Номер 6, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

6. От пристани A до пристани B лодка плыла по течению реки 3,5 ч. На обратный путь она затратила 5 ч 15 мин. Какое расстояние преодолела лодка за всё время движения, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_{л}$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) в км/ч, $v_{т}$ – скорость течения реки в км/ч, $S$ – расстояние между пристанями A и B в км.

1. Подготовка данных для расчета.

По условию, скорость течения реки $v_{т} = 2$ км/ч. Время движения по течению $t_{по} = 3,5$ ч. Время движения на обратном пути (против течения) $t_{против} = 5$ ч 15 мин. Необходимо перевести время движения против течения полностью в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то 15 минут это $15/60 = 1/4 = 0,25$ часа. Таким образом, $t_{против} = 5 + 0,25 = 5,25$ ч.

2. Составление уравнения.

Скорость лодки при движении по течению складывается из ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{л} + v_{т} = v_{л} + 2$.

Скорость лодки при движении против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т} = v_{л} - 2$.

Расстояние $S$ между пристанями A и B можно выразить через скорость и время для каждого направления:

При движении по течению: $S = (v_{л} + 2) \cdot 3,5$.

При движении против течения: $S = (v_{л} - 2) \cdot 5,25$.

Так как расстояние в обе стороны одинаково, мы можем приравнять эти два выражения, чтобы найти неизвестную собственную скорость лодки $v_{л}$:

$(v_{л} + 2) \cdot 3,5 = (v_{л} - 2) \cdot 5,25$

3. Решение уравнения.

Раскроем скобки в уравнении:

$3,5 v_{л} + 7 = 5,25 v_{л} - 10,5$

Перенесем слагаемые с $v_{л}$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$7 + 10,5 = 5,25 v_{л} - 3,5 v_{л}$

$17,5 = 1,75 v_{л}$

Отсюда находим собственную скорость лодки:

$v_{л} = \frac{17,5}{1,75} = 10$ км/ч.

4. Расчет расстояния.

Теперь, когда мы знаем собственную скорость лодки, мы можем найти расстояние $S$ между пристанями, используя данные для любого из направлений. Например, для движения по течению:

$S = (v_{л} + v_{т}) \cdot t_{по} = (10 + 2) \cdot 3,5 = 12 \cdot 3,5 = 42$ км.

Расстояние между пристанями A и B равно 42 км.

5. Расчет общего расстояния.

Вопрос задачи — какое расстояние лодка преодолела за всё время движения. Это расстояние от A до B и обратно от B до A. Общее расстояние равно $S_{общ} = S_{AB} + S_{BA} = 42 \text{ км} + 42 \text{ км} = 84 \text{ км}$.

Ответ: за всё время движения лодка преодолела 84 км.