Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

319. Записать:

1) квадрат числа m;

$m^2$

2) куб числа a;

$a^3$

3) квадрат суммы чисел с и 3;

$(c + 3)^2$

4) сумму квадратов чисел с и 3.

$c^2 + 3^2$

1) квадрат числа m;
Квадрат числа – это число, умноженное само на себя, то есть возведенное во вторую степень. Чтобы записать квадрат числа $m$, нужно возвести $m$ во вторую степень.
Ответ: $m^2$

2) куб числа a;
Куб числа – это число, умноженное само на себя трижды, то есть возведенное в третью степень. Чтобы записать куб числа $a$, нужно возвести $a$ в третью степень.
Ответ: $a^3$

3) квадрат суммы чисел c и 3;
Сначала нужно найти сумму чисел $c$ и $3$. Эта сумма записывается как $(c + 3)$. Затем полученную сумму необходимо возвести в квадрат (во вторую степень). Скобки в данном случае обязательны, так как в квадрат возводится вся сумма, а не одно из слагаемых.
Ответ: $(c + 3)^2$

4) сумму квадратов чисел c и 3.
Здесь требуется сначала найти квадраты каждого из чисел по отдельности, а затем сложить результаты. Квадрат числа $c$ – это $c^2$. Квадрат числа $3$ – это $3^2$. Сумма этих квадратов записывается как сложение двух полученных выражений.
Ответ: $c^2 + 3^2$

320. Установить, какое из чисел больше:

1) $(-\frac{1}{2})^2$ или $(-\frac{1}{2})^4$;

2) $2^3$ или $3^2$;

3) $( -0,2 )^3$ или $( -0,2 )^2$;

4) $(\frac{1}{2})^3$ или $(\frac{1}{3})^2$.

1) $(-\frac{1}{2})^2$ или $(-\frac{1}{2})^4$

Чтобы сравнить два числа, необходимо вычислить их значения.

Первое число: $(-\frac{1}{2})^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат.
$(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.

Второе число: $(-\frac{1}{2})^4$. Степень также четная (4), поэтому результат будет положительным.
$(-\frac{1}{2})^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{16}$.
Можно привести дроби к общему знаменателю 16:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16}$.
Сравниваем $\frac{4}{16}$ и $\frac{1}{16}$. Так как $4 > 1$, то $\frac{4}{16} > \frac{1}{16}$.
Следовательно, $(-\frac{1}{2})^2 > (-\frac{1}{2})^4$.
Ответ: $(-\frac{1}{2})^2$ больше.

2) $2^3$ или $3^2$

Вычислим значения каждого выражения.

Первое число: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Второе число: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Сравниваем числа 8 и 9.
Так как $8 < 9$, то $2^3 < 3^2$.
Ответ: $3^2$ больше.

3) $(-0,2)^3$ или $(-0,2)^2$

Вычислим значения каждого выражения.

Первое число: $(-0,2)^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат.
$(-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.

Второе число: $(-0,2)^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат.
$(-0,2)^2 = (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04$.

Сравниваем числа $-0,008$ и $0,04$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $0,04 > -0,008$, а значит $(-0,2)^2 > (-0,2)^3$.
Ответ: $(-0,2)^2$ больше.

4) $(\frac{1}{2})^3$ или $(\frac{1}{3})^2$

Вычислим значения каждой дроби, возведенной в степень.

Первое число: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Второе число: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{9}$.
Из двух дробей с одинаковым числителем (1) больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $8 < 9$, то $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^3 > (\frac{1}{3})^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^3$ больше.

321. Является ли положительным числом корень уравнения:

1) $3x + (-0,1)^3 = (-0,485)^4;$

2) $(-1,415)^2 + 2x = (-9,15)^3;$

3) $(-7,381)^3 - (1 - x) = (8,0485)^2;$

4) $(10,381)^3 = (-0,012)^5 - 2x?$

Чтобы определить, является ли корень уравнения положительным числом, не обязательно находить его точное значение. Достаточно проанализировать знаки частей уравнения, используя следующие правила:

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, становится положительным.
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, остается отрицательным.
• Положительное число в любой степени остается положительным.

1) $3x + (-0,1)^3 = (-0,485)^4$

Выразим $3x$ из уравнения:
$3x = (-0,485)^4 - (-0,1)^3$

Определим знаки каждого члена в правой части выражения:

• $(-0,485)^4$: Отрицательное число в четной степени (4) всегда положительно. Следовательно, $(-0,485)^4 > 0$.
• $(-0,1)^3$: Отрицательное число в нечетной степени (3) всегда отрицательно. Следовательно, $(-0,1)^3 < 0$.

Таким образом, правая часть уравнения представляет собой разность положительного и отрицательного чисел:
$3x = (\text{положительное число}) - (\text{отрицательное число})$.
Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного:
$3x = (\text{положительное число}) + (\text{положительное число})$.

Сумма двух положительных чисел есть число положительное, значит $3x > 0$.
Поскольку произведение $3x$ положительно, а один из множителей (3) положителен, то и второй множитель $x$ должен быть положительным ($x > 0$).

Ответ: да.

2) $(-1,415)^2 + 2x = (-9,15)^3$

Выразим $2x$ из уравнения:
$2x = (-9,15)^3 - (-1,415)^2$

Определим знаки чисел в правой части:

• $(-9,15)^3$: Отрицательное число в нечетной степени (3) является отрицательным. Значит, $(-9,15)^3 < 0$.
• $(-1,415)^2$: Отрицательное число в четной степени (2) является положительным. Значит, $(-1,415)^2 > 0$.

Правая часть уравнения представляет собой разность отрицательного и положительного чисел:
$2x = (\text{отрицательное число}) - (\text{положительное число})$.

Результат вычитания положительного числа из отрицательного всегда отрицателен, следовательно, $2x < 0$.
Если произведение $2x$ отрицательно, а один из множителей (2) положителен, то второй множитель $x$ должен быть отрицательным ($x < 0$).

Ответ: нет.

3) $(-7,381)^3 - (1 - x) = (8,0485)^2$

Преобразуем уравнение, чтобы выразить $x$. Сначала раскроем скобки:
$(-7,381)^3 - 1 + x = (8,0485)^2$
Теперь выразим $x$:
$x = (8,0485)^2 - (-7,381)^3 + 1$

Определим знаки каждого слагаемого в правой части:

• $(8,0485)^2$: Положительное число в квадрате положительно. $(8,0485)^2 > 0$.
• $(-7,381)^3$: Отрицательное число в нечетной степени (3) отрицательно. $(-7,381)^3 < 0$. Соответственно, вычитание этого числа, $-(-7,381)^3$, дает положительный результат.
• $1$: Положительное число.

Таким образом, $x$ является суммой трех положительных слагаемых:
$x = (\text{положительное}) + (\text{положительное}) + (\text{положительное})$.

Сумма положительных чисел всегда положительна, следовательно, $x > 0$.
Корень уравнения является положительным числом.

Ответ: да.

4) $(10,381)^3 = (-0,012)^5 - 2x$

Выразим $2x$ из уравнения:
$2x = (-0,012)^5 - (10,381)^3$

Определим знаки чисел в правой части:

• $(-0,012)^5$: Отрицательное число в нечетной степени (5) является отрицательным. Значит, $(-0,012)^5 < 0$.
• $(10,381)^3$: Положительное число в любой степени является положительным. Значит, $(10,381)^3 > 0$.

Правая часть уравнения представляет собой разность отрицательного и положительного чисел:
$2x = (\text{отрицательное число}) - (\text{положительное число})$.

Результат вычитания положительного числа из отрицательного всегда отрицателен, следовательно, $2x < 0$.
Если произведение $2x$ отрицательно, а один из множителей (2) положителен, то второй множитель $x$ должен быть отрицательным ($x < 0$).

Ответ: нет.

322. Записать в стандартном виде:

1) число молекул газа в 1 $cm^3$ при $0^\circ C$ и давлении 760 мм рт. ст., равное 27 000 000 000 000 000;

2) число километров, составляющих один парсек (единица длины, принятая в астрономии), если один парсек равен 30 800 000 000 000 км;

3) число операций, которые может произвести электронная вычислительная машина в 1 с — 1 000 000 операций.

1) число молекул газа в 1 см³ при 0°C и давлении 760 мм рт. ст., равное 27 000 000 000 000 000;

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

Дано число 27 000 000 000 000 000.

Чтобы представить это число в стандартном виде, необходимо записать его как произведение числа $a$ (которое больше или равно 1, но меньше 10) и соответствующей степени числа 10.

Переместим запятую в числе 27 000 000 000 000 000 влево так, чтобы слева от нее осталась только одна ненулевая цифра. Это будет цифра 2. В результате получим число 2,7.

Мы переместили запятую на 16 разрядов влево, поэтому показатель степени $n$ будет равен 16.

Таким образом, получаем: $27\,000\,000\,000\,000\,000 = 2,7 \cdot 10^{16}$.

Ответ: $2,7 \cdot 10^{16}$.

2) число километров, составляющих один парсек (единица длины, принятая в астрономии), если один парсек равен 30 800 000 000 000 км;

Дано число 30 800 000 000 000.

Для записи в стандартном виде $a \cdot 10^n$ ($1 \le a < 10$), переместим запятую влево до тех пор, пока слева от нее не останется одна значащая цифра. Получим число 3,08.

Подсчитаем количество разрядов, на которое мы сместили запятую. От конца числа до позиции после цифры 3 — 13 разрядов. Следовательно, показатель степени $n$ равен 13.

В стандартном виде число будет выглядеть так: $30\,800\,000\,000\,000 = 3,08 \cdot 10^{13}$.

Ответ: $3,08 \cdot 10^{13}$ км.

3) число операций, которые может произвести электронная вычислительная машина в 1 с — 1 000 000 операций.

Дано число 1 000 000.

Для записи в стандартном виде $a \cdot 10^n$, коэффициент $a$ должен удовлетворять условию $1 \le a < 10$. В данном случае $a = 1$.

Число 1 000 000 содержит 6 нулей после единицы, что означает, что его можно представить как 1, умноженное на 10 в 6-й степени.

Таким образом, запись числа в стандартном виде: $1\,000\,000 = 1 \cdot 10^6$.

Ответ: $1 \cdot 10^6$ операций.

323. Поверхность земного шара составляет более 510 млн $ \text{км}^2 $, объёмом Земли свыше 1000 млрд $ \text{км}^3 $. Записать данные числа в стандартном виде.

Стандартный вид числа — это запись числа в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа.

Поверхность земного шара (510 млн км²)

Сначала запишем число 510 миллионов в виде обычного числа. "Миллион" — это 1 000 000 или $10^6$.

$510 \text{ млн} = 510 \cdot 1\;000\;000 = 510\;000\;000$.

Теперь приведем это число к стандартному виду. Для этого нам нужно переместить запятую так, чтобы перед ней осталась только одна значащая цифра.

В числе 510 000 000 перенесем запятую на 8 разрядов влево, чтобы получить число 5,1.

$510\;000\;000 = 5,1 \cdot 100\;000\;000 = 5,1 \cdot 10^8$.

Следовательно, 510 млн км² в стандартном виде это $5,1 \cdot 10^8$ км².

Ответ: $5,1 \cdot 10^8$ км².

Объём Земли (1000 млрд км³)

Запишем число 1000 миллиардов в виде обычного числа. "Миллиард" — это 1 000 000 000 или $10^9$.

$1000 \text{ млрд} = 1000 \cdot 1\;000\;000\;000 = 1\;000\;000\;000\;000$.

Это число также можно назвать одним триллионом.

Теперь приведем его к стандартному виду. Перенесем запятую на 12 разрядов влево, чтобы получить число 1.

$1\;000\;000\;000\;000 = 1 \cdot 10^{12}$.

Также можно было посчитать так: $1000 \cdot 10^9 = 10^3 \cdot 10^9 = 10^{3+9} = 10^{12}$. В стандартном виде это записывается как $1 \cdot 10^{12}$.

Следовательно, 1000 млрд км³ в стандартном виде это $1 \cdot 10^{12}$ км³.

Ответ: $1 \cdot 10^{12}$ км³.

324. В 1 л морской воды в среднем содержится 0,00001 мг золота. Сколько золота содержится в 1 $\text{км}^3$ морской воды?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, сколько литров морской воды содержится в 1 кубическом километре ($1\text{ км}^3$), а затем умножить это значение на содержание золота в одном литре.

1. Перевод кубических километров в литры.

Один литр по определению равен одному кубическому дециметру: $1\text{ л} = 1\text{ дм}^3$.

Теперь установим соотношение между километрами и дециметрами:
В 1 километре 1000 метров: $1\text{ км} = 1000\text{ м}$.
В 1 метре 10 дециметров: $1\text{ м} = 10\text{ дм}$.
Следовательно, в 1 километре: $1\text{ км} = 1000 \times 10\text{ дм} = 10000\text{ дм} = 10^4\text{ дм}$.

Теперь возведем это соотношение в куб, чтобы найти объем: $1\text{ км}^3 = (10^4\text{ дм})^3 = 10^{4 \times 3}\text{ дм}^3 = 10^{12}\text{ дм}^3$.

Поскольку $1\text{ л} = 1\text{ дм}^3$, то объем 1 кубического километра в литрах равен: $1\text{ км}^3 = 10^{12}\text{ л}$.

2. Расчет массы золота.

Из условия известно, что в 1 литре морской воды содержится $0,00001\text{ мг}$ золота. Представим это число в стандартном виде для удобства вычислений: $0,00001 = 10^{-5}\text{ мг}$.

Теперь умножим общий объем воды в литрах на концентрацию золота, чтобы найти общую массу золота:
Масса золота = (Объем воды) $\times$ (Концентрация золота)
Масса золота = $10^{12}\text{ л} \times 10^{-5}\text{ мг/л} = 10^{12-5}\text{ мг} = 10^7\text{ мг}$.

3. Перевод массы в килограммы.

Масса $10^7\text{ мг} = 10\ 000\ 000\text{ мг}$. Переведем это значение в более удобные единицы — килограммы.
В 1 грамме 1000 миллиграммов, а в 1 килограмме 1000 граммов. Значит, в 1 килограмме: $1\text{ кг} = 1000\text{ г} \times 1000\text{ мг/г} = 1\ 000\ 000\text{ мг} = 10^6\text{ мг}$.
Чтобы найти массу в килограммах, разделим массу в миллиграммах на $10^6$:
Масса золота = $\frac{10^7\text{ мг}}{10^6\text{ мг/кг}} = 10^1\text{ кг} = 10\text{ кг}$.

Ответ: В 1 км³ морской воды содержится 10 кг золота.

325. Не производя вычислений, расположить числа:

1) $ ( - \frac{1}{3} )^3 $; $ (-1.8)^2 $; $ (\frac{3}{7})^3 $ в порядке убывания;

2) $ (-0.4)^3 $; $ (-1.5)^2 $; $ (\frac{1}{7})^3 $; $ (-7)^3 $ в порядке возрастания.

1) Чтобы расположить числа $(-\frac{1}{3})^3$, $(-1,8)^2$, $(\frac{3}{7})^3$ в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), проанализируем свойства каждого из них, не выполняя точных вычислений.

Первое число: $(-\frac{1}{3})^3$.
Так как отрицательное число возводится в нечетную степень (3), результат будет отрицательным. Итак, $(-\frac{1}{3})^3 < 0$.

Второе число: $(-1,8)^2$.
Любое ненулевое число, возведенное в четную степень (2), дает положительный результат. Значит, $(-1,8)^2 > 0$. Более того, так как основание по модулю больше единицы ($|-1,8| = 1,8 > 1$), то и результат будет больше единицы: $(-1,8)^2 > 1$.

Третье число: $(\frac{3}{7})^3$.
Положительное число в любой степени остается положительным. Основание $\frac{3}{7}$ — это правильная дробь, то есть $0 < \frac{3}{7} < 1$. При возведении такого числа в степень больше 1, результат становится еще меньше, оставаясь в пределах от 0 до 1. Таким образом, $0 < (\frac{3}{7})^3 < 1$.

Теперь сравним полученные результаты:
- $(-1,8)^2$ — положительное число, большее 1.
- $(\frac{3}{7})^3$ — положительное число, меньшее 1.
- $(-\frac{1}{3})^3$ — отрицательное число.

Располагая их в порядке убывания, получаем: самое большое — $(-1,8)^2$, затем идет $(\frac{3}{7})^3$, и самое маленькое — $(-\frac{1}{3})^3$.
Ответ: $(-1,8)^2$; $(\frac{3}{7})^3$; $(-\frac{1}{3})^3$.

2) Чтобы расположить числа $(-0,4)^3$, $(-1,5)^2$, $(\frac{1}{7})^3$, $(-7)^3$ в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), определим знак и примерную величину каждого числа.

Анализ знаков:
- $(-0,4)^3$ — отрицательное число (отрицательное основание в нечетной степени).
- $(-1,5)^2$ — положительное число (любое ненулевое число в четной степени положительно).
- $(\frac{1}{7})^3$ — положительное число (положительное основание).
- $(-7)^3$ — отрицательное число (отрицательное основание в нечетной степени).

Следовательно, отрицательные числа меньше положительных. Нам нужно сравнить два отрицательных числа между собой и два положительных числа между собой.

Сравнение отрицательных чисел: $(-0,4)^3$ и $(-7)^3$.
Для сравнения двух отрицательных чисел нужно сравнить их модули. Меньше то число, модуль которого больше.
Сравним модули: $|(-0,4)^3| = (0,4)^3$ и $|(-7)^3| = 7^3$.
Поскольку $0,4 < 7$, то и $(0,4)^3 < 7^3$.
Так как модуль числа $(-7)^3$ больше, то само число $(-7)^3$ меньше, чем $(-0,4)^3$. То есть, $(-7)^3 < (-0,4)^3$.

Сравнение положительных чисел: $(-1,5)^2$ и $(\frac{1}{7})^3$.
- $(-1,5)^2 = 1,5^2$. Так как $1,5 > 1$, то и $1,5^2 > 1^2$, то есть $(-1,5)^2 > 1$.
- $(\frac{1}{7})^3$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, то и $0 < (\frac{1}{7})^3 < 1$.
Следовательно, $(\frac{1}{7})^3 < (-1,5)^2$.

Теперь объединим все результаты в одну цепочку в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа от меньшего к большему, затем положительные от меньшего к большему.
$(-7)^3 < (-0,4)^3 < 0 < (\frac{1}{7})^3 < 1 < (-1,5)^2$.
Ответ: $(-7)^3$; $(-0,4)^3$; $(\frac{1}{7})^3$; $(-1,5)^2$.

326. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

1) $3^3 + 4^3 + 5^3$;

2) $3^3 + 10^3 + 18^3$;

3) $21^4 + 34^4 + 46^4$;

4) $15^5 + 26^5 + 39^5?$

1) $3^3 + 4^3 + 5^3$

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается значение выражения, нужно определить последнюю цифру каждого слагаемого и найти последнюю цифру их суммы.

Найдем последнюю цифру для каждого слагаемого:

• $3^3 = 27$. Последняя цифра - 7.
• $4^3 = 64$. Последняя цифра - 4.
• $5^3 = 125$. Последняя цифра - 5. (Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5).

Теперь сложим эти последние цифры: $7 + 4 + 5 = 16$.

Последняя цифра суммы $16$ - это 6. Следовательно, значение всего выражения оканчивается на 6.

Ответ: 6

2) $3^3 + 10^3 + 18^3$

Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания. Найдем последние цифры для каждого слагаемого:

• $3^3 = 27$. Последняя цифра - 7.
• $10^3 = 1000$. Последняя цифра - 0. (Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 0, также оканчивается на 0).
• Последняя цифра $18^3$ такая же, как у $8^3$. Посчитаем: $8^1=8$, $8^2=64$ (оканчивается на 4), $8^3 = 8^2 \cdot 8$, последняя цифра будет как у $4 \cdot 8 = 32$, то есть 2.

Сложим полученные последние цифры: $7 + 0 + 2 = 9$.

Последняя цифра суммы - это 9.

Ответ: 9

3) $21^4 + 34^4 + 46^4$

Определим последнюю цифру для каждого слагаемого:

• Последняя цифра $21^4$ такая же, как у $1^4$, и равна 1. (Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1).
• Последняя цифра $34^4$ такая же, как у $4^4$. Последние цифры степеней числа 4 чередуются: $4^1 \to 4, 4^2 \to 6, 4^3 \to 4, 4^4 \to 6, \dots$. Для четной степени (4) последняя цифра - 6.
• Последняя цифра $46^4$ такая же, как у $6^4$, и равна 6. (Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6).

Сложим полученные последние цифры: $1 + 6 + 6 = 13$.

Последняя цифра суммы $13$ - это 3.

Ответ: 3

4) $15^5 + 26^5 + 39^5$

Определим последнюю цифру для каждого слагаемого:

• Последняя цифра $15^5$ равна 5 (основание оканчивается на 5).
• Последняя цифра $26^5$ равна 6 (основание оканчивается на 6).
• Последняя цифра $39^5$ такая же, как у $9^5$. Последние цифры степеней числа 9 чередуются: $9^1 \to 9, 9^2 \to 1, 9^3 \to 9, \dots$. Для нечетной степени (5) последняя цифра - 9.

Сложим полученные последние цифры: $5 + 6 + 9 = 20$.

Последняя цифра суммы $20$ - это 0.

Ответ: 0