Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Проверить, есть ли среди чисел 1; 0; -4 корень уравнения $3(x-7)+4=7x-1$.

Для того чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение. Если в результате левая и правая части уравнения окажутся равны, то число является корнем.

Исходное уравнение: $3(x-7)+4=7x-1$.

Проверка для числа 1

Подставим $x=1$ в левую и правую части уравнения.

Левая часть: $3(1-7)+4 = 3 \cdot (-6)+4 = -18+4 = -14$.

Правая часть: $7 \cdot 1 - 1 = 7-1 = 6$.

Сравниваем результаты: $-14 \neq 6$. Равенство не выполняется, следовательно, число 1 не является корнем уравнения.

Проверка для числа 0

Подставим $x=0$ в левую и правую части уравнения.

Левая часть: $3(0-7)+4 = 3 \cdot (-7)+4 = -21+4 = -17$.

Правая часть: $7 \cdot 0 - 1 = 0-1 = -1$.

Сравниваем результаты: $-17 \neq -1$. Равенство не выполняется, следовательно, число 0 не является корнем уравнения.

Проверка для числа -4

Подставим $x=-4$ в левую и правую части уравнения.

Левая часть: $3(-4-7)+4 = 3 \cdot (-11)+4 = -33+4 = -29$.

Правая часть: $7 \cdot (-4) - 1 = -28-1 = -29$.

Сравниваем результаты: $-29 = -29$. Равенство выполняется, следовательно, число -4 является корнем уравнения.

Ответ: да, среди чисел 1, 0, -4 есть корень уравнения, это число -4.

2. Решить уравнение:

а) $2x - 3(x - 1) = 4 + 2(x - 1);$

б) $\frac{x}{3} + \frac{x + 1}{4} = 2.$

а) Дано уравнение: $2x - 3(x - 1) = 4 + 2(x - 1)$.
Первым шагом раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для этого умножим число перед скобкой на каждый член внутри скобки:
$2x - 3 \cdot x - 3 \cdot (-1) = 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot (-1)$
$2x - 3x + 3 = 4 + 2x - 2$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:
$(2x - 3x) + 3 = (4 - 2) + 2x$
$-x + 3 = 2 + 2x$
Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону (например, в левую), а постоянные члены (числа) — в другую (в правую). При переносе члена из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный:
$-x - 2x = 2 - 3$
Снова приведем подобные слагаемые:
$-3x = -1$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -3:
$x = \frac{-1}{-3}$
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) Дано уравнение: $\frac{x}{3} + \frac{x+1}{4} = 2$.
Чтобы избавиться от знаменателей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.
Умножим каждый член уравнения на 12:
$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x+1}{4} = 12 \cdot 2$
Сократим дроби:
$4 \cdot x + 3 \cdot (x+1) = 24$
$4x + 3(x+1) = 24$
Раскроем скобки:
$4x + 3x + 3 = 24$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$7x + 3 = 24$
Перенесем постоянный член (3) в правую часть, изменив его знак:
$7x = 24 - 3$
$7x = 21$
Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:
$x = \frac{21}{7}$
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

3. За 15 м ткани двух сортов заплатили 2840 р. При этом 1 м ткани I сорта стоит 200 р., а II сорта — 180 р. Сколько метров ткани каждого сорта куплено?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество метров ткани I сорта, а $y$ — количество метров ткани II сорта.

На основании условий задачи составим систему из двух уравнений.

Первое уравнение основано на общей длине ткани: всего купили 15 метров.

$x + y = 15$

Второе уравнение основано на общей стоимости покупки. Стоимость $x$ метров ткани I сорта по 200 рублей за метр и $y$ метров ткани II сорта по 180 рублей за метр составила 2840 рублей.

$200x + 180y = 2840$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 15 \\ 200x + 180y = 2840 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 15 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$200x + 180(15 - x) = 2840$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$200x + 2700 - 180x = 2840$

Приведем подобные слагаемые:

$20x + 2700 = 2840$

Перенесем 2700 в правую часть уравнения:

$20x = 2840 - 2700$

$20x = 140$

Найдем $x$:

$x = \frac{140}{20}$

$x = 7$

Итак, было куплено 7 метров ткани I сорта.

Теперь найдем количество метров ткани II сорта, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 15 - x$:

$y = 15 - 7$

$y = 8$

Следовательно, было куплено 8 метров ткани II сорта.

Проверка

Убедимся, что найденные значения удовлетворяют условиям задачи.
Общая длина ткани: $7 \text{ м} + 8 \text{ м} = 15 \text{ м}$. Это соответствует условию.
Общая стоимость ткани: $(7 \times 200 \text{ р.}) + (8 \times 180 \text{ р.}) = 1400 \text{ р.} + 1440 \text{ р.} = 2840 \text{ р.}$. Это также соответствует условию.

Ответ: было куплено 7 метров ткани I сорта и 8 метров ткани II сорта.

4. Доказать, что корнем уравнения $3x - 1,5 = 2(x - 0,75) + x$ является любое число.

4. Для того чтобы доказать, что корнем уравнения является любое число, необходимо его упростить. Если в результате преобразований мы получим верное числовое равенство, не зависящее от переменной $x$, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим исходное уравнение:

$3x - 1,5 = 2(x - 0,75) + x$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, используя распределительный закон умножения:

$3x - 1,5 = 2 \cdot x - 2 \cdot 0,75 + x$

Выполним умножение:

$3x - 1,5 = 2x - 1,5 + x$

Теперь приведем подобные слагаемые в правой части (сложим слагаемые, содержащие $x$):

$3x - 1,5 = (2x + x) - 1,5$

$3x - 1,5 = 3x - 1,5$

На этом этапе уже видно, что левая и правая части уравнения идентичны. Это означает, что равенство будет верным при любом значении $x$. Такое уравнение называется тождеством.

Для полной наглядности перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть уравнения. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3x - 3x = -1,5 + 1,5$

Выполним вычисления в обеих частях:

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ является верным и не зависит от значения $x$. Это означает, что любое число, подставленное вместо $x$, превратит исходное уравнение в верное числовое равенство.

Ответ: Поскольку в результате тождественных преобразований уравнение свелось к верному числовому равенству $0=0$, которое истинно для любого значения $x$, доказано, что корнем уравнения $3x - 1,5 = 2(x - 0,75) + x$ является любое число.

5. При каком $x$ значение выражения $ \frac{x-2}{3} $ на 2 больше значения выражения $ \frac{x-3}{2} $?

5. Согласно условию задачи, значение выражения $\frac{x-2}{3}$ на 2 больше значения выражения $\frac{x-3}{2}$. Это можно записать в виде следующего уравнения:

$\frac{x-2}{3} = \frac{x-3}{2} + 2$

Для решения этого уравнения сначала приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю 2:

$\frac{x-2}{3} = \frac{x-3}{2} + \frac{4}{2}$

$\frac{x-2}{3} = \frac{x-3+4}{2}$

$\frac{x-2}{3} = \frac{x+1}{2}$

Теперь умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot \frac{x-2}{3} = 6 \cdot \frac{x+1}{2}$

$2 \cdot (x-2) = 3 \cdot (x+1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x - 4 = 3x + 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну сторону уравнения, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $2x$ вправо, а 3 влево:

$-4 - 3 = 3x - 2x$

Упростим выражение:

$-7 = x$

Сделаем проверку.
Найдем значение первого выражения при $x=-7$: $\frac{-7-2}{3} = \frac{-9}{3} = -3$.
Найдем значение второго выражения при $x=-7$: $\frac{-7-3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Сравним полученные значения: $-3$ действительно на 2 больше, чем $-5$, так как $-3 - (-5) = 2$.

Ответ: -7.

6. От пристани A до пристани B лодка плыла по течению реки 3,5 ч. На обратный путь она затратила 5 ч 15 мин. Какое расстояние преодолела лодка за всё время движения, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_{л}$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) в км/ч, $v_{т}$ – скорость течения реки в км/ч, $S$ – расстояние между пристанями A и B в км.

1. Подготовка данных для расчета.

По условию, скорость течения реки $v_{т} = 2$ км/ч. Время движения по течению $t_{по} = 3,5$ ч. Время движения на обратном пути (против течения) $t_{против} = 5$ ч 15 мин. Необходимо перевести время движения против течения полностью в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то 15 минут это $15/60 = 1/4 = 0,25$ часа. Таким образом, $t_{против} = 5 + 0,25 = 5,25$ ч.

2. Составление уравнения.

Скорость лодки при движении по течению складывается из ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{л} + v_{т} = v_{л} + 2$.

Скорость лодки при движении против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т} = v_{л} - 2$.

Расстояние $S$ между пристанями A и B можно выразить через скорость и время для каждого направления:

При движении по течению: $S = (v_{л} + 2) \cdot 3,5$.

При движении против течения: $S = (v_{л} - 2) \cdot 5,25$.

Так как расстояние в обе стороны одинаково, мы можем приравнять эти два выражения, чтобы найти неизвестную собственную скорость лодки $v_{л}$:

$(v_{л} + 2) \cdot 3,5 = (v_{л} - 2) \cdot 5,25$

3. Решение уравнения.

Раскроем скобки в уравнении:

$3,5 v_{л} + 7 = 5,25 v_{л} - 10,5$

Перенесем слагаемые с $v_{л}$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$7 + 10,5 = 5,25 v_{л} - 3,5 v_{л}$

$17,5 = 1,75 v_{л}$

Отсюда находим собственную скорость лодки:

$v_{л} = \frac{17,5}{1,75} = 10$ км/ч.

4. Расчет расстояния.

Теперь, когда мы знаем собственную скорость лодки, мы можем найти расстояние $S$ между пристанями, используя данные для любого из направлений. Например, для движения по течению:

$S = (v_{л} + v_{т}) \cdot t_{по} = (10 + 2) \cdot 3,5 = 12 \cdot 3,5 = 42$ км.

Расстояние между пристанями A и B равно 42 км.

5. Расчет общего расстояния.

Вопрос задачи — какое расстояние лодка преодолела за всё время движения. Это расстояние от A до B и обратно от B до A. Общее расстояние равно $S_{общ} = S_{AB} + S_{BA} = 42 \text{ км} + 42 \text{ км} = 84 \text{ км}$.

Ответ: за всё время движения лодка преодолела 84 км.

7. При каком значении $a$ уравнение $3(x-1)+2=(a-3)x$:

а) имеет один корень;

б) не имеет корней?

Для решения задачи сначала преобразуем данное уравнение, приведя его к стандартному виду линейного уравнения $kx=b$.

Исходное уравнение: $3(x-1)+2=(a-3)x$.

Раскроем скобки в левой части:

$3x-3+2=(a-3)x$

Упростим левую часть:

$3x-1=(a-3)x$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$(a-3)x - 3x = -1$

Вынесем $x$ за скобки:

$(a-3-3)x = -1$

$(a-6)x = -1$

Мы получили линейное уравнение относительно $x$. Теперь проанализируем его в зависимости от значения параметра $a$.

а) имеет один корень

Линейное уравнение вида $kx=b$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $k \neq 0$.

В нашем случае коэффициент $k = a-6$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело один корень, должно выполняться условие:

$a-6 \neq 0$

Решая это неравенство, получаем:

$a \neq 6$

Таким образом, при любом значении $a$, кроме 6, уравнение будет иметь один корень.

Ответ: при $a \neq 6$.

б) не имеет корней

Линейное уравнение вида $kx=b$ не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($k=0$), а правая часть не равна нулю ($b \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что является неверным равенством.

В нашем уравнении $(a-6)x = -1$ правая часть равна -1, то есть $b = -1 \neq 0$. Условие $b \neq 0$ выполняется. Теперь найдем значение $a$, при котором коэффициент при $x$ равен нулю:

$a-6 = 0$

Отсюда:

$a=6$

При $a=6$ уравнение принимает вид $(6-6)x=-1$, то есть $0 \cdot x = -1$, или $0=-1$. Это равенство ложно, следовательно, при $a=6$ уравнение не имеет корней.

Ответ: при $a = 6$.

8. Найти значение $x$, при котором разность выражений $\frac{2(x-2)}{3}$ и $\frac{3(x-3)}{4}$ равна выражению $x+6\frac{1}{3}$.

Согласно условию задачи, разность выражений $ \frac{2(x-2)}{3} $ и $ \frac{3(x-3)}{4} $ равна выражению $ x + 6\frac{1}{3} $. Составим на основе этого условия уравнение:

$ \frac{2(x-2)}{3} - \frac{3(x-3)}{4} = x + 6\frac{1}{3} $

Для начала, преобразуем смешанное число $ 6\frac{1}{3} $ в неправильную дробь:

$ 6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3} $

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$ \frac{2(x-2)}{3} - \frac{3(x-3)}{4} = x + \frac{19}{3} $

Чтобы избавиться от дробных выражений, найдем наименьший общий знаменатель для дробей с знаменателями 3 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 4 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot \left( \frac{2(x-2)}{3} - \frac{3(x-3)}{4} \right) = 12 \cdot \left( x + \frac{19}{3} \right) $

Применим распределительный закон умножения:

$ \frac{12 \cdot 2(x-2)}{3} - \frac{12 \cdot 3(x-3)}{4} = 12 \cdot x + \frac{12 \cdot 19}{3} $

Сократим дроби:

$ 4 \cdot 2(x-2) - 3 \cdot 3(x-3) = 12x + 4 \cdot 19 $

$ 8(x-2) - 9(x-3) = 12x + 76 $

Теперь раскроем скобки:

$ 8x - 16 - 9x + 27 = 12x + 76 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (8x - 9x) + (27 - 16) = 12x + 76 $

$ -x + 11 = 12x + 76 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую, меняя знак при переносе:

$ 11 - 76 = 12x + x $

$ -65 = 13x $

Найдем $x$, разделив обе части на 13:

$ x = \frac{-65}{13} $

$ x = -5 $

Ответ: -5

9. Из посёлка выехал автобус, а через час выехал автомобиль и догнал автобус через 1,5 ч. На каком расстоянии от посёлка автомобиль догнал автобус, если скорость автомобиля на 40 км/ч больше скорости автобуса (автобус в пути не делал остановок)?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_б$ (км/ч) — скорость автобуса, а $v_а$ (км/ч) — скорость автомобиля.

Согласно условию, скорость автомобиля на 40 км/ч больше скорости автобуса. Это можно записать в виде уравнения:
$v_а = v_б + 40$

Автобус выехал на 1 час раньше автомобиля. Автомобиль догнал автобус через 1,5 часа после своего выезда. Следовательно, к моменту встречи автомобиль был в пути $t_а = 1,5$ ч.

Так как автобус выехал на 1 час раньше, его общее время в пути до встречи составляет:
$t_б = 1 \text{ ч} + 1,5 \text{ ч} = 2,5 \text{ ч}$

К моменту встречи автомобиль и автобус проехали одинаковое расстояние $S$ от посёлка. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Приравняем расстояния, пройденные автобусом и автомобилем, чтобы составить уравнение:
$S_а = S_б$
$v_а \cdot t_а = v_б \cdot t_б$

Теперь подставим в это уравнение известные значения времени и выражение для скорости автомобиля $v_а$:
$(v_б + 40) \cdot 1,5 = v_б \cdot 2,5$

Решим полученное уравнение, чтобы найти скорость автобуса $v_б$:
$1,5 \cdot v_б + 40 \cdot 1,5 = 2,5 \cdot v_б$
$1,5v_б + 60 = 2,5v_б$
$60 = 2,5v_б - 1,5v_б$
$60 = v_б$
Таким образом, скорость автобуса $v_б = 60$ км/ч.

Теперь, зная скорость автобуса, мы можем найти расстояние от посёлка до места встречи, умножив скорость автобуса на его время в пути:
$S = v_б \cdot t_б = 60 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 150 \text{ км}$

Для проверки можно вычислить это же расстояние, используя данные автомобиля. Сначала найдем его скорость:
$v_а = v_б + 40 = 60 + 40 = 100$ км/ч.
Теперь найдем расстояние:
$S = v_а \cdot t_а = 100 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 150 \text{ км}$
Результаты совпадают.

Ответ: 150 км.