Номер 3, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. За 15 м ткани двух сортов заплатили 2840 р. При этом 1 м ткани I сорта стоит 200 р., а II сорта — 180 р. Сколько метров ткани каждого сорта куплено?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество метров ткани I сорта, а $y$ — количество метров ткани II сорта.

На основании условий задачи составим систему из двух уравнений.

Первое уравнение основано на общей длине ткани: всего купили 15 метров.

$x + y = 15$

Второе уравнение основано на общей стоимости покупки. Стоимость $x$ метров ткани I сорта по 200 рублей за метр и $y$ метров ткани II сорта по 180 рублей за метр составила 2840 рублей.

$200x + 180y = 2840$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 15 \\ 200x + 180y = 2840 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 15 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$200x + 180(15 - x) = 2840$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$200x + 2700 - 180x = 2840$

Приведем подобные слагаемые:

$20x + 2700 = 2840$

Перенесем 2700 в правую часть уравнения:

$20x = 2840 - 2700$

$20x = 140$

Найдем $x$:

$x = \frac{140}{20}$

$x = 7$

Итак, было куплено 7 метров ткани I сорта.

Теперь найдем количество метров ткани II сорта, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 15 - x$:

$y = 15 - 7$

$y = 8$

Следовательно, было куплено 8 метров ткани II сорта.

Проверка

Убедимся, что найденные значения удовлетворяют условиям задачи.
Общая длина ткани: $7 \text{ м} + 8 \text{ м} = 15 \text{ м}$. Это соответствует условию.
Общая стоимость ткани: $(7 \times 200 \text{ р.}) + (8 \times 180 \text{ р.}) = 1400 \text{ р.} + 1440 \text{ р.} = 2840 \text{ р.}$. Это также соответствует условию.

Ответ: было куплено 7 метров ткани I сорта и 8 метров ткани II сорта.