Номер 7, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Во время стирки ткань садится на $\frac{1}{16}$ по длине и на $\frac{1}{18}$ по ширине. Сколько метров ткани шириной 90 см нужно приобрести, чтобы после стирки иметь 51 м$^2$ материала?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $L_0$ и $W_0$ — исходные длина и ширина ткани до стирки, а $L_1$ и $W_1$ — длина и ширина после стирки.

Из условия задачи известны:

• Исходная ширина ткани: $W_0 = 90 \text{ см}$. Переведем это значение в метры для удобства расчетов: $W_0 = 0.9 \text{ м}$.
• Площадь ткани после стирки: $A_1 = L_1 \cdot W_1 = 51 \text{ м}^2$.

Найдем, как изменяются размеры ткани после стирки.

Ткань садится на $\frac{1}{16}$ по длине. Это значит, что от первоначальной длины остается $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. Таким образом, длина после стирки связана с исходной длиной следующим соотношением: $L_1 = L_0 \cdot \frac{15}{16}$.

Ткань садится на $\frac{1}{18}$ по ширине. От первоначальной ширины остается $1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$. Ширина после стирки равна: $W_1 = W_0 \cdot \frac{17}{18}$.

Теперь выполним расчеты по шагам.

1. Вычислим ширину ткани после стирки ($W_1$):
Подставим известное значение $W_0 = 0.9 \text{ м}$ в формулу для $W_1$: $W_1 = 0.9 \cdot \frac{17}{18} = \frac{9}{10} \cdot \frac{17}{18} = \frac{1 \cdot 17}{10 \cdot 2} = \frac{17}{20} = 0.85 \text{ м}$.

2. Найдем длину ткани после стирки ($L_1$):
Мы знаем площадь $A_1$ и ширину $W_1$ после стирки. Можем найти длину $L_1$: $A_1 = L_1 \cdot W_1 \implies L_1 = \frac{A_1}{W_1}$ $L_1 = \frac{51}{0.85} = \frac{51}{\frac{17}{20}} = 51 \cdot \frac{20}{17}$. Так как $51 = 3 \cdot 17$, получаем: $L_1 = 3 \cdot 17 \cdot \frac{20}{17} = 3 \cdot 20 = 60 \text{ м}$.

3. Рассчитаем исходную длину ткани ($L_0$):
Мы знаем, какой должна быть длина после стирки ($L_1 = 60 \text{ м}$), и как она связана с исходной длиной $L_0$. Найдем $L_0$: $L_1 = L_0 \cdot \frac{15}{16} \implies L_0 = \frac{L_1}{\frac{15}{16}} = L_1 \cdot \frac{16}{15}$ $L_0 = 60 \cdot \frac{16}{15}$. Так как $60 = 4 \cdot 15$, получаем: $L_0 = 4 \cdot 15 \cdot \frac{16}{15} = 4 \cdot 16 = 64 \text{ м}$.

Таким образом, чтобы после стирки получить 51 м² материала, необходимо приобрести 64 метра ткани шириной 90 см.

Ответ: 64 м.