Номер 8, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Найти значение $x$, при котором разность выражений $\frac{2(x-2)}{3}$ и $\frac{3(x-3)}{4}$ равна выражению $x+6\frac{1}{3}$.

Согласно условию задачи, разность выражений $ \frac{2(x-2)}{3} $ и $ \frac{3(x-3)}{4} $ равна выражению $ x + 6\frac{1}{3} $. Составим на основе этого условия уравнение:

$ \frac{2(x-2)}{3} - \frac{3(x-3)}{4} = x + 6\frac{1}{3} $

Для начала, преобразуем смешанное число $ 6\frac{1}{3} $ в неправильную дробь:

$ 6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3} $

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$ \frac{2(x-2)}{3} - \frac{3(x-3)}{4} = x + \frac{19}{3} $

Чтобы избавиться от дробных выражений, найдем наименьший общий знаменатель для дробей с знаменателями 3 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 4 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot \left( \frac{2(x-2)}{3} - \frac{3(x-3)}{4} \right) = 12 \cdot \left( x + \frac{19}{3} \right) $

Применим распределительный закон умножения:

$ \frac{12 \cdot 2(x-2)}{3} - \frac{12 \cdot 3(x-3)}{4} = 12 \cdot x + \frac{12 \cdot 19}{3} $

Сократим дроби:

$ 4 \cdot 2(x-2) - 3 \cdot 3(x-3) = 12x + 4 \cdot 19 $

$ 8(x-2) - 9(x-3) = 12x + 76 $

Теперь раскроем скобки:

$ 8x - 16 - 9x + 27 = 12x + 76 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (8x - 9x) + (27 - 16) = 12x + 76 $

$ -x + 11 = 12x + 76 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую, меняя знак при переносе:

$ 11 - 76 = 12x + x $

$ -65 = 13x $

Найдем $x$, разделив обе части на 13:

$ x = \frac{-65}{13} $

$ x = -5 $

Ответ: -5