Номер 7, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

7. При каком значении $a$ уравнение $3(x-1)+2=(a-3)x$:

а) имеет один корень;

б) не имеет корней?

Для решения задачи сначала преобразуем данное уравнение, приведя его к стандартному виду линейного уравнения $kx=b$.

Исходное уравнение: $3(x-1)+2=(a-3)x$.

Раскроем скобки в левой части:

$3x-3+2=(a-3)x$

Упростим левую часть:

$3x-1=(a-3)x$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$(a-3)x - 3x = -1$

Вынесем $x$ за скобки:

$(a-3-3)x = -1$

$(a-6)x = -1$

Мы получили линейное уравнение относительно $x$. Теперь проанализируем его в зависимости от значения параметра $a$.

а) имеет один корень

Линейное уравнение вида $kx=b$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $k \neq 0$.

В нашем случае коэффициент $k = a-6$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело один корень, должно выполняться условие:

$a-6 \neq 0$

Решая это неравенство, получаем:

$a \neq 6$

Таким образом, при любом значении $a$, кроме 6, уравнение будет иметь один корень.

Ответ: при $a \neq 6$.

б) не имеет корней

Линейное уравнение вида $kx=b$ не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($k=0$), а правая часть не равна нулю ($b \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что является неверным равенством.

В нашем уравнении $(a-6)x = -1$ правая часть равна -1, то есть $b = -1 \neq 0$. Условие $b \neq 0$ выполняется. Теперь найдем значение $a$, при котором коэффициент при $x$ равен нулю:

$a-6 = 0$

Отсюда:

$a=6$

При $a=6$ уравнение принимает вид $(6-6)x=-1$, то есть $0 \cdot x = -1$, или $0=-1$. Это равенство ложно, следовательно, при $a=6$ уравнение не имеет корней.

Ответ: при $a = 6$.