Страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

272. Имеются четыре последовательных чётных числа. Если удвоенную сумму крайних чисел уменьшить на 2, то получится 34. Найти эти числа.

Пусть первое из четырёх последовательных чётных чисел равно $x$. Так как числа являются последовательными и чётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Таким образом, эти четыре числа можно представить в виде последовательности: $x$, $x + 2$, $x + 4$, $x + 6$.

Крайними числами в этой последовательности являются первое ($x$) и последнее ($x + 6$). Их сумма равна: $x + (x + 6) = 2x + 6$.

Согласно условию задачи, удвоенную сумму крайних чисел уменьшили на 2 и получили 34. Составим уравнение на основе этого условия: $2 \cdot (2x + 6) - 2 = 34$

Теперь решим полученное уравнение для нахождения $x$:
$2(2x + 6) = 34 + 2$ (прибавляем 2 к обеим частям)
$2(2x + 6) = 36$
$2x + 6 = \frac{36}{2}$ (делим обе части на 2)
$2x + 6 = 18$
$2x = 18 - 6$ (вычитаем 6 из обеих частей)
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$ (делим обе части на 2)
$x = 6$

Итак, первое число равно 6. Теперь найдём остальные три числа:
Второе число: $6 + 2 = 8$
Третье число: $6 + 4 = 10$
Четвёртое число: $6 + 6 = 12$

Таким образом, искомые числа: 6, 8, 10, 12.

Проверка: Сумма крайних чисел $6+12=18$. Удвоенная сумма $2 \cdot 18 = 36$. Если уменьшить на 2, получим $36 - 2 = 34$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 6, 8, 10, 12.

273. 1) Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму по заготовке леса на $16 \text{ м}^3$, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

2) В цехе поставили автомат, производительность которого была на 8 деталей в час выше производительности рабочего. После 2 ч работы автомат выполнил шестичасовую норму рабочего. Какова производительность автомата?

1) Пусть плановая норма выработки бригады лесорубов составляет $x$ м³ леса в день. Поскольку бригада ежедневно перевыполняла норму на 16 м³, её фактическая производительность составляла $(x + 16)$ м³ в день.
Недельная норма была рассчитана на 6 рабочих дней, следовательно, общий объём работы, который необходимо было выполнить, равен $6x$ м³.
Бригада выполнила этот объём работы за 4 дня, работая с фактической, повышенной производительностью. Значит, за 4 дня она заготовила $4 \cdot (x + 16)$ м³ леса.
Так как в обоих случаях речь идёт об одном и том же объёме работы (недельной норме), мы можем приравнять эти два выражения, чтобы составить уравнение:
$6x = 4(x + 16)$
Решим это уравнение, чтобы найти плановую норму $x$.
$6x = 4x + 64$
$6x - 4x = 64$
$2x = 64$
$x = 32$
Плановая норма составляла 32 м³ в день. В задаче спрашивается, сколько кубометров леса бригада заготовляла в день фактически. Для этого к плановой норме нужно прибавить 16 м³.
$32 + 16 = 48$ м³
Ответ: 48 м³.

2) Пусть производительность рабочего составляет $y$ деталей в час. Производительность автомата, по условию, на 8 деталей в час выше, то есть она равна $(y + 8)$ деталей в час.
Норма рабочего за 6 часов составляет $6y$ деталей. Это тот объём работы, который должен был выполнить рабочий.
Автомат выполнил этот же объём работы, но за 2 часа. За 2 часа автомат производит $2 \cdot (y + 8)$ деталей.
Поскольку объём работы один и тот же, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:
$6y = 2(y + 8)$
Решим уравнение, чтобы найти производительность рабочего $y$.
$6y = 2y + 16$
$6y - 2y = 16$
$4y = 16$
$y = 4$
Производительность рабочего составляет 4 детали в час. Вопрос задачи — какова производительность автомата. Для этого к производительности рабочего прибавим 8.
$4 + 8 = 12$ деталей в час.
Ответ: 12 деталей в час.

274. 1) Матери 50 лет, дочери 28. Сколько лет тому назад дочь была в 2 раза моложе матери?

2) Отцу 40 лет, сыну 16. Через сколько лет отец будет в 2 раза старше сына?

1)

Пусть $x$ — это количество лет тому назад, когда дочь была в 2 раза моложе матери. Тогда возраст матери был $50 - x$ лет, а возраст дочери — $28 - x$ лет. По условию задачи, возраст матери был вдвое больше возраста дочери. Составим и решим уравнение:

$50 - x = 2 \cdot (28 - x)$

$50 - x = 56 - 2x$

$2x - x = 56 - 50$

$x = 6$

Проверка: 6 лет назад матери было $50 - 6 = 44$ года, а дочери было $28 - 6 = 22$ года. $44$ ровно в 2 раза больше, чем $22$.

Ответ: 6 лет назад.

2)

Пусть $y$ — это количество лет, через которое отец станет в 2 раза старше сына. Тогда возраст отца будет $40 + y$ лет, а возраст сына — $16 + y$ лет. По условию, возраст отца будет вдвое больше возраста сына. Составим и решим уравнение:

$40 + y = 2 \cdot (16 + y)$

$40 + y = 32 + 2y$

$2y - y = 40 - 32$

$y = 8$

Проверка: через 8 лет отцу будет $40 + 8 = 48$ лет, а сыну будет $16 + 8 = 24$ года. $48$ ровно в 2 раза больше, чем $24$.

Ответ: через 8 лет.

275. 1) В первом мешке было 50 кг сахара, а во втором — 80 кг. Из второго мешка взяли сахара в 3 раза больше, чем из первого, и тогда в первом мешке сахара осталось вдвое больше, чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?

2) На первом элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем на втором. С первого элеватора вывезли 750 т зерна, на второй элеватор привезли 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?

1) Пусть из первого мешка взяли $x$ кг сахара. Тогда, по условию задачи, из второго мешка взяли в 3 раза больше, то есть $3x$ кг сахара.
После этого в первом мешке, где было 50 кг, осталось $(50 - x)$ кг сахара.
Во втором мешке, где было 80 кг, осталось $(80 - 3x)$ кг сахара.
По условию, в первом мешке сахара осталось вдвое больше, чем во втором. Составим и решим уравнение:
$50 - x = 2 \cdot (80 - 3x)$
Раскроем скобки:
$50 - x = 160 - 6x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$6x - x = 160 - 50$
$5x = 110$
$x = \frac{110}{5}$
$x = 22$
Итак, из первого мешка взяли 22 кг сахара.
Найдем, сколько сахара взяли из второго мешка:
$3x = 3 \cdot 22 = 66$ (кг).
Проверка: В первом мешке осталось $50 - 22 = 28$ кг. Во втором мешке осталось $80 - 66 = 14$ кг. $28$ кг действительно вдвое больше, чем $14$ кг ($28 = 2 \cdot 14$).
Ответ: из первого мешка взяли 22 кг сахара, а из второго — 66 кг.

2) Пусть на втором элеваторе первоначально было $y$ тонн зерна. Тогда на первом элеваторе, где зерна было в 2 раза больше, находилось $2y$ тонн зерна.
С первого элеватора вывезли 750 т, после чего на нем осталось $(2y - 750)$ т зерна.
На второй элеватор привезли 350 т, после чего на нем стало $(y + 350)$ т зерна.
По условию, количество зерна на обоих элеваторах стало одинаковым. Составим и решим уравнение:
$2y - 750 = y + 350$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$2y - y = 350 + 750$
$y = 1100$
Таким образом, на втором элеваторе первоначально было 1100 т зерна.
Найдем первоначальное количество зерна на первом элеваторе:
$2y = 2 \cdot 1100 = 2200$ (т).
Проверка: После изменений на первом элеваторе стало $2200 - 750 = 1450$ т. На втором элеваторе стало $1100 + 350 = 1450$ т. Количество зерна сравнялось.
Ответ: первоначально на первом элеваторе было 2200 т зерна, на втором — 1100 т.

276. 1) Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но ещё изготовила дополнительно 54 детали. Сколько деталей в день изготавливала бригада?

2) Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 15 дней. Но уже за 2 дня до срока завод не только выполнил заказ, но и выпустил сверх заказа ещё 6 машин, так как ежедневно выпускал по 2 машины сверх заказа. Сколько машин должен был выпустить завод, чтобы выполнить заказ?

1)

Пусть $x$ — это плановое количество деталей, которое бригада должна была изготавливать в день (норма). Тогда весь заказ составляет $10x$ деталей.

Фактически бригада изготавливала в день на 27 деталей больше, то есть $x + 27$ деталей.

Бригада работала 7 дней и за это время изготовила $7 \times (x + 27)$ деталей.

По условию, за 7 дней бригада выполнила заказ ( $10x$ деталей) и изготовила сверх заказа еще 54 детали. Составим уравнение:

$7 \times (x + 27) = 10x + 54$

Решим это уравнение:

$7x + 189 = 10x + 54$

$189 - 54 = 10x - 7x$

$135 = 3x$

$x = 135 / 3$

$x = 45$

Таким образом, плановая норма составляла 45 деталей в день. Вопрос задачи — сколько деталей в день изготавливала бригада фактически. Фактическая выработка была на 27 деталей больше нормы:

$45 + 27 = 72$ (детали)

Ответ: 72 детали.

2)

Пусть $y$ — это плановое количество машин, которое завод должен был выпускать в день. Плановый срок выполнения заказа — 15 дней. Значит, весь заказ составляет $15y$ машин.

Фактически завод выпускал в день на 2 машины больше, то есть $y + 2$ машины.

Завод выполнил работу за 2 дня до срока, то есть за $15 - 2 = 13$ дней.

За 13 дней завод выпустил $13 \times (y + 2)$ машин.

По условию, за это время завод выполнил заказ ($15y$ машин) и выпустил сверх заказа еще 6 машин. Составим уравнение:

$13 \times (y + 2) = 15y + 6$

Решим это уравнение:

$13y + 26 = 15y + 6$

$26 - 6 = 15y - 13y$

$20 = 2y$

$y = 20 / 2$

$y = 10$

Таким образом, плановая норма составляла 10 машин в день. Вопрос задачи — сколько машин должен был выпустить завод, чтобы выполнить заказ (т.е. каков был объем всего заказа).

$15 \text{ дней} \times 10 \text{ машин/день} = 150$ (машин)

Ответ: 150 машин.

277. 1) Лодка шла против течения реки 4,5 ч и по течению реки 2,1 ч. Найти скорость лодки в стоячей воде, если она прошла всего 52,2 км, а скорость течения реки равна 3 км/ч.

2) Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения реки 3,2 ч. Путь, пройденный по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.

1) Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.
Скорость течения реки по условию равна 3 км/ч.
Тогда скорость лодки по течению реки составляет $v_{по} = (x + 3)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки составляет $v_{против} = (x - 3)$ км/ч.

Лодка шла против течения 4,5 часа, пройденное расстояние равно:
$S_{против} = v_{против} \times t_{против} = (x - 3) \times 4,5$ км.
Лодка шла по течению 2,1 часа, пройденное расстояние равно:
$S_{по} = v_{по} \times t_{по} = (x + 3) \times 2,1$ км.

Общее расстояние, пройденное лодкой, равно 52,2 км. Составим уравнение, сложив пути, пройденные по течению и против течения:
$S_{против} + S_{по} = 52,2$
$4,5(x - 3) + 2,1(x + 3) = 52,2$

Теперь решим это уравнение:
$4,5x - 4,5 \times 3 + 2,1x + 2,1 \times 3 = 52,2$
$4,5x - 13,5 + 2,1x + 6,3 = 52,2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(4,5x + 2,1x) + (-13,5 + 6,3) = 52,2$
$6,6x - 7,2 = 52,2$
Перенесем -7,2 в правую часть уравнения:
$6,6x = 52,2 + 7,2$
$6,6x = 59,4$
Найдем $x$:
$x = \frac{59,4}{6,6}$
$x = 9$
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

2) Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч.
Скорость течения реки по условию равна 3,5 км/ч.
Тогда скорость лодки по течению реки составляет $v_{по} = (x + 3,5)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки составляет $v_{против} = (x - 3,5)$ км/ч.

Лодка шла по течению 2,4 часа, пройденное расстояние равно:
$S_{по} = v_{по} \times t_{по} = (x + 3,5) \times 2,4$ км.
Лодка шла против течения 3,2 часа, пройденное расстояние равно:
$S_{против} = v_{против} \times t_{против} = (x - 3,5) \times 3,2$ км.

По условию, путь, пройденный по течению, на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Составим уравнение:
$S_{по} - S_{против} = 13,2$
$2,4(x + 3,5) - 3,2(x - 3,5) = 13,2$

Теперь решим это уравнение:
$2,4x + 2,4 \times 3,5 - (3,2x - 3,2 \times 3,5) = 13,2$
$2,4x + 8,4 - 3,2x + 11,2 = 13,2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(2,4x - 3,2x) + (8,4 + 11,2) = 13,2$
$-0,8x + 19,6 = 13,2$
Перенесем слагаемые для удобства вычислений:
$19,6 - 13,2 = 0,8x$
$6,4 = 0,8x$
Найдем $x$:
$x = \frac{6,4}{0,8}$
$x = 8$
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.