Номер 5, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым числом витков и высотой 122 мм. Найти количество витков пружины, если зазор между витками пружины должен составлять 8 мм.

Для решения этой задачи необходимо определить, как общая высота пружины связана с количеством витков, диаметром проволоки и зазором между витками.

Обозначим:

• $H$ — общая высота пружины ($122$ мм).
• $d$ — диаметр проволоки ($5$ мм).
• $s$ — зазор между витками ($8$ мм).
• $n$ — искомое количество витков (должно быть целым числом).

Общая высота пружины $H$ состоит из суммы высот, занимаемых всеми витками, и суммы всех зазоров между ними.

Если пружина имеет $n$ витков, то общая высота, занимаемая самой проволокой, равна произведению количества витков на диаметр проволоки:

Высота проволоки $= n \cdot d$

Между $n$ витками находится $(n - 1)$ зазоров. Общая высота, занимаемая зазорами, равна произведению количества зазоров на величину одного зазора:

Высота зазоров $= (n - 1) \cdot s$

Таким образом, общая высота пружины $H$ может быть выражена следующей формулой:

$H = (n \cdot d) + ((n - 1) \cdot s)$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

$122 = n \cdot 5 + (n - 1) \cdot 8$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $n$:

$122 = 5n + 8n - 8$

Сгруппируем члены с $n$ и перенесем свободные члены в одну сторону:

$122 + 8 = 13n$

$130 = 13n$

Найдем $n$:

$n = \frac{130}{13}$

$n = 10$

Полученное число витков $n=10$ является целым, что соответствует условию задачи.

Для проверки можно подставить найденное значение обратно в формулу:

$H = 10 \cdot 5 + (10 - 1) \cdot 8 = 50 + 9 \cdot 8 = 50 + 72 = 122$ мм.

Вычисленная высота совпадает с заданной в условии, следовательно, расчет верен.

Ответ: количество витков пружины должно быть равно 10.