot 3^{10}}{3^6 \cdot 3^7}$;

4) $\frac{5^8 \cdot 5^7}{5^4 \cdot 5^9}$.

Для вычисления выражения $ \frac{2 \cdot 3^3}{3^2} $ воспользуемся свойствами степеней.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
Упростим часть выражения с основанием 3:
$ \frac{3^3}{3^2} = 3^{3-2} = 3^1 = 3 $.
Теперь умножим полученный результат на 2:
$ 2 \cdot 3 = 6 $.
Ответ: 6

Рассмотрим выражение $ \frac{2^3 \cdot 3^2}{2^2 \cdot 3} $.
Упростим его, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{2^3}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^1} $.
Применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ для каждой дроби:
$ 2^{3-2} \cdot 3^{2-1} = 2^1 \cdot 3^1 $.
Вычислим произведение:
$ 2 \cdot 3 = 6 $.
Ответ: 6

Для вычисления выражения $ \frac{3^5 \cdot 3^{10}}{3^6 \cdot 3^7} $ воспользуемся свойствами степеней.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
Упростим числитель: $ 3^5 \cdot 3^{10} = 3^{5+10} = 3^{15} $.
Упростим знаменатель: $ 3^6 \cdot 3^7 = 3^{6+7} = 3^{13} $.
Получим дробь: $ \frac{3^{15}}{3^{13}} $.
Теперь применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ 3^{15-13} = 3^2 $.
Вычислим результат:
$ 3^2 = 9 $.
Ответ: 9

Рассмотрим выражение $ \frac{5^8 \cdot 5^7}{5^4 \cdot 5^9} $.
Применим свойство умножения степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ к числителю и знаменателю.
Числитель: $ 5^8 \cdot 5^7 = 5^{8+7} = 5^{15} $.
Знаменатель: $ 5^4 \cdot 5^9 = 5^{4+9} = 5^{13} $.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{5^{15}}{5^{13}} $.
Применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ 5^{15-13} = 5^2 $.
Вычислим конечный результат:
$ 5^2 = 25 $.
Ответ: 25

337. 1) $ \frac{8 \cdot 3^3}{2 \cdot 3^2} $;

2) $ \frac{11^3 \cdot 4^2}{11^2 \cdot 4} $;

3) $ \frac{2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^3}{2^5 \cdot 2^7} $;

4) $ \frac{3^6 \cdot 3^3}{3^3 \cdot 3 \cdot 3} $.

1) Исходное выражение: $\frac{8 \cdot 3^3}{2 \cdot 3^2}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и выполним деление отдельно для чисел и для степеней:
$\frac{8}{2} \cdot \frac{3^3}{3^2}$
Вычисляем частное от деления чисел: $\frac{8}{2} = 4$.
Далее используем свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
$\frac{3^3}{3^2} = 3^{3-2} = 3^1 = 3$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12

2) Исходное выражение: $\frac{11^3 \cdot 4^2}{11^2 \cdot 4}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\frac{11^3}{11^2} \cdot \frac{4^2}{4}$
Применяем правило деления степеней, помня, что $4 = 4^1$:
$\frac{11^3}{11^2} = 11^{3-2} = 11^1 = 11$.
$\frac{4^2}{4^1} = 4^{2-1} = 4^1 = 4$.
Перемножим результаты:
$11 \cdot 4 = 44$.
Ответ: 44

3) Исходное выражение: $\frac{2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^3}{2^5 \cdot 2^7}$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: показатели степеней складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Упростим числитель: $2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^3 = 2^{4+6+3} = 2^{13}$.
Упростим знаменатель: $2^5 \cdot 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$.
Получим дробь: $\frac{2^{13}}{2^{12}}$.
Теперь применим правило деления степеней:
$\frac{2^{13}}{2^{12}} = 2^{13-12} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

4) Исходное выражение: $\frac{3^6 \cdot 3^3}{3^3 \cdot 3 \cdot 3}$.
Заметим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $3^3$. Мы можем сократить дробь на него:
$\frac{3^6 \cdot 3^3}{3^3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{3^6}{3 \cdot 3}$.
Представим знаменатель в виде степени: $3 \cdot 3 = 3^2$.
Получим выражение: $\frac{3^6}{3^2}$.
Применим правило деления степеней:
$\frac{3^6}{3^2} = 3^{6-2} = 3^4$.
Вычислим значение: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
Ответ: 81

338. Решить уравнение:

1) $x : 3^2 = 3^3$;

2) $x : 2^4 = 2^2$;

3) $x \cdot 2^6 = 2^8$;

4) $x \cdot 3^5 = 3^8$;

5) $5^5 \cdot x = 5^7$;

6) $4^6 \cdot x = 4^8$.

1) $x : 3^2 = 3^3$

В данном уравнении x является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, необходимо частное умножить на делитель. Для этого используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x = 3^3 \cdot 3^2$

$x = 3^{3+2}$

$x = 3^5$

Ответ: $x = 3^5$.

2) $x : 2^4 = 2^2$

В этом уравнении x — неизвестное делимое. Чтобы его найти, умножим частное на делитель. Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$x = 2^2 \cdot 2^4$

$x = 2^{2+4}$

$x = 2^6$

Ответ: $x = 2^6$.

3) $x \cdot 2^6 = 2^8$

Здесь x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$x = 2^8 : 2^6$

$x = 2^{8-6}$

$x = 2^2$

Ответ: $x = 2^2$.

4) $x \cdot 3^5 = 3^8$

В данном уравнении x является неизвестным множителем. Для его нахождения разделим произведение на известный множитель. Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$x = 3^8 : 3^5$

$x = 3^{8-5}$

$x = 3^3$

Ответ: $x = 3^3$.

5) $5^5 \cdot x = 5^7$

Чтобы найти неизвестный множитель x, разделим произведение на известный множитель. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$x = 5^7 : 5^5$

$x = 5^{7-5}$

$x = 5^2$

Ответ: $x = 5^2$.

6) $4^6 \cdot x = 4^8$

Чтобы найти неизвестный множитель x, нужно произведение разделить на известный множитель. Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$x = 4^8 : 4^6$

$x = 4^{8-6}$

$x = 4^2$

Ответ: $x = 4^2$.