Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Ученик пишет заголовок газеты «Школьный бал». Длина листа 80 см, по 7 см он оставляет слева и справа от заголовка. Ширина каждой буквы и каждого просвета между словами в 2 раза больше просвета между буквами. Какой ширины получилась каждая буква в заголовке?

1. Сначала найдем общую длину, доступную для написания заголовка. Общая длина листа составляет 80 см, а отступы слева и справа по 7 см каждый.

Общая длина отступов: $7 \text{ см} + 7 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Длина, доступная для заголовка: $80 \text{ см} - 14 \text{ см} = 66 \text{ см}$.

2. Теперь проанализируем структуру заголовка «Школьный бал».

Заголовок состоит из двух слов: «Школьный» (9 букв) и «бал» (3 буквы).
Общее количество букв: $9 + 3 = 12$ букв.

Количество просветов между буквами в слове «Школьный»: $9 - 1 = 8$.
Количество просветов между буквами в слове «бал»: $3 - 1 = 2$.
Общее количество просветов между буквами: $8 + 2 = 10$.

Между словами «Школьный» и «бал» есть 1 просвет.

3. Введем переменную для расчетов. Пусть $x$ — это ширина просвета между буквами.

Согласно условию задачи:
– Ширина каждой буквы равна $2x$.
– Ширина просвета между словами также равна $2x$.

4. Составим уравнение, исходя из общей длины заголовка, которая равна 66 см. Общая длина складывается из суммы длин всех букв, всех просветов между буквами и просвета между словами.

Общая длина = (кол-во букв $\times$ ширина буквы) + (кол-во просветов между буквами $\times$ ширина просвета) + (кол-во просветов между словами $\times$ ширина просвета)

$66 = (12 \times 2x) + (10 \times x) + (1 \times 2x)$

5. Решим полученное уравнение:

$66 = 24x + 10x + 2x$

$66 = 36x$

$x = \frac{66}{36}$

Сократим дробь на 6:

$x = \frac{11}{6} \text{ см}$

Это мы нашли ширину просвета между буквами.

6. Теперь найдем ширину каждой буквы. По условию, она в 2 раза больше просвета между буквами, то есть равна $2x$.

Ширина буквы = $2 \times \frac{11}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \text{ см}$.

Можно представить это значение в виде смешанной дроби: $3 \frac{2}{3}$ см.

Ответ: Ширина каждой буквы в заголовке получилась $3 \frac{2}{3}$ см.

7. Во время стирки ткань садится на $\frac{1}{16}$ по длине и на $\frac{1}{18}$ по ширине. Сколько метров ткани шириной 90 см нужно приобрести, чтобы после стирки иметь 51 м$^2$ материала?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $L_0$ и $W_0$ — исходные длина и ширина ткани до стирки, а $L_1$ и $W_1$ — длина и ширина после стирки.

Из условия задачи известны:

• Исходная ширина ткани: $W_0 = 90 \text{ см}$. Переведем это значение в метры для удобства расчетов: $W_0 = 0.9 \text{ м}$.
• Площадь ткани после стирки: $A_1 = L_1 \cdot W_1 = 51 \text{ м}^2$.

Найдем, как изменяются размеры ткани после стирки.

Ткань садится на $\frac{1}{16}$ по длине. Это значит, что от первоначальной длины остается $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. Таким образом, длина после стирки связана с исходной длиной следующим соотношением: $L_1 = L_0 \cdot \frac{15}{16}$.

Ткань садится на $\frac{1}{18}$ по ширине. От первоначальной ширины остается $1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$. Ширина после стирки равна: $W_1 = W_0 \cdot \frac{17}{18}$.

Теперь выполним расчеты по шагам.

1. Вычислим ширину ткани после стирки ($W_1$):
Подставим известное значение $W_0 = 0.9 \text{ м}$ в формулу для $W_1$: $W_1 = 0.9 \cdot \frac{17}{18} = \frac{9}{10} \cdot \frac{17}{18} = \frac{1 \cdot 17}{10 \cdot 2} = \frac{17}{20} = 0.85 \text{ м}$.

2. Найдем длину ткани после стирки ($L_1$):
Мы знаем площадь $A_1$ и ширину $W_1$ после стирки. Можем найти длину $L_1$: $A_1 = L_1 \cdot W_1 \implies L_1 = \frac{A_1}{W_1}$ $L_1 = \frac{51}{0.85} = \frac{51}{\frac{17}{20}} = 51 \cdot \frac{20}{17}$. Так как $51 = 3 \cdot 17$, получаем: $L_1 = 3 \cdot 17 \cdot \frac{20}{17} = 3 \cdot 20 = 60 \text{ м}$.

3. Рассчитаем исходную длину ткани ($L_0$):
Мы знаем, какой должна быть длина после стирки ($L_1 = 60 \text{ м}$), и как она связана с исходной длиной $L_0$. Найдем $L_0$: $L_1 = L_0 \cdot \frac{15}{16} \implies L_0 = \frac{L_1}{\frac{15}{16}} = L_1 \cdot \frac{16}{15}$ $L_0 = 60 \cdot \frac{16}{15}$. Так как $60 = 4 \cdot 15$, получаем: $L_0 = 4 \cdot 15 \cdot \frac{16}{15} = 4 \cdot 16 = 64 \text{ м}$.

Таким образом, чтобы после стирки получить 51 м² материала, необходимо приобрести 64 метра ткани шириной 90 см.

Ответ: 64 м.

8. Фирма выпускает кофемолки, которые она предполагает реализовывать по цене 3000 р. (за штуку). На приобретение деталей для изготовления одной кофемолки фирма тратит 1800 р., а за аренду помещения, зарплату сотрудникам и рекламу фирма платит 3 000 000 р. ежегодно. Считая, что других статей расходов у фирмы нет, определить, какое минимальное количество кофемолок должна реализовывать фирма ежегодно, чтобы не нести убытков.

Чтобы определить минимальное количество кофемолок, которое фирма должна реализовывать, чтобы не нести убытков, необходимо найти точку безубыточности. В этой точке общая выручка от продаж равна общим расходам.

Пусть $Q$ — искомое количество кофемолок.

1. Определим общую выручку (TR).
Выручка — это цена одной кофемолки, умноженная на количество проданных штук.
Цена одной кофемолки $(P) = 3000$ р.
Формула общей выручки:
$TR = P \times Q = 3000 \times Q$

2. Определим общие расходы (TC).
Общие расходы состоят из постоянных и переменных расходов.

Постоянные расходы (F) — это расходы, которые не зависят от количества произведенной продукции. К ним относятся аренда, зарплата и реклама.
$F = 3 \ 000 \ 000$ р. в год.

Переменные расходы (VC) — это расходы, которые напрямую зависят от количества произведенной продукции. В данном случае это стоимость деталей для одной кофемолки.
Стоимость деталей на одну кофемолку $(V) = 1800$ р.
Общие переменные расходы на $Q$ кофемолок:
$VC_{total} = V \times Q = 1800 \times Q$

Формула общих расходов:
$TC = F + VC_{total} = 3 \ 000 \ 000 + 1800 \times Q$

3. Найдем точку безубыточности.
Чтобы не нести убытков, выручка должна быть больше или равна расходам:
$TR \ge TC$
$3000 \times Q \ge 3 \ 000 \ 000 + 1800 \times Q$

Теперь решим это неравенство относительно $Q$:
$3000 \times Q - 1800 \times Q \ge 3 \ 000 \ 000$
$1200 \times Q \ge 3 \ 000 \ 000$

Разделим обе части на 1200, чтобы найти $Q$:
$Q \ge \frac{3 \ 000 \ 000}{1200}$
$Q \ge 2500$

Таким образом, фирма должна реализовывать не менее 2500 кофемолок ежегодно, чтобы покрыть все свои расходы и не понести убытки.

Ответ: 2500.

9. Три фирмы продали 236 компьютеров. Вторая фирма продала на 10 % больше компьютеров, чем первая, а третья — на 100 компьютеров меньше, чем первые две вместе. Сколько компьютеров продала каждая фирма?

Для решения задачи обозначим количество компьютеров, проданных первой фирмой, через переменную $x$.

Согласно условию, вторая фирма продала на 10% больше компьютеров, чем первая. Чтобы найти 10% от $x$, нужно умножить $x$ на 0.1. Таким образом, вторая фирма продала:
$x + 0.1x = 1.1x$ компьютеров.

Третья фирма продала на 100 компьютеров меньше, чем первые две вместе. Сначала найдем, сколько компьютеров продали первые две фирмы вместе:
$x + 1.1x = 2.1x$ компьютеров.

Теперь отнимем 100 от этого количества, чтобы найти, сколько продала третья фирма:
$(2.1x - 100)$ компьютеров.

Общее количество проданных компьютеров равно 236. Составим уравнение, сложив продажи всех трех фирм:

$x + 1.1x + (2.1x - 100) = 236$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Сложим все члены с $x$:

$4.2x - 100 = 236$

2. Перенесем 100 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4.2x = 236 + 100$

$4.2x = 336$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4.2:

$x = \frac{336}{4.2}$

$x = 80$

Таким образом, первая фирма продала 80 компьютеров.

Теперь, зная $x$, мы можем найти количество компьютеров, проданных второй и третьей фирмами.

Вторая фирма:

$1.1x = 1.1 \cdot 80 = 88$ компьютеров.

Третья фирма:

$2.1x - 100 = 2.1 \cdot 80 - 100 = 168 - 100 = 68$ компьютеров.

Проверим, что общая сумма равна 236:

$80 + 88 + 68 = 168 + 68 = 236$

Сумма верна, значит, задача решена правильно.

Ответ: первая фирма продала 80 компьютеров, вторая — 88 компьютеров, а третья — 68 компьютеров.

10. Фирмы А, В и С владеют 75 % всех акций некоторого предприятия. Количества их акций находятся в отношениях $4 : 12 : 9$. Остальные 150 000 акций принадлежат работникам предприятия. Сколькими акциями владеет каждая фирма?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем долю акций, принадлежащую работникам предприятия.
По условию, фирмы А, В и С владеют 75% всех акций. Поскольку общее количество акций составляет 100%, доля акций, принадлежащая работникам, равна:
$100\% - 75\% = 25\%$

2. Определим общее количество акций предприятия.
Известно, что 25% акций — это 150 000 штук. Обозначим общее количество акций за $X$. Тогда:
$0.25 \cdot X = 150 \, 000$
Чтобы найти $X$, разделим количество акций работников на их долю:
$X = \frac{150 \, 000}{0.25} = 600 \, 000$ акций.
Таким образом, всего на предприятии 600 000 акций.

3. Рассчитаем общее количество акций, которыми владеют фирмы А, В и С.
Фирмам принадлежит 75% от общего числа акций:
$600 \, 000 \cdot 0.75 = 450 \, 000$ акций.
Это же число можно получить, вычтя из общего количества акций акции работников: $600 \, 000 - 150 \, 000 = 450 \, 000$ акций.

4. Распределим акции между фирмами А, В и С в соответствии с отношением 4:12:9.
Сначала найдем общее количество "частей" в данном отношении:
$4 + 12 + 9 = 25$ частей.
Теперь определим, сколько акций соответствует одной части. Для этого разделим общее количество акций фирм на общее число частей:
$\frac{450 \, 000 \text{ акций}}{25 \text{ частей}} = 18 \, 000$ акций на одну часть.
Теперь можно рассчитать количество акций для каждой фирмы:
Фирма А: $4 \cdot 18 \, 000 = 72 \, 000$ акций.
Фирма B: $12 \cdot 18 \, 000 = 216 \, 000$ акций.
Фирма C: $9 \cdot 18 \, 000 = 162 \, 000$ акций.

Ответ: фирма А владеет 72 000 акций, фирма B — 216 000 акций, фирма C — 162 000 акций.