Номер 325, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Одночлены и многочлены. Параграф 16. Степень с натуральным показателем. Упражнения - номер 325, страница 108.

Условие.

325. Не производя вычислений, расположить числа:

1) $ ( - \frac{1}{3} )^3 $; $ (-1.8)^2 $; $ (\frac{3}{7})^3 $ в порядке убывания;

2) $ (-0.4)^3 $; $ (-1.5)^2 $; $ (\frac{1}{7})^3 $; $ (-7)^3 $ в порядке возрастания.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы расположить числа $(-\frac{1}{3})^3$, $(-1,8)^2$, $(\frac{3}{7})^3$ в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), проанализируем свойства каждого из них, не выполняя точных вычислений.

Первое число: $(-\frac{1}{3})^3$.
Так как отрицательное число возводится в нечетную степень (3), результат будет отрицательным. Итак, $(-\frac{1}{3})^3 < 0$.

Второе число: $(-1,8)^2$.
Любое ненулевое число, возведенное в четную степень (2), дает положительный результат. Значит, $(-1,8)^2 > 0$. Более того, так как основание по модулю больше единицы ($|-1,8| = 1,8 > 1$), то и результат будет больше единицы: $(-1,8)^2 > 1$.

Третье число: $(\frac{3}{7})^3$.
Положительное число в любой степени остается положительным. Основание $\frac{3}{7}$ — это правильная дробь, то есть $0 < \frac{3}{7} < 1$. При возведении такого числа в степень больше 1, результат становится еще меньше, оставаясь в пределах от 0 до 1. Таким образом, $0 < (\frac{3}{7})^3 < 1$.

Теперь сравним полученные результаты:
- $(-1,8)^2$ — положительное число, большее 1.
- $(\frac{3}{7})^3$ — положительное число, меньшее 1.
- $(-\frac{1}{3})^3$ — отрицательное число.

Располагая их в порядке убывания, получаем: самое большое — $(-1,8)^2$, затем идет $(\frac{3}{7})^3$, и самое маленькое — $(-\frac{1}{3})^3$.
Ответ: $(-1,8)^2$; $(\frac{3}{7})^3$; $(-\frac{1}{3})^3$.

2) Чтобы расположить числа $(-0,4)^3$, $(-1,5)^2$, $(\frac{1}{7})^3$, $(-7)^3$ в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), определим знак и примерную величину каждого числа.

Анализ знаков:
- $(-0,4)^3$ — отрицательное число (отрицательное основание в нечетной степени).
- $(-1,5)^2$ — положительное число (любое ненулевое число в четной степени положительно).
- $(\frac{1}{7})^3$ — положительное число (положительное основание).
- $(-7)^3$ — отрицательное число (отрицательное основание в нечетной степени).

Следовательно, отрицательные числа меньше положительных. Нам нужно сравнить два отрицательных числа между собой и два положительных числа между собой.

Сравнение отрицательных чисел: $(-0,4)^3$ и $(-7)^3$.
Для сравнения двух отрицательных чисел нужно сравнить их модули. Меньше то число, модуль которого больше.
Сравним модули: $|(-0,4)^3| = (0,4)^3$ и $|(-7)^3| = 7^3$.
Поскольку $0,4 < 7$, то и $(0,4)^3 < 7^3$.
Так как модуль числа $(-7)^3$ больше, то само число $(-7)^3$ меньше, чем $(-0,4)^3$. То есть, $(-7)^3 < (-0,4)^3$.

Сравнение положительных чисел: $(-1,5)^2$ и $(\frac{1}{7})^3$.
- $(-1,5)^2 = 1,5^2$. Так как $1,5 > 1$, то и $1,5^2 > 1^2$, то есть $(-1,5)^2 > 1$.
- $(\frac{1}{7})^3$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, то и $0 < (\frac{1}{7})^3 < 1$.
Следовательно, $(\frac{1}{7})^3 < (-1,5)^2$.

Теперь объединим все результаты в одну цепочку в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа от меньшего к большему, затем положительные от меньшего к большему.
$(-7)^3 < (-0,4)^3 < 0 < (\frac{1}{7})^3 < 1 < (-1,5)^2$.
Ответ: $(-7)^3$; $(-0,4)^3$; $(\frac{1}{7})^3$; $(-1,5)^2$.