Номер 3, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Привести числовые примеры применения каждого из свойств действий со степенями.

Ниже приведены основные свойства действий со степенями с числовыми примерами для каждого из них.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием их основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Пример: Вычислить $3^2 \cdot 3^3$.

Решение: Используя свойство, складываем показатели степеней: $3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$.

Вычислим результат: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Проверка: $3^2 = 9$, $3^3 = 27$. $9 \cdot 27 = 243$.

Ответ: $3^2 \cdot 3^3 = 243$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием (не равным нулю) их основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (где $a \ne 0$).

Пример: Вычислить $\frac{5^4}{5^2}$.

Решение: Используя свойство, вычитаем показатели степеней: $\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2$.

Вычислим результат: $5^2 = 25$.

Проверка: $5^4 = 625$, $5^2 = 25$. $\frac{625}{25} = 25$.

Ответ: $\frac{5^4}{5^2} = 25$.

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Пример: Вычислить $(2^3)^2$.

Решение: Используя свойство, перемножаем показатели степеней: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Вычислим результат: $2^6 = 64$.

Проверка: $2^3 = 8$. $8^2 = 64$.

Ответ: $(2^3)^2 = 64$.

4. Возведение в степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Пример: Вычислить $(2 \cdot 5)^3$.

Решение: Используя свойство: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Проверка: $2 \cdot 5 = 10$. $10^3 = 1000$.

Ответ: $(2 \cdot 5)^3 = 1000$.

5. Возведение в степень частного (дроби)

Чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй. Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (где $b \ne 0$).

Пример: Вычислить $(\frac{6}{3})^4$.

Решение: Используя свойство: $(\frac{6}{3})^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16$.

Проверка: $\frac{6}{3} = 2$. $2^4 = 16$.

Ответ: $(\frac{6}{3})^4 = 16$.

6. Степень с нулевым показателем

Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Формула: $a^0 = 1$ (где $a \ne 0$).

Пример: Вычислить $15^0$.

Решение: По определению, любое отличное от нуля число в степени 0 равно 1. $15^0 = 1$.

Это можно показать, используя свойство деления: $\frac{15^2}{15^2} = 15^{2-2} = 15^0$. Так как $\frac{15^2}{15^2} = \frac{225}{225} = 1$, то $15^0 = 1$.

Ответ: $15^0 = 1$.

7. Степень с отрицательным целым показателем

Степень числа, не равного нулю, с отрицательным целым показателем равна дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель — степени того же числа с противоположным (положительным) показателем. Формула: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (где $a \ne 0$).

Пример: Вычислить $4^{-2}$.

Решение: Используя свойство, преобразуем степень с отрицательным показателем: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $4^{-2} = \frac{1}{16}$.

8. Степень с рациональным (дробным) показателем

Степень с дробным показателем $m/n$ определяется как корень $n$-ой степени из основания, возведенного в степень $m$. Формула: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.

Пример: Вычислить $27^{2/3}$.

Решение: Используя свойство, преобразуем степень в корень: $27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2}$.

Удобнее сначала извлечь корень: $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2$. Так как $\sqrt[3]{27} = 3$, то $(\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: $27^{2/3} = 9$.