Страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называется степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, где $n > 1$; $n = 1$?

Степенью числа a с натуральным показателем n называют выражение $a^n$, где a – это основание степени, а n – показатель степени. Определение степени зависит от значения показателя n.

где n > 1
Степенью числа a с натуральным показателем $n$, большим единицы, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен a.
Формула для этого определения выглядит так:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$
Например, вычислим степень $3^4$:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Здесь число 3 (основание) умножается само на себя 4 раза (показатель).
Ответ: Степенью числа a с натуральным показателем $n > 1$ является произведение, состоящее из $n$ множителей, каждый из которых равен a.

где n = 1
Степень числа a с показателем, равным единице, по определению равна самому этому числу a.
Это принято по соглашению и записывается в виде формулы:
$a^1 = a$
Такое определение вводится для того, чтобы свойства степеней (например, $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$) оставались справедливыми для любых натуральных показателей. Если мы рассмотрим это свойство при $k=1$, то получим $a^m \cdot a^1 = a^{m+1}$. С другой стороны, произведение $a^m \cdot a$ также равно $a^{m+1}$. Чтобы эти выражения были тождественными, необходимо, чтобы $a^1$ было равно $a$.
Например, $15^1 = 15$, $(-8)^1 = -8$, $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: Степенью числа a с показателем $n = 1$ является само число a.

2. Прочитать запись: $9^2$; $x^3$; $12^5$; $\left(-\frac{2}{7}\right)^9$; $b^{10}$; $c^k$.

$9^2$ — эту запись читают как «девять во второй степени» или, что более распространено для второй степени, «девять в квадрате». В данном выражении число 9 является основанием степени, а 2 — показателем степени. Ответ: Девять во второй степени, или девять в квадрате.

$x^3$ — данную запись читают как «икс в третьей степени» или, используя специальное название для третьей степени, «икс в кубе». Здесь основанием степени является переменная $x$, а показателем — число 3. Ответ: Икс в третьей степени, или икс в кубе.

$12^5$ — эта запись читается как «двенадцать в пятой степени». В этом выражении основание степени равно 12, а показатель степени равен 5. Ответ: Двенадцать в пятой степени.

$(-\frac{2}{7})^9$ — эту запись читают как «минус две седьмых в девятой степени». Основанием степени здесь является отрицательная дробь $-\frac{2}{7}$, а показателем степени — число 9. Скобки указывают, что в степень возводится вся дробь целиком, включая знак минус. Ответ: Минус две седьмых в девятой степени.

$b^{10}$ — данная запись читается как «бэ в десятой степени». В этом выражении переменная $b$ является основанием степени, а число 10 — показателем степени. Ответ: Бэ в десятой степени.

$c^k$ — эту запись читают как «цэ в степени ка» или «цэ в ка-той степени». Здесь основанием степени является переменная $c$, а показателем степени — переменная $k$. Ответ: Цэ в степени ка, или цэ в ка-той степени.

3. Как называется запись вида $a^n$? Как в этой записи называется число $a$; число $n$?

Запись вида $a^n$

Запись вида $a^n$ называется степенью. Это математическая операция, которая представляет собой сокращенную запись произведения n одинаковых множителей, каждый из которых равен a. Читается такое выражение как «a в степени n» или «n-ая степень числа a».

Ответ: степень.

число a

В записи степени $a^n$ число a называется основанием степени. Это число, которое возводится в степень, то есть умножается само на себя.

Ответ: основание степени.

число n

В записи степени $a^n$ число n называется показателем степени. Показатель степени, как правило, является натуральным числом и показывает, сколько раз основание необходимо умножить само на себя.

Ответ: показатель степени.

4. Каким по порядку выполняется действие возведения в степень при вычислении значения выражения, не содержащего скобок?

При вычислении значения выражения, не содержащего скобок, используется общепринятый порядок выполнения арифметических действий, который определяется приоритетом (или ступенью) операций.

Арифметические действия делятся на три ступени:
- Действия третьей ступени (высший приоритет): возведение в степень.
- Действия второй ступени: умножение и деление.
- Действия первой ступени (низший приоритет): сложение и вычитание.

Согласно правилам, вычисления в выражении без скобок производятся в следующем порядке:

1. Выполняется возведение в степень.
2. Выполняются умножение и деление в том порядке, в котором они записаны (слева направо).
3. Выполняются сложение и вычитание, также в порядке их записи (слева направо).

Следовательно, в выражении без скобок действие возведения в степень выполняется в первую очередь, так как оно имеет самый высокий приоритет.

Рассмотрим пример. В выражении $7 + 2 \cdot 5^2$ порядок действий будет следующим:

1. Сначала возводим в степень: $5^2 = 25$. Выражение принимает вид $7 + 2 \cdot 25$.
2. Затем выполняем умножение: $2 \cdot 25 = 50$. Выражение принимает вид $7 + 50$.
3. В конце выполняем сложение: $7 + 50 = 57$.

Ответ: При вычислении значения выражения, не содержащего скобок, действие возведения в степень выполняется в первую очередь.

5. Что такое запись числа в стандартном виде?

Стандартным видом числа называется его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а целое число $n$ — порядком числа.

Эта форма записи очень удобна для представления очень больших и очень маленьких чисел, а также для оценки и сравнения величин. Она широко используется в физике, химии, астрономии и других науках.

Алгоритм приведения числа к стандартному виду:

1. В записи числа переместить десятичную запятую так, чтобы в целой части оказалась только одна цифра, отличная от нуля. В результате получится мантисса $a$.

2. Определить порядок $n$. Порядок равен количеству разрядов, на которое сместилась запятая.
• Если запятая смещалась влево (для чисел, модуль которых $\ge 10$), то порядок $n$ будет положительным.
• Если запятая смещалась вправо (для чисел, модуль которых $< 1$), то порядок $n$ будет отрицательным.

3. Записать число в виде произведения мантиссы на 10 в степени, равной найденному порядку: $a \cdot 10^n$.

Примеры:

1. Большое число: 52 400 000
Переносим запятую, которая находится в конце числа ($52400000.$), влево на 7 знаков, чтобы получить число 5.24.
Мантисса $a=5.24$.
Так как запятая смещена влево на 7 позиций, порядок $n=7$.
Стандартный вид: $5.24 \cdot 10^7$.

2. Малое число: 0.000081
Переносим запятую вправо на 5 знаков, чтобы получить число 8.1.
Мантисса $a=8.1$.
Так как запятая смещена вправо на 5 позиций, порядок $n=-5$.
Стандартный вид: $8.1 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: Запись числа в стандартном виде — это его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

1. Вычислить:

$1^2$; $(-5)^2$; $3^3$; $(-4)^3$; $0^3$; $0,2^2$; $(\frac{1}{2})^3$.

$1^2$

Возведение числа в степень 2 (в квадрат) означает умножение этого числа на само себя.

$1^2 = 1 \times 1 = 1$

Ответ: 1.

$(-5)^2$

Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) дает в результате положительное число.

$(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$

Ответ: 25.

$3^3$

Возведение числа в степень 3 (в куб) означает умножение этого числа на само себя три раза.

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$

Ответ: 27.

$(-4)^3$

Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в куб) дает в результате отрицательное число.

$(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = 16 \times (-4) = -64$

Ответ: -64.

$0^3$

Ноль, возведенный в любую положительную степень, равен нулю.

$0^3 = 0 \times 0 \times 0 = 0$

Ответ: 0.

$0,2^2$

Возводим в квадрат десятичную дробь 0,2.

$0,2^2 = 0,2 \times 0,2 = 0,04$

Ответ: 0,04.

$(\frac{1}{2})^3$

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель по отдельности.

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1 \times 1 \times 1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

2. Найти n, если:

1) $3,09 \cdot 10^n = 309;$

2) $2,7364 \cdot 10^n = 27364.$

1) Чтобы найти $n$ в уравнении $3,09 \cdot 10^n = 309$, необходимо выразить $10^n$. Для этого разделим обе части уравнения на $3,09$:

$10^n = \frac{309}{3,09}$

Чтобы выполнить деление, можно заметить, что для получения числа $309$ из числа $3,09$ необходимо перенести запятую на два знака вправо. Перенос запятой на два знака вправо эквивалентен умножению на $10^2$ или $100$.

Таким образом:

$\frac{309}{3,09} = \frac{3,09 \cdot 100}{3,09} = 100$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$10^n = 100$

Поскольку $100 = 10^2$, мы можем записать:

$10^n = 10^2$

Так как основания степеней ($10$) равны, то и показатели степеней должны быть равны.

$n = 2$

Ответ: $n=2$

2) Решим уравнение $2,7364 \cdot 10^n = 27 364$. Аналогично первому пункту, выразим $10^n$, разделив обе части уравнения на $2,7364$:

$10^n = \frac{27 364}{2,7364}$

Чтобы разделить $27 364$ на $2,7364$, посмотрим, во сколько раз числитель больше знаменателя. Для этого нужно перенести запятую в числе $2,7364$ на четыре знака вправо, чтобы получилось $27 364$. Это соответствует умножению на $10^4$ или $10000$.

Следовательно:

$\frac{27 364}{2,7364} = 10000$

Получаем уравнение:

$10^n = 10000$

Представим $10000$ как степень числа $10$. Так как в числе $10000$ четыре нуля, то $10000 = 10^4$.

$10^n = 10^4$

Приравнивая показатели степеней при равных основаниях, получаем:

$n = 4$

Ответ: $n=4$

300. Вычислить площадь квадрата со стороной, равной:

1) 5 см;

2) $\frac{1}{2}$ м;

3) $3\frac{1}{4}$ км;

4) 2,7 дм.

1)

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – это длина стороны квадрата. В данном случае сторона квадрата равна $a = 5$ см.

Подставим значение стороны в формулу и выполним вычисление:

$S = (5 \text{ см})^2 = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: $25 \text{ см}^2$.

2)

Сторона квадрата равна $a = \frac{1}{2}$ м.

Вычислим площадь, возведя длину стороны в квадрат:

$S = \left(\frac{1}{2} \text{ м}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} \text{ м}^2 = \frac{1}{4} \text{ м}^2$.

Ответ: $\frac{1}{4} \text{ м}^2$.

3)

Сторона квадрата равна $a = 3\frac{1}{4}$ км.

Для удобства вычислений сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$a = 3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$ км.

Теперь вычислим площадь:

$S = \left(\frac{13}{4} \text{ км}\right)^2 = \frac{13^2}{4^2} \text{ км}^2 = \frac{169}{16} \text{ км}^2$.

Чтобы результат был более наглядным, переведем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{169}{16} = 10\frac{9}{16}$.

Ответ: $10\frac{9}{16} \text{ км}^2$.

4)

Сторона квадрата равна $a = 2,7$ дм.

Вычислим площадь, возведя десятичную дробь в квадрат:

$S = (2,7 \text{ дм})^2 = 2,7 \cdot 2,7 \text{ дм}^2 = 7,29 \text{ дм}^2$.

Ответ: $7,29 \text{ дм}^2$.

301. Вычислить объём куба, длина ребра которого равна:

1) 2 м;

2) 3 дм;

3) $\frac{1}{5}$ км;

4) 0,4 м.

Для вычисления объёма куба используется формула $V = a^3$, где $V$ — объём, а $a$ — длина ребра куба.

Подставим длину ребра $a = 2$ м в формулу объёма:

$V = (2 \text{ м})^3 = 2 \times 2 \times 2 \text{ м}^3 = 8 \text{ м}^3$.

Ответ: $8 \text{ м}^3$.

Подставим длину ребра $a = 3$ дм в формулу объёма:

$V = (3 \text{ дм})^3 = 3 \times 3 \times 3 \text{ дм}^3 = 27 \text{ дм}^3$.

Ответ: $27 \text{ дм}^3$.

Подставим длину ребра $a = \frac{1}{5}$ км в формулу объёма:

$V = \left(\frac{1}{5} \text{ км}\right)^3 = \frac{1^3}{5^3} \text{ км}^3 = \frac{1}{125} \text{ км}^3$.

Ответ: $\frac{1}{125} \text{ км}^3$.

Подставим длину ребра $a = 0,4$ м в формулу объёма:

$V = (0,4 \text{ м})^3 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \text{ м}^3 = 0,064 \text{ м}^3$.

Ответ: $0,064 \text{ м}^3$.

302. Записать произведение в виде степени:

1) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2;$

2) $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3};$

3) $x \cdot x \cdot x \cdot x;$

4) $m \cdot m \cdot m \cdot m \cdot m;$

5) $(x-y) \cdot (x-y) \cdot (x-y);$

6) $\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}.$

1) Чтобы записать произведение $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ в виде степени, необходимо определить основание и показатель. Основанием степени является повторяющийся множитель, в данном случае это число $2$. Показатель степени равен количеству таких множителей. В произведении число $2$ повторяется 5 раз. Следовательно, произведение можно записать как $2$ в пятой степени.
Ответ: $2^5$

2) В произведении $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ повторяющимся множителем является дробь $\frac{1}{3}$. Это будет основанием степени. Посчитаем количество множителей: их 4. Это будет показателем степени. Таким образом, произведение равно $\frac{1}{3}$ в четвертой степени.
Ответ: $(\frac{1}{3})^4$

3) В выражении $x \cdot x \cdot x \cdot x$ основанием степени является переменная $x$. Она умножается сама на себя 4 раза, значит, показатель степени равен 4.
Ответ: $x^4$

4) В произведении $m \cdot m \cdot m \cdot m \cdot m$ основанием степени является переменная $m$. Она повторяется в произведении 5 раз, поэтому показатель степени равен 5.
Ответ: $m^5$

5) В этом произведении $(x-y) \cdot (x-y) \cdot (x-y)$ основанием степени является выражение в скобках, то есть $(x-y)$. Это выражение умножается само на себя 3 раза. Значит, показатель степени равен 3.
Ответ: $(x-y)^3$

6) В произведении $\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$ основанием степени является дробь $\frac{m}{n}$. Эта дробь повторяется 5 раз, следовательно, показатель степени равен 5.
Ответ: $(\frac{m}{n})^5$

Упростить выражение, используя запись произведения в виде степени (303–305).

303. 1) $5 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 2;$

2) $6 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3;$

3) $0,3 \cdot 0,3 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7};$

4) $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2,3 \cdot 2,3.$

1) Чтобы упростить выражение $5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 2$, необходимо найти одинаковые множители и записать их произведение в виде степени. В данном выражении множитель 8 повторяется два раза, что можно записать как степень $8^2$. Множитель 2 также повторяется два раза, что записывается как $2^2$. Множитель 5 встречается один раз. Сгруппируем множители:

$5 \cdot (8 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 2)$

Теперь заменим произведения одинаковых множителей на степени, чтобы получить упрощенное выражение:

$5 \cdot 8^2 \cdot 2^2$

Ответ: $5 \cdot 8^2 \cdot 2^2$.

2) В выражении $6 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ сгруппируем одинаковые множители. Множитель 6 повторяется два раза ($6^2$), множитель 7 повторяется два раза ($7^2$), а множитель 3 повторяется три раза ($3^3$). Запишем исходное выражение, используя степени. Для удобства принято располагать множители в порядке возрастания их оснований:

$(3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (6 \cdot 6) \cdot (7 \cdot 7) = 3^3 \cdot 6^2 \cdot 7^2$.

Ответ: $3^3 \cdot 6^2 \cdot 7^2$.

3) Рассмотрим выражение $0,3 \cdot 0,3 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7}$. В нем десятичная дробь 0,3 повторяется два раза, что можно записать как $(0,3)^2$. Обыкновенная дробь $\frac{1}{7}$ повторяется три раза, что можно записать как $(\frac{1}{7})^3$. Таким образом, всё выражение можно представить в виде произведения степеней:

$(0,3 \cdot 0,3) \cdot (\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7}) = (0,3)^2 \cdot (\frac{1}{7})^3$.

Ответ: $(0,3)^2 \cdot (\frac{1}{7})^3$.

4) В выражении $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2,3 \cdot 2,3$ сгруппируем одинаковые множители. Дробь $\frac{2}{3}$ повторяется три раза, что записывается как $(\frac{2}{3})^3$. Десятичная дробь 2,3 повторяется два раза, что записывается как $(2,3)^2$. Запишем выражение в упрощенном виде:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (2,3 \cdot 2,3) = (\frac{2}{3})^3 \cdot (2,3)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^3 \cdot (2,3)^2$.

304. 1) $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot a \cdot a \cdot a;$

2) $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot 3 \cdot 3;$

3) $\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot (x-y) \cdot (x-y);$

4) $\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot (8a-b) \cdot (8a-b) \cdot (8a-b).$

1) В заданном произведении $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot a \cdot a \cdot a$ необходимо сгруппировать одинаковые множители и представить их в виде степени.

Произведение трех множителей, равных $9$, можно записать как степень $9^3$.
Произведение трех множителей, равных $a$, можно записать как степень $a^3$.

Таким образом, исходное выражение равно $9^3 \cdot a^3$.

Вычислим значение $9^3$:
$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$.

В результате получаем упрощенное выражение: $729a^3$.
Ответ: $729a^3$

2) В выражении $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot 3 \cdot 3$ сгруппируем одинаковые множители.

Произведение четырех множителей, равных $x$, записывается как степень $x^4$.
Произведение двух множителей, равных $3$, записывается как степень $3^2$.

Таким образом, выражение принимает вид $x^4 \cdot 3^2$.

Вычислим $3^2 = 9$. По принятым правилам, числовой коэффициент записывается перед буквенной частью.
В итоге получаем: $9x^4$.
Ответ: $9x^4$

3) В выражении $\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot (x - y) \cdot (x - y)$ есть две группы повторяющихся множителей.

Множитель $\frac{x}{y}$ повторяется 3 раза, что можно записать в виде степени $(\frac{x}{y})^3$.
Множитель $(x - y)$ повторяется 2 раза, что можно записать как $(x - y)^2$.

Объединяя эти степени, мы получаем итоговое выражение.
Ответ: $(\frac{x}{y})^3 (x - y)^2$

4) В выражении $\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot (8a - b) \cdot (8a - b) \cdot (8a - b)$ также сгруппируем одинаковые множители.

Множитель $\frac{a}{b}$ повторяется 2 раза, что записывается как степень $(\frac{a}{b})^2$.
Множитель $(8a - b)$ повторяется 3 раза, что записывается как степень $(8a - b)^3$.

Перемножив полученные степени, мы представляем исходное произведение в более компактном виде.
Ответ: $(\frac{a}{b})^2 (8a - b)^3$