Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Оператор на компьютере за восьмичасовой рабочий день может набрать $p$ страниц текста. Сколько часов $t$ ему понадобится, чтобы набрать $A$ страниц текста, если он будет работать с той же производительностью?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность работы оператора. Производительность (обозначим ее как $V$) — это количество работы (в данном случае, набранных страниц), выполняемое за единицу времени (час).

По условию, за 8 часов оператор набирает $p$ страниц текста. Следовательно, его производительность равна:

$V = \frac{p}{8}$ (страниц/час)

Далее нам нужно найти время $t$, которое потребуется для набора $A$ страниц текста при той же производительности. Время можно найти, разделив общий объем работы на производительность:

$t = \frac{A}{V}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для производительности $V$, которое мы нашли ранее:

$t = \frac{A}{\frac{p}{8}}$

Чтобы разделить на дробь, мы умножаем на обратную ей дробь:

$t = A \cdot \frac{8}{p} = \frac{8A}{p}$

Таким образом, для набора $A$ страниц текста оператору потребуется $\frac{8A}{p}$ часов.

Ответ: $t = \frac{8A}{p}$ часов.

4. Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии в домах с электроплитами равна $x$ р., что на $a \%$ меньше, чем в домах с газовыми плитами. Выразить стоимость одного киловатт-часа электроэнергии в домах с газовыми плитами через $a$ и $x$.

Пусть $y$ — стоимость одного киловатт-часа электроэнергии в домах с газовыми плитами. Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии в домах с электроплитами равна $x$ р.

Согласно условию, стоимость $x$ на $a\%$ меньше, чем стоимость $y$. Это означает, что $x$ составляет $(100 - a)\%$ от $y$. Чтобы найти $x$, нужно $y$ умножить на долю, соответствующую $(100 - a)\%$.

Запишем это в виде математического уравнения:

$x = y \cdot \frac{100 - a}{100}$

Наша задача — выразить $y$ через $x$ и $a$. Для этого решим полученное уравнение относительно $y$. Умножим обе части уравнения на $100$ и разделим на $(100 - a)$:

$y = \frac{100 \cdot x}{100 - a}$

Таким образом, мы выразили стоимость одного киловатт-часа электроэнергии в домах с газовыми плитами.

Ответ: $\frac{100x}{100 - a}$ р.

5. Найти число, если $40 \text{ %}$ его равны $96$.

5.

Это задача на нахождение числа по его проценту. Обозначим искомое число буквой $x$. Нам известно, что 40% от этого числа равно 96. Задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1. С помощью пропорции

Искомое число $x$ составляет 100%. Число 96 составляет 40% от искомого числа. Составим пропорцию, чтобы соотнести части и целое:

$x$ — $100\%$
$96$ — $40\%$

Из пропорции следует равенство отношений:

$ \frac{x}{96} = \frac{100}{40} $

Теперь выразим $x$:

$ x = 96 \cdot \frac{100}{40} $

Выполним вычисления:

$ x = 96 \cdot \frac{10}{4} = 24 \cdot 10 = 240 $

Способ 2. Через десятичные дроби

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого разделим количество процентов на 100:

$ 40\% = \frac{40}{100} = 0.4 $

Теперь условие задачи можно записать в виде уравнения. Произведение числа $x$ на долю $0.4$ равно 96:

$ 0.4 \cdot x = 96 $

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (96) разделить на известный множитель (0.4):

$ x = \frac{96}{0.4} $

Для удобства деления умножим и числитель, и знаменатель на 10:

$ x = \frac{960}{4} = 240 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 240

6. Найти $15\%$ от 300 кг.

6.

Чтобы найти указанный процент от числа, можно воспользоваться несколькими способами. В данном случае нам нужно найти 15% от 300 кг.

Способ 1: Преобразование процента в десятичную дробь

Сначала необходимо представить 15% в виде десятичной дроби. Для этого число процентов делится на 100.

$15\% = \frac{15}{100} = 0.15$

Далее, чтобы найти часть от целого, нужно умножить исходное число (300 кг) на полученную десятичную дробь.

$300 \text{ кг} \times 0.15 = 45 \text{ кг}$

Способ 2: Использование пропорции

Можно составить пропорцию, в которой 300 кг принимается за 100%, а искомая величина $x$ кг — за 15%.

$300 \text{ кг} \quad — \quad 100\%$

$x \text{ кг} \quad — \quad 15\%$

Составим и решим уравнение на основе этой пропорции:

$\frac{x}{300} = \frac{15}{100}$

Чтобы найти $x$, нужно 300 умножить на 15 и разделить на 100:

$x = \frac{300 \times 15}{100} = 3 \times 15 = 45 \text{ кг}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 45 кг.

7. После добавления 200 г сахара в a г воды образовался 10 %-ный раствор сахара (рис. 5). Найдем a:

$\frac{200}{a+200} \cdot 100\% = 10\%$

$\frac{200}{a+200} = \frac{10}{100}$

$a = 1800$ г.

В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15 %-ный раствор?

сахар

200 г

a г воды

(a + 200) г

10% раств. сахара

Рис. 5

В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15 %-ный раствор?

Для решения задачи воспользуемся формулой для расчета массовой доли растворенного вещества (концентрации) в растворе:

$ \omega = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}} \cdot 100\% $

где $ \omega $ — это массовая доля вещества в процентах, $ m_{\text{вещества}} $ — масса растворенного вещества (в данном случае сахара), а $ m_{\text{раствора}} $ — общая масса раствора.

Общая масса раствора представляет собой сумму массы растворителя (воды) и массы растворенного вещества (сахара):

$ m_{\text{раствора}} = m_{\text{воды}} + m_{\text{вещества}} $

Пусть искомое количество воды равно $x$ граммов. Исходя из условий задачи, мы имеем следующие данные:

Масса сахара ($ m_{\text{вещества}} $): 200 г.

Масса воды ($ m_{\text{воды}} $): $x$ г.

Требуемая концентрация раствора ($ \omega $): 15%.

Следовательно, масса всего раствора будет равна:

$ m_{\text{раствора}} = x + 200 $ г.

Теперь подставим все известные значения в формулу для концентрации:

$ 15\% = \frac{200}{x + 200} \cdot 100\% $

Чтобы найти $x$, решим полученное уравнение. Для начала разделим обе части уравнения на $100\% $:

$ \frac{15}{100} = \frac{200}{x + 200} $

$ 0.15 = \frac{200}{x + 200} $

Далее, умножим обе части уравнения на знаменатель $ (x + 200) $:

$ 0.15 \cdot (x + 200) = 200 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 0.15x + 0.15 \cdot 200 = 200 $

$ 0.15x + 30 = 200 $

Перенесем 30 в правую часть уравнения, изменив знак:

$ 0.15x = 200 - 30 $

$ 0.15x = 170 $

Наконец, найдем $x$, разделив 170 на 0.15:

$ x = \frac{170}{0.15} $

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0.15 в виде обыкновенной дроби $ \frac{15}{100} $:

$ x = \frac{170}{\frac{15}{100}} = 170 \cdot \frac{100}{15} = \frac{17000}{15} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ x = \frac{3400}{3} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ x = 1133 \frac{1}{3} $ г.

Таким образом, чтобы получить 15%-ный раствор сахара, необходимо в $1133 \frac{1}{3}$ г воды добавить 200 г сахара.

Ответ: $1133 \frac{1}{3}$ г.

268. Ученик задумал число. Если его умножить на 4, к произведению прибавить 8 и полученную сумму разделить на 2, то получится 10. Какое число задумал ученик?

Для решения этой задачи можно составить уравнение или решить ее, выполняя действия в обратном порядке. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Составление уравнения

Пусть x — это число, которое задумал ученик.
Следуя условию задачи, запишем последовательность действий в виде математического выражения:
1. Умножить число на 4: $4 \cdot x$.
2. К произведению прибавить 8: $4x + 8$.
3. Полученную сумму разделить на 2: $(4x + 8) \div 2$.

В результате всех действий получилось 10. Составим уравнение:
$(4x + 8) \div 2 = 10$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти x.
Умножим обе части уравнения на 2:
$4x + 8 = 10 \cdot 2$
$4x + 8 = 20$

Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный (вычтем 8 из обеих частей):
$4x = 20 - 8$
$4x = 12$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти x:
$x = 12 \div 4$
$x = 3$

Способ 2: Решение с конца (обратные действия)

Будем выполнять действия, обратные тем, что описаны в задаче, начиная с конечного результата (10).
1. Последнее действие было деление на 2. Обратное действие — умножение на 2.
$10 \cdot 2 = 20$.
Это число, которое было перед делением.

2. Перед делением было сложение с 8. Обратное действие — вычитание 8.
$20 - 8 = 12$.
Это число, которое было перед сложением.

3. Первым действием было умножение на 4. Обратное действие — деление на 4.
$12 \div 4 = 3$.
Это и есть исходное задуманное число.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: Ученик задумал число 3.

269. 1) Поезд имеет в своём составе цистерны, платформы и товарные вагоны. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и в 2 раза меньше, чем товарных вагонов. Сколько в составе поезда отдельно цистерн, платформ и товарных вагонов, если их общее число равно 68?

2) Три цеха изготовили 869 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше, чем первый, а третий — на 139 меньше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый цех отдельно?

1)

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество цистерн в составе поезда.

Из условия известно, что цистерн на 4 меньше, чем платформ. Это означает, что количество платформ на 4 больше, чем количество цистерн. Выразим количество платформ через $x$: $x + 4$.

Также известно, что цистерн в 2 раза меньше, чем товарных вагонов. Это означает, что товарных вагонов в 2 раза больше, чем цистерн. Выразим количество товарных вагонов через $x$: $2x$.

Общее число всех вагонов равно 68. Теперь мы можем составить уравнение, сложив количество вагонов всех типов:

Цистерны + Платформы + Товарные вагоны = 68

$x + (x + 4) + 2x = 68$

Теперь решим это уравнение:

$4x + 4 = 68$

$4x = 68 - 4$

$4x = 64$

$x = \frac{64}{4}$

$x = 16$

Мы нашли количество цистерн — их 16.

Теперь найдем количество платформ и товарных вагонов:

• Количество платформ: $x + 4 = 16 + 4 = 20$.
• Количество товарных вагонов: $2x = 2 \times 16 = 32$.

Проверим, равно ли общее число вагонов 68: $16 + 20 + 32 = 68$. Условие выполняется.

Ответ: в составе поезда 16 цистерн, 20 платформ и 32 товарных вагона.

2)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовил первый цех.

Из условия следует, что второй цех изготовил в 3 раза больше деталей, чем первый. Значит, количество деталей, изготовленных вторым цехом, равно $3x$.

Третий цех изготовил на 139 деталей меньше, чем второй. Значит, количество деталей, изготовленных третьим цехом, равно $3x - 139$.

Всего три цеха изготовили 869 деталей. Составим и решим уравнение:

Детали (цех 1) + Детали (цех 2) + Детали (цех 3) = 869

$x + 3x + (3x - 139) = 869$

Решим полученное уравнение:

$7x - 139 = 869$

$7x = 869 + 139$

$7x = 1008$

$x = \frac{1008}{7}$

$x = 144$

Мы нашли количество деталей, изготовленных первым цехом — 144 детали.

Теперь найдем, сколько деталей изготовили второй и третий цеха:

• Второй цех: $3x = 3 \times 144 = 432$ детали.
• Третий цех: $3x - 139 = 432 - 139 = 293$ детали.

Проверим, равно ли общее количество деталей 869: $144 + 432 + 293 = 869$. Условие выполняется.

Ответ: первый цех изготовил 144 детали, второй цех — 432 детали, третий цех — 293 детали.

270. В кассе лежит 98 монет по 1 р., 2 р., 5 р. Монет по 2 р. на 10 больше, чем монет по 1 р., а монет по 5 р. в 7 раз больше, чем монет по 2 р. Сколько в кассе монет по 1 р., 2 р., 5 р. в отдельности?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество монет по 1 рублю.

Согласно условию, монет по 2 рубля на 10 больше, чем монет по 1 рублю. Следовательно, их количество равно $x + 10$.

Также по условию, монет по 5 рублей в 7 раз больше, чем монет по 2 рубля. Следовательно, их количество равно $7 \times (x + 10)$.

Общее количество монет в кассе — 98. Сложим количество монет каждого номинала и приравняем к 98:

$x + (x + 10) + 7 \times (x + 10) = 98$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$x + x + 10 + 7x + 70 = 98$

Приведем подобные слагаемые:

$9x + 80 = 98$

Перенесем 80 в правую часть уравнения:

$9x = 98 - 80$

$9x = 18$

Найдем $x$:

$x = \frac{18}{9}$

$x = 2$

Мы нашли, что $x=2$. Теперь вычислим количество монет каждого номинала в отдельности.

монет по 1 р.
Количество монет по 1 рублю мы обозначили как $x$. Таким образом, их количество равно 2.
Ответ: 2 монеты.

монет по 2 р.
Количество монет по 2 рубля равно $x + 10$. Подставим значение $x$:
$2 + 10 = 12$ монет.
Ответ: 12 монет.

монет по 5 р.
Количество монет по 5 рублей равно $7 \times (x + 10)$. Подставим значения:
$7 \times (2 + 10) = 7 \times 12 = 84$ монеты.
Ответ: 84 монеты.

271. Найти три последовательных нечётных числа, сумма которых равна 81.

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Обозначим искомые числа переменными.

Пусть среднее из трех последовательных нечётных чисел будет $n$. Так как нечётные числа следуют друг за другом с разницей в 2, то первое (меньшее) число будет равно $n - 2$, а третье (большее) число будет равно $n + 2$.

Таким образом, мы имеем три последовательных нечётных числа: $n - 2$, $n$ и $n + 2$.

Согласно условию, их сумма равна 81. Составим и решим уравнение:

$(n - 2) + n + (n + 2) = 81$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n - 2 + n + n + 2 = 81$

$3n = 81$

Теперь найдем значение $n$, разделив обе части уравнения на 3:

$n = \frac{81}{3}$

$n = 27$

Мы нашли среднее число. Теперь найдем остальные два числа:

• Первое число: $n - 2 = 27 - 2 = 25$
• Третье число: $n + 2 = 27 + 2 = 29$

Искомые числа: 25, 27, 29.

Выполним проверку: числа 25, 27 и 29 являются последовательными нечётными, а их сумма $25 + 27 + 29 = 81$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 25, 27, 29.