Номер 7, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Уравнения с одним неизвестным. Параграф 15. Решение задач с помощью уравнений. Вводные упражнения - номер 7, страница 93.

Условие.

7. После добавления 200 г сахара в a г воды образовался 10 %-ный раствор сахара (рис. 5). Найдем a:

$\frac{200}{a+200} \cdot 100\% = 10\%$

$\frac{200}{a+200} = \frac{10}{100}$

$a = 1800$ г.

В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15 %-ный раствор?

сахар

200 г

a г воды

(a + 200) г

10% раств. сахара

Рис. 5

Решение 1.

Решение 5.

В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15 %-ный раствор?

Для решения задачи воспользуемся формулой для расчета массовой доли растворенного вещества (концентрации) в растворе:

$ \omega = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}} \cdot 100\% $

где $ \omega $ — это массовая доля вещества в процентах, $ m_{\text{вещества}} $ — масса растворенного вещества (в данном случае сахара), а $ m_{\text{раствора}} $ — общая масса раствора.

Общая масса раствора представляет собой сумму массы растворителя (воды) и массы растворенного вещества (сахара):

$ m_{\text{раствора}} = m_{\text{воды}} + m_{\text{вещества}} $

Пусть искомое количество воды равно $x$ граммов. Исходя из условий задачи, мы имеем следующие данные:

Масса сахара ($ m_{\text{вещества}} $): 200 г.

Масса воды ($ m_{\text{воды}} $): $x$ г.

Требуемая концентрация раствора ($ \omega $): 15%.

Следовательно, масса всего раствора будет равна:

$ m_{\text{раствора}} = x + 200 $ г.

Теперь подставим все известные значения в формулу для концентрации:

$ 15\% = \frac{200}{x + 200} \cdot 100\% $

Чтобы найти $x$, решим полученное уравнение. Для начала разделим обе части уравнения на $100\% $:

$ \frac{15}{100} = \frac{200}{x + 200} $

$ 0.15 = \frac{200}{x + 200} $

Далее, умножим обе части уравнения на знаменатель $ (x + 200) $:

$ 0.15 \cdot (x + 200) = 200 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 0.15x + 0.15 \cdot 200 = 200 $

$ 0.15x + 30 = 200 $

Перенесем 30 в правую часть уравнения, изменив знак:

$ 0.15x = 200 - 30 $

$ 0.15x = 170 $

Наконец, найдем $x$, разделив 170 на 0.15:

$ x = \frac{170}{0.15} $

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0.15 в виде обыкновенной дроби $ \frac{15}{100} $:

$ x = \frac{170}{\frac{15}{100}} = 170 \cdot \frac{100}{15} = \frac{17000}{15} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ x = \frac{3400}{3} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ x = 1133 \frac{1}{3} $ г.

Таким образом, чтобы получить 15%-ный раствор сахара, необходимо в $1133 \frac{1}{3}$ г воды добавить 200 г сахара.

Ответ: $1133 \frac{1}{3}$ г.