Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

305. 1) $\underbrace{3 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 3}_{21 \text{ раз}} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot \dots \cdot x}_{12 \text{ раз}};$

2) $\underbrace{5 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 5}_{16 \text{ раз}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{31 \text{ раз}};$

3) $\underbrace{7 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 7}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{p \cdot p \cdot \dots \cdot p}_{15 \text{ раз}};$

4) $\underbrace{6 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 6}_{13 \text{ раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{k \text{ раз}}.$

1)

Данное выражение представляет собой произведение двух частей. Первая часть — это произведение числа 3 самого на себя 21 раз. По определению степени, это записывается как $3^{21}$.

Вторая часть — это произведение переменной x самой на себя 12 раз, что записывается как $x^{12}$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению этих степеней.

Ответ: $3^{21}x^{12}$

2)

Это выражение является произведением двух множителей. Первый множитель — это число 5, которое умножается само на себя 16 раз. Это записывается в виде степени $5^{16}$.

Второй множитель — это переменная b, которая умножается сама на себя 31 раз, что записывается как $b^{31}$.

Объединяя обе части, получаем итоговое выражение в виде произведения степеней.

Ответ: $5^{16}b^{31}$

3)

В этом выражении первый множитель — это число 7, которое повторяется n раз. В виде степени это записывается как $7^n$.

Второй множитель — это переменная p, которая повторяется 15 раз. В виде степени это записывается как $p^{15}$.

Следовательно, всё выражение можно записать как произведение этих двух степеней.

Ответ: $7^n p^{15}$

4)

Первая часть данного произведения — это число 6, умноженное само на себя 13 раз. Согласно определению степени, это записывается как $6^{13}$.

Вторая часть — это переменная a, умноженная сама на себя k раз. Это записывается как $a^k$.

Таким образом, всё выражение можно представить в виде произведения этих степеней.

Ответ: $6^{13}a^k$

306. Упростить выражение:

1) $p \cdot p \cdot p + q \cdot q;$

2) $a \cdot a + b \cdot b \cdot b \cdot b;$

3) $a \cdot a + a \cdot a + a \cdot a;$

4) $x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x.$

1) Исходное выражение: $p \cdot p \cdot p + q \cdot q$.
Чтобы упростить выражение, заменим произведение одинаковых множителей степенью. Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя.
Произведение $p \cdot p \cdot p$ содержит три множителя $p$, поэтому его можно записать как $p^3$.
Произведение $q \cdot q$ содержит два множителя $q$, поэтому его можно записать как $q^2$.
Подставив эти значения в исходное выражение, получим: $p^3 + q^2$.
Слагаемые $p^3$ и $q^2$ имеют разные буквенные основания, поэтому дальнейшее упрощение (сложение) невозможно.
Ответ: $p^3 + q^2$.

2) Исходное выражение: $a \cdot a + b \cdot b \cdot b \cdot b$.
Заменим произведения одинаковых множителей соответствующими степенями.
Произведение $a \cdot a$ равно $a^2$.
Произведение $b \cdot b \cdot b \cdot b$ равно $b^4$.
Таким образом, выражение принимает вид: $a^2 + b^4$.
Так как основания степеней ($a$ и $b$) различны, сложить эти слагаемые нельзя.
Ответ: $a^2 + b^4$.

3) Исходное выражение: $a \cdot a + a \cdot a + a \cdot a$.
Сначала упростим каждое произведение: $a \cdot a = a^2$.
После этого выражение можно переписать как сумму трех одинаковых слагаемых: $a^2 + a^2 + a^2$.
Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением их на их количество. В данном случае у нас три слагаемых $a^2$.
$a^2 + a^2 + a^2 = 3 \cdot a^2 = 3a^2$.
Ответ: $3a^2$.

4) Исходное выражение: $x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x$.
Упростим каждое слагаемое, заменив произведение степенью: $x \cdot x \cdot x = x^3$.
Выражение примет вид: $x^3 + x^3$.
Мы получили сумму двух одинаковых слагаемых (подобных членов). Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты. Коэффициент каждого слагаемого равен 1.
$x^3 + x^3 = 1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^3 = (1+1)x^3 = 2x^3$.
Ответ: $2x^3$.

307. Записать в виде произведения одинаковых множителей:

1) $11^3$;

2) $(-1.25)^4$;

3) $(2a)^5$;

4) $(a+b)^4$.

1) Чтобы записать выражение $11^3$ в виде произведения одинаковых множителей, нужно использовать определение степени. Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ (где $n > 1$) представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. В данном случае основание степени равно $11$, а показатель степени равен $3$. Это означает, что число $11$ нужно умножить само на себя $3$ раза.

$11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11$

Ответ: $11 \cdot 11 \cdot 11$.

2) В выражении $(-1,25)^4$ основанием степени является число $-1,25$, а показателем степени — число $4$. Это значит, что необходимо найти произведение четырех множителей, каждый из которых равен $-1,25$.

$(-1,25)^4 = (-1,25) \cdot (-1,25) \cdot (-1,25) \cdot (-1,25)$

Ответ: $(-1,25) \cdot (-1,25) \cdot (-1,25) \cdot (-1,25)$.

3) Для выражения $(2a)^5$ основанием степени является выражение $2a$, а показателем степени — число $5$. Следовательно, мы должны умножить выражение $2a$ само на себя $5$ раз.

$(2a)^5 = (2a) \cdot (2a) \cdot (2a) \cdot (2a) \cdot (2a)$

Ответ: $(2a) \cdot (2a) \cdot (2a) \cdot (2a) \cdot (2a)$.

4) В выражении $(a+b)^4$ основанием степени является сумма $(a+b)$, а показателем степени — число $4$. Чтобы записать это в виде произведения, нужно умножить выражение $(a+b)$ само на себя $4$ раза.

$(a+b)^4 = (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)$

Ответ: $(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)$.

Вычислить (308–312).

308. 1) $2^3$;

2) $3^2$;

3) $10^4$;

4) $5^3$.

1) Выражение $2^3$ означает возведение числа 2 в третью степень. Это значит, что основание степени (число 2) нужно умножить само на себя столько раз, сколько указывает показатель степени (число 3).
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: 8.

2) Выражение $3^2$ означает возведение числа 3 во вторую степень (или в квадрат). Это значит, что основание степени (число 3) нужно умножить само на себя 2 раза.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: 9.

3) Выражение $10^4$ означает возведение числа 10 в четвертую степень. Основание 10 нужно умножить само на себя 4 раза. Для степени числа 10 результатом является единица с количеством нулей, равным показателю степени.
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.
Ответ: 10000.

4) Выражение $5^3$ означает возведение числа 5 в третью степень (или в куб). Основание 5 нужно умножить само на себя 3 раза.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125.

309. 1) $1^5$;

2) $(-1)^7$;

3) $0^{15}$;

4) $0^5$.

1) Чтобы вычислить $1^5$, необходимо число 1 (основание степени) умножить на само себя 5 раз (показатель степени).
$1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1$
Существует правило, что число 1 в любой степени всегда равно 1.
Следовательно, $1^5 = 1$.
Ответ: 1

2) Чтобы вычислить $(-1)^7$, необходимо число -1 (основание степени) умножить на само себя 7 раз (показатель степени).
$(-1)^7 = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$
При возведении отрицательного числа в степень, результат зависит от четности показателя. Так как показатель степени 7 является нечетным числом, результат будет отрицательным.
$(-1)^7 = -1$
Ответ: -1

3) Чтобы вычислить $0^{15}$, необходимо число 0 (основание степени) умножить на само себя 15 раз (показатель степени).
$0^{15} = 0 \times 0 \times \dots \times 0$ (15 раз).
При умножении нуля на любое число (включая ноль) результатом всегда является ноль. Следовательно, ноль в любой положительной степени равен нулю.
$0^{15} = 0$
Ответ: 0

4) Чтобы вычислить $0^5$, необходимо число 0 (основание степени) умножить на само себя 5 раз (показатель степени).
$0^5 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0$
Как и в предыдущем примере, ноль в любой положительной степени равен нулю.
$0^5 = 0$
Ответ: 0

310. 1) $( -5 )^3$;

2) $-5^3$;

3) $\left( -2\frac{1}{4} \right)^2$;

4) $-\left( 2\frac{1}{4} \right)^2$.

1) Выражение $(-5)^3$ означает возведение в куб числа $-5$. Основанием степени является число $-5$, а показателем степени — $3$. Это значит, что мы должны умножить $-5$ само на себя три раза.
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$.
При умножении двух отрицательных чисел получается положительное: $(-5) \cdot (-5) = 25$.
Затем умножаем результат на $-5$: $25 \cdot (-5) = -125$.
Так как показатель степени ($3$) — нечетное число, результат возведения отрицательного числа в эту степень будет отрицательным.
Ответ: $-125$.

2) В выражении $-5^3$ отсутствует скобка, поэтому операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус (отрицание). Сначала мы возводим в куб число $5$, а затем применяем знак минуса к результату.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Теперь добавляем знак минус: $-5^3 = -(5^3) = -125$.
Ответ: $-125$.

3) В выражении $(-2\frac{1}{4})^2$ необходимо возвести в квадрат смешанное число $-2\frac{1}{4}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-2\frac{1}{4} = -(\frac{2 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{9}{4}$.
Теперь возводим эту дробь в квадрат. Основанием степени является число $-\frac{9}{4}$, а показателем — $2$.
$(-\frac{9}{4})^2 = (-\frac{9}{4}) \cdot (-\frac{9}{4})$.
При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным.
$(-\frac{9}{4})^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$.
Чтобы представить результат в виде смешанного числа, разделим $81$ на $16$: $81 \div 16 = 5$ и остаток $1$.
$\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

4) В выражении $-(2\frac{1}{4})^2$ знак минуса стоит перед скобками. По порядку действий сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус.
Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Возводим полученную дробь в квадрат:
$(\frac{9}{4})^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$.
Теперь применяем знак минус, который стоял перед всем выражением:
$-(2\frac{1}{4})^2 = -(\frac{81}{16}) = - \frac{81}{16}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{81}{16} = -5\frac{1}{16}$.
Ответ: $-5\frac{1}{16}$.

311. 1) $(\frac{2}{3})^3$;

2) $(\frac{3}{5})^2$;

3) $(1\frac{2}{7})^2$;

4) $(2\frac{1}{3})^3$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это можно записать с помощью формулы: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27}$.
Ответ: $\frac{8}{27}$.

2) Используем то же правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Вычисляем:
$(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25}$.

3) В данном примере нам нужно возвести в степень смешанное число. Для этого сначала преобразуем его в неправильную дробь.
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$.
Теперь возведем полученную неправильную дробь в квадрат:
$(\frac{9}{7})^2 = \frac{9^2}{7^2} = \frac{81}{49}$.
Чтобы представить ответ в виде смешанного числа, выделим целую часть из дроби $\frac{81}{49}$:
$81 \div 49 = 1$ (остаток $81 - 49 = 32$).
Таким образом, $\frac{81}{49} = 1\frac{32}{49}$.
Ответ: $1\frac{32}{49}$.

4) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь возведем полученную дробь в куб:
$(\frac{7}{3})^3 = \frac{7^3}{3^3} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{343}{27}$.
Преобразуем результат обратно в смешанное число, выделив целую часть:
$343 \div 27 = 12$ (остаток $343 - 27 \cdot 12 = 343 - 324 = 19$).
Следовательно, $\frac{343}{27} = 12\frac{19}{27}$.
Ответ: $12\frac{19}{27}$.

312. 1) $2 \cdot (-3)^2$;

2) $-5 \cdot (-2)^3$;

3) $-\frac{1}{2} \cdot (-4)^2$;

4) $-\frac{2}{3} \cdot (-3)^2$.

1) $2 \cdot (-3)^2$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

Первое действие — возведение в квадрат числа $-3$.

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$

Второе действие — умножение результата на 2.

$2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18

2) $-5 \cdot (-2)^3$

Сначала возводим число $-2$ в третью степень.

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Затем умножаем полученный результат на $-5$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.

$-5 \cdot (-8) = 40$

Ответ: 40

3) $-\frac{1}{2} \cdot (-4)^2$

Сначала возводим в квадрат число $-4$.

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$

Далее умножаем дробь $-\frac{1}{2}$ на полученное число 16.

$-\frac{1}{2} \cdot 16 = -\frac{1 \cdot 16}{2} = -\frac{16}{2} = -8$

Ответ: -8

4) $-\frac{2}{3} \cdot (-3)^2$

Сначала возводим в квадрат число $-3$.

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$

Теперь умножаем дробь $-\frac{2}{3}$ на 9.

$-\frac{2}{3} \cdot 9 = -\frac{2 \cdot 9}{3} = -\frac{18}{3} = -6$

Или можно сократить дробь перед умножением:

$-\frac{2}{3} \cdot 9 = -2 \cdot \frac{9}{3} = -2 \cdot 3 = -6$

Ответ: -6

313. Выполнить действия:

1) $12 \cdot 10^2 - 5^3 \cdot 10;$

2) $9^2 \cdot 2 + 200 \cdot (0,1)^2;$

3) $(\frac{1}{3})^4 \cdot 27 + (0,1)^5 \cdot 50 000;$

4) $10^3 : 40 - (\frac{1}{4})^3 \cdot 128.$

1) $12 \cdot 10^2 - 5^3 \cdot 10$
Вначале выполняем возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание, следуя порядку математических операций.
1. Возводим числа в степень: $10^2 = 100$ и $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
2. Подставляем полученные значения обратно в выражение: $12 \cdot 100 - 125 \cdot 10$.
3. Выполняем операции умножения: $12 \cdot 100 = 1200$ и $125 \cdot 10 = 1250$.
4. Выполняем вычитание: $1200 - 1250 = -50$.
Ответ: -50

2) $9^2 \cdot 2 + 200 \cdot (0,1)^2$
Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и последним действием — сложение.
1. Возводим числа в степень: $9^2 = 81$ и $(0,1)^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.
2. Подставляем значения в выражение: $81 \cdot 2 + 200 \cdot 0,01$.
3. Выполняем умножение: $81 \cdot 2 = 162$ и $200 \cdot 0,01 = 2$.
4. Выполняем сложение: $162 + 2 = 164$.
Ответ: 164

3) $(\frac{1}{3})^4 \cdot 27 + (0,1)^5 \cdot 50000$
Сначала возводим в степень, потом выполняем умножение для каждого слагаемого, а затем складываем результаты.
1. Возводим в степень: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$ и $(0,1)^5 = 0,00001$.
2. Подставляем значения в выражение: $\frac{1}{81} \cdot 27 + 0,00001 \cdot 50000$.
3. Выполняем умножение: $\frac{1}{81} \cdot 27 = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$ и $0,00001 \cdot 50000 = 0,5$.
4. Выполняем сложение. Для этого представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

4) $10^3 : 40 - (\frac{1}{4})^3 \cdot 128$
Порядок действий: возведение в степень, затем деление и умножение слева направо, и в конце вычитание.
1. Возводим числа в степень: $10^3 = 1000$ и $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$.
2. Подставляем значения в выражение: $1000 : 40 - \frac{1}{64} \cdot 128$.
3. Выполняем деление и умножение: $1000 : 40 = 25$ и $\frac{1}{64} \cdot 128 = \frac{128}{64} = 2$.
4. Выполняем вычитание: $25 - 2 = 23$.
Ответ: 23

314. Записать в виде суммы разрядных слагаемых число:

1) $12743 = 10000 + 2000 + 700 + 40 + 3$

2) $5043201 = 5000000 + 40000 + 3000 + 200 + 1$

3) $13027030 = 10000000 + 3000000 + 20000 + 7000 + 30$

4) $12350107 = 10000000 + 2000000 + 300000 + 50000 + 100 + 7$

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно определить значение каждой цифры в зависимости от ее позиции (разряда) и сложить эти значения. Разряды, в которых стоит цифра 0, в сумму не включаются, так как их значение равно нулю.

1) Для числа 12 743 разложение на разрядные слагаемые выглядит следующим образом:
Цифра 1 в разряде десятков тысяч соответствует слагаемому $10000$.
Цифра 2 в разряде тысяч соответствует слагаемому $2000$.
Цифра 7 в разряде сотен соответствует слагаемому $700$.
Цифра 4 в разряде десятков соответствует слагаемому $40$.
Цифра 3 в разряде единиц соответствует слагаемому $3$.
Сумма этих слагаемых и есть искомое разложение.
Ответ: $12743 = 10000 + 2000 + 700 + 40 + 3$.

2) Для числа 5 043 201 разложение на разрядные слагаемые выглядит следующим образом:
Цифра 5 в разряде миллионов соответствует слагаемому $5000000$.
Цифра 4 в разряде десятков тысяч соответствует слагаемому $40000$.
Цифра 3 в разряде тысяч соответствует слагаемому $3000$.
Цифра 2 в разряде сотен соответствует слагаемому $200$.
Цифра 1 в разряде единиц соответствует слагаемому $1$.
Разряды сотен тысяч и десятков содержат нули, поэтому они не добавляют слагаемых в сумму.
Ответ: $5043201 = 5000000 + 40000 + 3000 + 200 + 1$.

3) Для числа 13 027 030 разложение на разрядные слагаемые выглядит следующим образом:
Цифра 1 в разряде десятков миллионов соответствует слагаемому $10000000$.
Цифра 3 в разряде миллионов соответствует слагаемому $3000000$.
Цифра 2 в разряде десятков тысяч соответствует слагаемому $20000$.
Цифра 7 в разряде тысяч соответствует слагаемому $7000$.
Цифра 3 в разряде десятков соответствует слагаемому $30$.
Разряды сотен тысяч, сотен и единиц содержат нули.
Ответ: $13027030 = 10000000 + 3000000 + 20000 + 7000 + 30$.

4) Для числа 12 350 107 разложение на разрядные слагаемые выглядит следующим образом:
Цифра 1 в разряде десятков миллионов соответствует слагаемому $10000000$.
Цифра 2 в разряде миллионов соответствует слагаемому $2000000$.
Цифра 3 в разряде сотен тысяч соответствует слагаемому $300000$.
Цифра 5 в разряде десятков тысяч соответствует слагаемому $50000$.
Цифра 1 в разряде сотен соответствует слагаемому $100$.
Цифра 7 в разряде единиц соответствует слагаемому $7$.
Разряды тысяч и десятков содержат нули.
Ответ: $12350107 = 10000000 + 2000000 + 300000 + 50000 + 100 + 7$.

315. Записать число, представленное суммой разрядных слагаемых:

1) $2 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 1;$

2) $3 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10 + 7;$

3) $7 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 8;$

4) $1 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^3 + 1.$

1) В сумме $2 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 1$ представлены все разряды от сотен тысяч ($10^5$) до единиц ($10^0$). Коэффициенты при степенях десяти являются цифрами искомого числа. Записывая их по порядку от старшего разряда к младшему, получаем: 2 (сотни тысяч), 3 (десятки тысяч), 5 (тысячи), 1 (сотни), 2 (десятки) и 1 (единицы). Таким образом, искомое число равно 235121.

Ответ: 235121.

2) В сумме $3 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10 + 7$ старшим разрядом является миллион ($10^6$). Записываем цифры по разрядам, начиная со старшего. Если какой-либо разряд в сумме отсутствует, на его место в числе ставится 0. Получаем: 3 (миллионы), 5 (сотни тысяч), 3 (десятки тысяч), 2 (тысячи), 0 (сотни, так как член с $10^2$ отсутствует), 3 (десятки), 7 (единицы). Искомое число — 3532037.

Ответ: 3532037.

3) В сумме $7 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 8$ старший разряд — сотни тысяч ($10^5$). Составляем число, подставляя 0 на места отсутствующих разрядов. Получаем: 7 (сотни тысяч), 0 (десятки тысяч, так как член с $10^4$ отсутствует), 1 (тысячи), 5 (сотни), 0 (десятки, так как член с $10^1$ отсутствует), 8 (единицы). Искомое число — 701508.

Ответ: 701508.

4) В сумме $1 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^3 + 1$ старший разряд — сотни тысяч ($10^5$). Составляем число, подставляя 0 на места отсутствующих разрядов. Получаем: 1 (сотни тысяч), 0 (десятки тысяч, так как член с $10^4$ отсутствует), 1 (тысячи), 0 (сотни, так как член с $10^2$ отсутствует), 0 (десятки, так как член с $10^1$ отсутствует), 1 (единица). Искомое число — 101001.

Ответ: 101001.

316. Делится ли сумма на 3; на 5:

1) $2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2 + 6;$

2) $4 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10 + 5;$

3) $7 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2;$

4) $5 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 10?$

1) Чтобы определить, делится ли сумма $2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2 + 6$ на 3 и на 5, сначала вычислим ее значение. Данное выражение является разложением числа по разрядам.
$2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2 + 6 = 2 \cdot 10000 + 3 \cdot 100 + 6 = 20000 + 300 + 6 = 20306$.
Проверка делимости на 3:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Сумма цифр числа 20306: $2 + 0 + 3 + 0 + 6 = 11$.
11 не делится на 3, следовательно, и число 20306 не делится на 3.
Проверка делимости на 5:
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Последняя цифра числа 20306 равна 6. Следовательно, число 20306 не делится на 5.
Ответ: на 3 не делится; на 5 не делится.

2) Рассмотрим сумму $4 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10 + 5$.
Вычислим значение выражения: $4 \cdot 100000 + 3 \cdot 10000 + 2 \cdot 10 + 5 = 400000 + 30000 + 20 + 5 = 430025$.
Проверка делимости на 3:
Сумма цифр числа 430025: $4 + 3 + 0 + 0 + 2 + 5 = 14$.
14 не делится на 3, следовательно, и число 430025 не делится на 3.
Проверка делимости на 5:
Последняя цифра числа 430025 равна 5. Следовательно, число 430025 делится на 5.
Ответ: на 3 не делится; на 5 делится.

3) Рассмотрим сумму $7 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2$.
Вычислим значение выражения: $7 \cdot 1000 + 8 \cdot 100 = 7000 + 800 = 7800$.
Проверка делимости на 3:
Сумма цифр числа 7800: $7 + 8 + 0 + 0 = 15$.
15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), следовательно, и число 7800 делится на 3.
Проверка делимости на 5:
Последняя цифра числа 7800 равна 0. Следовательно, число 7800 делится на 5.
Ответ: на 3 делится; на 5 делится.

4) Рассмотрим сумму $5 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 10$.
Вычислим значение выражения: $5 \cdot 10000 + 3 \cdot 1000 + 10 = 50000 + 3000 + 10 = 53010$.
Проверка делимости на 3:
Сумма цифр числа 53010: $5 + 3 + 0 + 1 + 0 = 9$.
9 делится на 3 ($9 : 3 = 3$), следовательно, и число 53010 делится на 3.
Проверка делимости на 5:
Последняя цифра числа 53010 равна 0. Следовательно, число 53010 делится на 5.
Ответ: на 3 делится; на 5 делится.

317. Записать в стандартном виде число:

1) 249; 2) 781; 3) 84 340; 4) 80 005; 5) 3100,2; 6) 127,48.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Чтобы представить число в стандартном виде, нужно переместить десятичную запятую так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. Количество позиций, на которое была сдвинута запятая, будет показателем степени $n$. Если запятая сдвигается влево, показатель $n$ положителен.

1)

В числе 249 десятичная запятая находится в конце (249,0). Чтобы получить число $a$, удовлетворяющее условию $1 \le a < 10$, нужно перенести запятую на 2 знака влево. Получим 2,49. Поскольку запятая была перенесена на 2 знака влево, показатель степени $n$ равен 2. Таким образом, $249 = 2,49 \cdot 10^2$.
Ответ: $2,49 \cdot 10^2$

2)

В числе 781 перенесем запятую на 2 знака влево, чтобы получить 7,81. Так как мы перенесли запятую на 2 знака влево, показатель степени $n$ равен 2. Таким образом, $781 = 7,81 \cdot 10^2$.
Ответ: $7,81 \cdot 10^2$

3)

В числе 84 340 перенесем запятую на 4 знака влево, чтобы получить 8,4340 или 8,434. Так как мы перенесли запятую на 4 знака влево, показатель степени $n$ равен 4. Таким образом, $84340 = 8,434 \cdot 10^4$.
Ответ: $8,434 \cdot 10^4$

4)

В числе 80 005 перенесем запятую на 4 знака влево, чтобы получить 8,0005. Так как мы перенесли запятую на 4 знака влево, показатель степени $n$ равен 4. Таким образом, $80005 = 8,0005 \cdot 10^4$.
Ответ: $8,0005 \cdot 10^4$

5)

В числе 3100,2 перенесем запятую на 3 знака влево, чтобы получить 3,1002. Так как мы перенесли запятую на 3 знака влево, показатель степени $n$ равен 3. Таким образом, $3100,2 = 3,1002 \cdot 10^3$.
Ответ: $3,1002 \cdot 10^3$

6)

В числе 127,48 перенесем запятую на 2 знака влево, чтобы получить 1,2748. Так как мы перенесли запятую на 2 знака влево, показатель степени $n$ равен 2. Таким образом, $127,48 = 1,2748 \cdot 10^2$.
Ответ: $1,2748 \cdot 10^2$

318. Ребро куба равно $k$ сантиметров. Записать формулы площади его поверхности $S$ и объёма $V$.

Формула площади поверхности S

Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней. Каждая грань представляет собой квадрат, сторона которого равна ребру куба, то есть $k$ см. Площадь одного такого квадрата (одной грани) вычисляется по формуле: $S_{грани} = k \cdot k = k^2$. Поскольку у куба 6 таких граней, общая площадь его поверхности $S$ равна площади одной грани, умноженной на 6. Таким образом, формула для площади поверхности куба имеет вид: $S = 6 \cdot k^2$.

Ответ: $S = 6k^2$ см².

Формула объёма V

Объём куба $V$ вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. У куба все эти три измерения равны его ребру $k$. Следовательно, для нахождения объёма необходимо возвести длину ребра в третью степень. Формула для объёма куба имеет вид: $V = k \cdot k \cdot k = k^3$.

Ответ: $V = k^3$ см³.