Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать свойство:

1) умножения степеней с одинаковыми основаниями;

2) деления степеней с одинаковыми основаниями;

3) возведения степени в степень;

4) возведения произведения в степень;

5) возведения дроби в степень.

1) умножения степеней с одинаковыми основаниями

Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство:

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2) деления степеней с одинаковыми основаниями

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Для любого числа a, не равного нулю, и любых натуральных чисел m и n, таких что m > n, справедливо равенство:

Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

3) возведения степени в степень

При возведении степени в степень нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить. Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство:

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

4) возведения произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и полученные результаты перемножить. Для любых чисел a и b и любого натурального числа n справедливо равенство:

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

5) возведения дроби в степень

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель новой дроби. Для любых чисел a и b, где b не равно нулю, и любого натурального числа n справедливо равенство:

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

2. Прочитать запись:

$1) 3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7;$

$2) b^n : b^k = b^{n-k};$

$3) (c^k)^m = c^{km};$

$4) (8b)^n = 8^n \cdot b^n;$

$5) \left(\frac{16}{c}\right)^k = \frac{16^k}{c^k}.$

1)

Данное равенство $3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7$ представляет собой пример использования свойства умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Общая формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Ответ: Три в пятой степени умножить на три во второй степени (или: три в квадрате) равно три в степени пять плюс два, равно три в седьмой степени.

2)

Запись $b^n : b^k = b^{n-k}$ иллюстрирует свойство деления степеней с одинаковым основанием. По этому правилу, при делении степеней с одинаковыми основаниями (и ненулевым основанием), основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Общая формула: $a^n : a^k = a^{n-k}$ (при $a \neq 0$).

Ответ: Бэ в степени эн разделить на бэ в степени ка равно бэ в степени эн минус ка.

3)

Равенство $(c^k)^m = c^{km}$ показывает правило возведения степени в степень. Чтобы возвести степень в степень, нужно основание степени оставить прежним, а показатели перемножить. Общая формула: $(a^k)^m = a^{k \cdot m}$.

Ответ: Цэ в степени ка, возведенное в степень эм, равно цэ в степени ка умножить на эм.

4)

Выражение $(8b)^n = 8^n \cdot b^n$ является примером свойства возведения произведения в степень. Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Общая формула: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$.

Ответ: Произведение восьми и бэ, возведенное в степень эн, равно произведению восьми в степени эн на бэ в степени эн.

5)

Запись $(\frac{16}{c})^k = \frac{16^k}{c^k}$ — это пример свойства возведения частного (дроби) в степень. Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель, и первый результат разделить на второй. Общая формула: $(\frac{a}{c})^k = \frac{a^k}{c^k}$ (при $c \neq 0$).

Ответ: Дробь шестнадцать цэ-тых в степени ка равна дроби, числитель которой — шестнадцать в степени ка, а знаменатель — цэ в степени ка.

3. Привести числовые примеры применения каждого из свойств действий со степенями.

Ниже приведены основные свойства действий со степенями с числовыми примерами для каждого из них.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием их основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Пример: Вычислить $3^2 \cdot 3^3$.

Решение: Используя свойство, складываем показатели степеней: $3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$.

Вычислим результат: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Проверка: $3^2 = 9$, $3^3 = 27$. $9 \cdot 27 = 243$.

Ответ: $3^2 \cdot 3^3 = 243$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием (не равным нулю) их основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (где $a \ne 0$).

Пример: Вычислить $\frac{5^4}{5^2}$.

Решение: Используя свойство, вычитаем показатели степеней: $\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2$.

Вычислим результат: $5^2 = 25$.

Проверка: $5^4 = 625$, $5^2 = 25$. $\frac{625}{25} = 25$.

Ответ: $\frac{5^4}{5^2} = 25$.

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Пример: Вычислить $(2^3)^2$.

Решение: Используя свойство, перемножаем показатели степеней: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Вычислим результат: $2^6 = 64$.

Проверка: $2^3 = 8$. $8^2 = 64$.

Ответ: $(2^3)^2 = 64$.

4. Возведение в степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Пример: Вычислить $(2 \cdot 5)^3$.

Решение: Используя свойство: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Проверка: $2 \cdot 5 = 10$. $10^3 = 1000$.

Ответ: $(2 \cdot 5)^3 = 1000$.

5. Возведение в степень частного (дроби)

Чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй. Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (где $b \ne 0$).

Пример: Вычислить $(\frac{6}{3})^4$.

Решение: Используя свойство: $(\frac{6}{3})^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16$.

Проверка: $\frac{6}{3} = 2$. $2^4 = 16$.

Ответ: $(\frac{6}{3})^4 = 16$.

6. Степень с нулевым показателем

Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Формула: $a^0 = 1$ (где $a \ne 0$).

Пример: Вычислить $15^0$.

Решение: По определению, любое отличное от нуля число в степени 0 равно 1. $15^0 = 1$.

Это можно показать, используя свойство деления: $\frac{15^2}{15^2} = 15^{2-2} = 15^0$. Так как $\frac{15^2}{15^2} = \frac{225}{225} = 1$, то $15^0 = 1$.

Ответ: $15^0 = 1$.

7. Степень с отрицательным целым показателем

Степень числа, не равного нулю, с отрицательным целым показателем равна дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель — степени того же числа с противоположным (положительным) показателем. Формула: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (где $a \ne 0$).

Пример: Вычислить $4^{-2}$.

Решение: Используя свойство, преобразуем степень с отрицательным показателем: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $4^{-2} = \frac{1}{16}$.

8. Степень с рациональным (дробным) показателем

Степень с дробным показателем $m/n$ определяется как корень $n$-ой степени из основания, возведенного в степень $m$. Формула: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.

Пример: Вычислить $27^{2/3}$.

Решение: Используя свойство, преобразуем степень в корень: $27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2}$.

Удобнее сначала извлечь корень: $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2$. Так как $\sqrt[3]{27} = 3$, то $(\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: $27^{2/3} = 9$.

1. Вычислить:

1) $2^5$;

2) $3^4$;

3) $4^3$;

4) $2^6$;

5) $2^3 \cdot 3^3$;

6) $3^2 \cdot 2^2$;

7) $\left(-1\frac{2}{3}\right)^4$;

8) $\left(-1\frac{1}{4}\right)^3$.

1) Для вычисления $2^5$ необходимо умножить число 2 само на себя 5 раз.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Ответ: 32

2) Для вычисления $3^4$ необходимо умножить число 3 само на себя 4 раза.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
Ответ: 81

3) Для вычисления $4^3$ необходимо умножить число 4 само на себя 3 раза.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64

4) Для вычисления $2^6$ необходимо умножить число 2 само на себя 6 раз.
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Ответ: 64

5) Для вычисления выражения $2^3 \cdot 3^3$ воспользуемся свойством степеней: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований ($a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$).
$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3$.
Вычислим $6^3$:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

6) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$3^2 \cdot 2^2 = (3 \cdot 2)^2 = 6^2$.
Вычислим $6^2$:
$6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.
Ответ: 36

7) Для вычисления $( -1\frac{2}{3} )^4$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$.
Теперь возведем полученную дробь в четвертую степень. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.
$(-\frac{5}{3})^4 = (\frac{5}{3})^4 = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$.
Выделим целую часть, чтобы представить ответ в виде смешанного числа:
$\frac{625}{81} = 7\frac{58}{81}$.
Ответ: $7\frac{58}{81}$

8) Для вычисления $( -1\frac{1}{4} )^3$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-1\frac{1}{4} = -(\frac{1 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{5}{4}$.
Теперь возведем полученную дробь в третью степень. Так как показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным.
$(-\frac{5}{4})^3 = -(\frac{5}{4})^3 = -\frac{5^3}{4^3} = -\frac{125}{64}$.
Выделим целую часть:
$-\frac{125}{64} = -1\frac{61}{64}$.
Ответ: $-1\frac{61}{64}$

2. Записать в стандартном виде число:

1) $65 800$;

2) $372 000$;

3) $1 050 000$;

4) $20 900 000$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа. Чтобы записать большое число в стандартном виде, необходимо представить его как число от 1 до 10, умноженное на 10 в соответствующей степени. Показатель степени $n$ будет равен количеству разрядов, на которое мы сдвигаем запятую влево, чтобы получить коэффициент $a$.

1) 65 800

Исходное число — 65 800. Чтобы получить коэффициент $a$ в диапазоне $1 \le a < 10$, мы должны поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после 6. Получаем число 6,58. Исходное положение запятой — в конце числа (65800,0). Чтобы получить 6,58, мы сдвинули запятую на 4 знака влево. Это означает, что показатель степени $n$ будет равен 4.

Таким образом, число 65 800 в стандартном виде записывается как $6,58 \cdot 10^4$.

Проверка: $6,58 \cdot 10^4 = 6,58 \cdot 10 000 = 65 800$.

Ответ: $6,58 \cdot 10^4$

2) 372 000

Исходное число — 372 000. Поставим запятую после первой цифры 3, чтобы получить коэффициент $a$. Получаем $a=3,72$. Чтобы из 372 000,0 получить 3,72, мы сдвинули запятую на 5 знаков влево. Следовательно, показатель степени $n=5$.

Таким образом, число 372 000 в стандартном виде записывается как $3,72 \cdot 10^5$.

Проверка: $3,72 \cdot 10^5 = 3,72 \cdot 100 000 = 372 000$.

Ответ: $3,72 \cdot 10^5$

3) 1 050 000

Исходное число — 1 050 000. Поставим запятую после первой цифры 1, чтобы получить коэффициент $a$. Получаем $a=1,05$. Чтобы из 1 050 000,0 получить 1,05, мы сдвинули запятую на 6 знаков влево. Это значит, что показатель степени $n=6$.

Таким образом, число 1 050 000 в стандартном виде записывается как $1,05 \cdot 10^6$.

Проверка: $1,05 \cdot 10^6 = 1,05 \cdot 1 000 000 = 1 050 000$.

Ответ: $1,05 \cdot 10^6$

4) 20 900 000

Исходное число — 20 900 000. Поставим запятую после первой значащей цифры 2, чтобы получить коэффициент $a$. Получим $a=2,09$. Для этого мы сдвинули запятую в числе 20 900 000,0 на 7 позиций влево. Следовательно, показатель степени $n=7$.

Таким образом, число 20 900 000 в стандартном виде записывается как $2,09 \cdot 10^7$.

Проверка: $2,09 \cdot 10^7 = 2,09 \cdot 10 000 000 = 20 900 000$.

Ответ: $2,09 \cdot 10^7$