Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. (Задача о жизни Диофанта.) Диофант провёл шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую — в юности; после седьмой части, проведённой в бездетном супружестве, и ещё после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант?

1. (Задача о жизни Диофанта.)

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество лет, которые прожил Диофант.

Согласно условию задачи, всю жизнь Диофанта можно представить как сумму нескольких периодов:
- Детство: шестая часть жизни, то есть $\frac{x}{6}$ лет.
- Юность: двенадцатая часть жизни, то есть $\frac{x}{12}$ лет.
- Бездетное супружество: седьмая часть жизни, то есть $\frac{x}{7}$ лет.
- Период до рождения сына: 5 лет.
- Период жизни с сыном: сын прожил половину жизни отца, то есть $\frac{x}{2}$ лет.
- Жизнь после смерти сына: 4 года.

Сумма всех этих периодов составляет полную продолжительность жизни Диофанта, $x$. На основании этого составим линейное уравнение:

$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$

Упростим уравнение, сложив числовые слагаемые в левой части: $5 + 4 = 9$.

$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 9 = x$

Теперь сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.

$9 = x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2}$

Для того чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 6, 12, 7 и 2 равно 84.

$9 = \frac{84x}{84} - \frac{14x}{84} - \frac{7x}{84} - \frac{12x}{84} - \frac{42x}{84}$

Объединим дроби в правой части:

$9 = \frac{84x - 14x - 7x - 12x - 42x}{84}$

$9 = \frac{(84 - 14 - 7 - 12 - 42)x}{84}$

Вычислим выражение в скобках: $84 - 14 - 7 - 12 - 42 = 9$.

$9 = \frac{9x}{84}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9 и затем умножим на 84:

$1 = \frac{x}{84}$

$x = 84$

Таким образом, Диофант прожил 84 года. Проверим, соответствуют ли периоды его жизни этому возрасту:
- Детство: $\frac{84}{6} = 14$ лет.
- Юность: $\frac{84}{12} = 7$ лет.
- Бездетный брак: $\frac{84}{7} = 12$ лет.
- До рождения сына: 5 лет.
- Жизнь сына: $\frac{84}{2} = 42$ года.
- После смерти сына: 4 года.
Сумма: $14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84$ года.
Решение верно.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась четверть этой суммы, на долю второго — седьмая часть, а на долю третьего — 17 флоринов. Каков весь выигрыш?

Для решения этой задачи необходимо определить, какую долю от общего выигрыша составляют деньги, полученные первым и вторым человеком вместе, а затем найти, какая доля досталась третьему.

1. Найдем суммарную долю первого и второго победителей. Доля первого — $\frac{1}{4}$, доля второго — $\frac{1}{7}$. Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 28 ($4 \cdot 7 = 28$):

$\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{28} + \frac{1 \cdot 4}{28} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28}$

Таким образом, первый и второй победители вместе получили $\frac{11}{28}$ от всей суммы выигрыша.

2. Теперь определим, какая доля выигрыша досталась третьему. Весь выигрыш принимаем за единицу, или $\frac{28}{28}$. Доля третьего — это оставшаяся часть:

$1 - \frac{11}{28} = \frac{28}{28} - \frac{11}{28} = \frac{17}{28}$

3. Из условия задачи мы знаем, что эта доля, равная $\frac{17}{28}$ от общего выигрыша, составляет 17 флоринов. Обозначим весь выигрыш через $x$. Тогда можно составить уравнение:

$\frac{17}{28} \cdot x = 17$

4. Чтобы найти $x$, нужно разделить 17 на дробь $\frac{17}{28}$. Это эквивалентно умножению на обратную дробь $\frac{28}{17}$:

$x = 17 \cdot \frac{28}{17}$

Сократив 17 в числителе и знаменателе, получаем:

$x = 28$

Следовательно, вся сумма выигрыша составляет 28 флоринов.

Ответ: Весь выигрыш составляет 28 флоринов.

3. (Автор неизвестен.)

Летела стая гусей. Навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, 100 гусей!» Те ему отвечают: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько есть, да ещё столько, да полстолько, да четвертьстолько, да ещё ты, глупый гусь, был бы с нами, тогда нас было бы 100!»

Сколько гусей было в стае?

Для решения этой задачи обозначим искомое количество гусей в стае за $x$.

Согласно ответу гусей из стаи, если сложить их текущее количество, еще столько же, половину от их количества, четверть от их количества и еще одного встречного гуся, то получится 100. Это можно выразить в виде уравнения. Разберем его составляющие:

• «столько, сколько есть» — это $x$;
• «да ещё столько» — это еще $x$;
• «да полстолько» — это половина от первоначального количества, то есть $\frac{1}{2}x$ или $0.5x$;
• «да четвертьстолько» — это четверть от первоначального количества, то есть $\frac{1}{4}x$ или $0.25x$;
• «да ещё ты, глупый гусь» — это один встречный гусь, то есть $1$.

Сумма всех этих частей равна 100. Таким образом, получаем следующее уравнение:

$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь приступим к решению уравнения. Сначала сложим все слагаемые, содержащие переменную $x$.

$2x + 0.5x + 0.25x + 1 = 100$

$2.75x + 1 = 100$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2.75x = 100 - 1$

$2.75x = 99$

Чтобы найти $x$, разделим 99 на 2.75. Для удобства можно представить 2.75 в виде обыкновенной дроби: $2.75 = 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

$\frac{11}{4}x = 99$

Теперь найдем $x$, умножив 99 на дробь, обратную $\frac{11}{4}$, то есть на $\frac{4}{11}$:

$x = 99 \cdot \frac{4}{11}$

Сократим 99 и 11 (поскольку $99 = 9 \cdot 11$):

$x = \frac{9 \cdot 11 \cdot 4}{11} = 9 \cdot 4$

$x = 36$

Мы получили, что в стае было 36 гусей. Проверим, сходится ли этот результат с условием задачи:

$36$ (столько, сколько есть) + $36$ (еще столько) + $18$ (полстолько) + $9$ (четвертьстолько) + $1$ (встречный гусь) = $72 + 18 + 9 + 1 = 90 + 10 = 100$.

Условие выполняется. Следовательно, решение верное.

Ответ: в стае было 36 гусей.

4. (Задача из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.) Некто пришёл в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку за- платил $ \frac{1}{5} $ часть всех своих денег, за другую $ \frac{3}{7} $ остатка от пер- вой покупки, за третью игрушку заплатил $ \frac{3}{5} $ остатка от второй покупки. А по приезде домой нашёл в кошельке остальных де- нег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку денег заплачено?

Для решения этой задачи целесообразно все денежные суммы перевести в копейки и производить вычисления, а затем перевести итоговые результаты обратно в рубли и копейки. Учитывая, что 1 рубль равен 100 копейкам, остаток денег 1 р. 92 к. составляет 192 копейки. Задачу будем решать в обратном порядке, с конца.

1. После всех покупок осталось 192 копейки. На третью игрушку было потрачено $ \frac{3}{5} $ остатка от второй покупки. Это означает, что оставшиеся 192 копейки представляют собой $ 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $ от той суммы, которая была в кошельке перед третьей покупкой. Найдем эту сумму:
$ 192 \div \frac{2}{5} = 192 \times \frac{5}{2} = 96 \times 5 = 480 $ копеек.
Следовательно, стоимость третьей игрушки равна: $ 480 - 192 = 288 $ копеек.

2. Сумма в 480 копеек — это деньги, которые остались после второй покупки. На вторую игрушку было потрачено $ \frac{3}{7} $ остатка от первой покупки. Значит, 480 копеек — это $ 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} $ от суммы, которая была перед второй покупкой. Найдем эту сумму:
$ 480 \div \frac{4}{7} = 480 \times \frac{7}{4} = 120 \times 7 = 840 $ копеек.
Стоимость второй игрушки равна: $ 840 - 480 = 360 $ копеек.

3. Сумма в 840 копеек — это остаток после первой покупки. На первую игрушку была потрачена $ \frac{1}{5} $ всех первоначальных денег. Таким образом, 840 копеек составляют $ 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $ от всей исходной суммы. Найдем первоначальную сумму денег:
$ 840 \div \frac{4}{5} = 840 \times \frac{5}{4} = 210 \times 5 = 1050 $ копеек.
Стоимость первой игрушки равна: $ 1050 - 840 = 210 $ копеек.

Теперь, зная все суммы в копейках, можно дать ответы на поставленные в задаче вопросы.

сколько в кошельке денег было
Первоначально в кошельке было 1050 копеек, что составляет 10 рублей 50 копеек.
Ответ: 10 р. 50 к.

сколько за каждую игрушку денег заплачено
Стоимость первой игрушки: 210 копеек = 2 рубля 10 копеек.
Стоимость второй игрушки: 360 копеек = 3 рубля 60 копеек.
Стоимость третьей игрушки: 288 копеек = 2 рубля 88 копеек.
Ответ: за первую игрушку заплачено 2 р. 10 к., за вторую — 3 р. 60 к., за третью — 2 р. 88 к.

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти стороны треугольника, если боковая сторона на 5 см больше основания.

1. Обозначим длину основания равнобедренного треугольника как $x$ см. Согласно условию задачи, боковая сторона на 5 см больше основания, следовательно, её длина составляет $(x + 5)$ см. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для нашего случая формула периметра будет следующей:
$P = \text{основание} + 2 \cdot \text{боковая сторона}$

Подставим в формулу известные значения и переменные. Периметр равен 46 см.
$46 = x + 2(x + 5)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
$46 = x + 2x + 10$
$46 = 3x + 10$
$46 - 10 = 3x$
$36 = 3x$
$x = \frac{36}{3}$
$x = 12$

Таким образом, длина основания треугольника равна 12 см.

Теперь найдем длину боковой стороны, которая на 5 см больше основания:
Боковая сторона $= x + 5 = 12 + 5 = 17$ см.

Проверим правильность решения, сложив длины всех сторон:
$12 \text{ см} + 17 \text{ см} + 17 \text{ см} = 46 \text{ см}$.
Периметр совпадает с заданным в условии, значит, стороны найдены верно.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 17 см и 17 см.

2. В равнобедренном треугольнике основание составляет 0,4 боковой стороны. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 36 см.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку в равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, то у нас есть две стороны длиной по $x$ см.

Согласно условию задачи, основание составляет 0,4 боковой стороны. Следовательно, длина основания равна $0,4x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр нам известен и равен 36 см. Составим и решим уравнение, приравняв сумму сторон к периметру:

$x + x + 0,4x = 36$

Сложим все члены с переменной $x$ в левой части уравнения:

$2,4x = 36$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,4:

$x = 36 / 2,4$

Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в делителе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = 360 / 24$

$x = 15$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет 15 см.

Теперь найдем длину основания, подставив найденное значение $x$ в выражение для основания ($0,4x$):

Длина основания = $0,4 * 15 = 6$ см.

Проверим, равен ли периметр 36 см: $15 \text{ см} + 15 \text{ см} + 6 \text{ см} = 36 \text{ см}$. Все верно.

Ответ: боковые стороны треугольника равны по 15 см, а основание — 6 см.

3. По всей границе земельного участка прямоугольной формы поставили забор. Ширина участка 150 м, а длина всего забора 1 км. Найти длину участка.

Длина забора, установленного по всей границе земельного участка, равна его периметру. Земельный участок имеет прямоугольную форму. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле, где $a$ — длина, а $b$ — ширина участка:
$P = 2 \cdot (a + b)$

Из условия задачи нам известны следующие данные:
Ширина участка $b = 150$ м.
Длина всего забора (периметр) $P = 1$ км.

Прежде чем подставлять значения в формулу, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем километры в метры, так как ширина дана в метрах.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Таким образом, периметр участка $P = 1000$ м.

Теперь мы можем найти длину участка ($a$), подставив известные значения в формулу периметра.
$1000 = 2 \cdot (a + 150)$

Для решения этого уравнения можно сначала найти полупериметр (сумму длины и ширины), разделив общую длину забора на 2:
$a + 150 = \frac{1000}{2}$
$a + 150 = 500$

Далее, чтобы найти неизвестную длину $a$, вычтем из полупериметра известную ширину:
$a = 500 - 150$
$a = 350$

Следовательно, длина земельного участка равна 350 м.

Ответ: 350 м.

4. Вдоль границы участка прямоугольной формы, длина которого в 3 раза больше ширины ($L = 3W$), вырыли канаву длиной 240 м ($2(L+W) = 240$). Найти длину и ширину участка.

Обозначим ширину прямоугольного участка как $x$ метров.

Из условия задачи известно, что длина участка в 3 раза больше его ширины. Следовательно, длина участка составляет $3x$ метров.

Канава, вырытая вдоль границы участка, имеет длину, равную периметру этого прямоугольного участка. Периметр $P$ прямоугольника находится по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

По условию, длина канавы (периметр) равна 240 м. Подставим наши обозначения в формулу периметра и составим уравнение: $2 \cdot (3x + x) = 240$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2 \cdot (4x) = 240$
$8x = 240$
$x = \frac{240}{8}$
$x = 30$

Таким образом, ширина участка равна 30 метров.

Теперь найдем длину участка:
$3x = 3 \cdot 30 = 90$

Длина участка равна 90 метров.

Проверим правильность решения: периметр участка равен $2 \cdot (90 + 30) = 2 \cdot 120 = 240$ м. Это соответствует длине вырытой канавы.

Ответ: длина участка составляет 90 м, а ширина – 30 м.

5. Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым числом витков и высотой 122 мм. Найти количество витков пружины, если зазор между витками пружины должен составлять 8 мм.

Для решения этой задачи необходимо определить, как общая высота пружины связана с количеством витков, диаметром проволоки и зазором между витками.

Обозначим:

• $H$ — общая высота пружины ($122$ мм).
• $d$ — диаметр проволоки ($5$ мм).
• $s$ — зазор между витками ($8$ мм).
• $n$ — искомое количество витков (должно быть целым числом).

Общая высота пружины $H$ состоит из суммы высот, занимаемых всеми витками, и суммы всех зазоров между ними.

Если пружина имеет $n$ витков, то общая высота, занимаемая самой проволокой, равна произведению количества витков на диаметр проволоки:

Высота проволоки $= n \cdot d$

Между $n$ витками находится $(n - 1)$ зазоров. Общая высота, занимаемая зазорами, равна произведению количества зазоров на величину одного зазора:

Высота зазоров $= (n - 1) \cdot s$

Таким образом, общая высота пружины $H$ может быть выражена следующей формулой:

$H = (n \cdot d) + ((n - 1) \cdot s)$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

$122 = n \cdot 5 + (n - 1) \cdot 8$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $n$:

$122 = 5n + 8n - 8$

Сгруппируем члены с $n$ и перенесем свободные члены в одну сторону:

$122 + 8 = 13n$

$130 = 13n$

Найдем $n$:

$n = \frac{130}{13}$

$n = 10$

Полученное число витков $n=10$ является целым, что соответствует условию задачи.

Для проверки можно подставить найденное значение обратно в формулу:

$H = 10 \cdot 5 + (10 - 1) \cdot 8 = 50 + 9 \cdot 8 = 50 + 72 = 122$ мм.

Вычисленная высота совпадает с заданной в условии, следовательно, расчет верен.

Ответ: количество витков пружины должно быть равно 10.