Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Является ли верным равенство $2x/13 = 14/25$, если известно, что верно равенство $x/13 = 7/25$?

Для того чтобы определить, является ли равенство $\frac{2x}{13} = \frac{14}{25}$ верным, мы используем данное условие, что равенство $\frac{x}{13} = \frac{7}{25}$ является верным.

Возьмем исходное верное равенство:

$\frac{x}{13} = \frac{7}{25}$

Согласно основному свойству равенств, если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то равенство останется верным. Умножим обе части нашего равенства на 2:

$2 \cdot \frac{x}{13} = 2 \cdot \frac{7}{25}$

Теперь преобразуем левую и правую части полученного выражения.

Левая часть:

$2 \cdot \frac{x}{13} = \frac{2x}{13}$

Правая часть:

$2 \cdot \frac{7}{25} = \frac{2 \cdot 7}{25} = \frac{14}{25}$

Сопоставив преобразованные части, мы получаем новое равенство:

$\frac{2x}{13} = \frac{14}{25}$

Это равенство в точности совпадает с тем, которое нам нужно было проверить. Поскольку мы получили его с помощью равносильного преобразования (умножения на 2) из заведомо верного равенства, то и оно является верным.

Ответ: да, равенство является верным.

251. (Устно.) Решить уравнение.

1) $x + 3 = 5$;

2) $x + 8 = 11$;

3) $x - 0,25 = 0,75$;

4) $x - 1,3 = 2,7$;

5) $-2x = 10$;

6) $18x = -9$;

7) $10x = 0$;

8) $15x = -15$.

1) В уравнении $x+3=5$, чтобы найти $x$, нужно перенести слагаемое $3$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.
$x = 5 - 3$
$x = 2$
Ответ: 2

2) В уравнении $x+8=11$, чтобы найти $x$, перенесем слагаемое $8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$x = 11 - 8$
$x = 3$
Ответ: 3

3) В уравнении $x-0,25=0,75$, чтобы найти $x$, нужно перенести вычитаемое $-0,25$ в правую часть уравнения, изменив его знак.
$x = 0,75 + 0,25$
$x = 1$
Ответ: 1

4) В уравнении $x-1,3=2,7$, чтобы найти $x$, перенесем вычитаемое $-1,3$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$x = 2,7 + 1,3$
$x = 4$
Ответ: 4

5) В уравнении $-2x=10$, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на известный множитель $-2$.
$x = \frac{10}{-2}$
$x = -5$
Ответ: -5

6) В уравнении $18x=-9$, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на известный множитель $18$.
$x = \frac{-9}{18}$
Сократим дробь на 9:
$x = -\frac{1}{2}$
$x = -0,5$
Ответ: -0,5

7) В уравнении $10x=0$, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $10$.
$x = \frac{0}{10}$
$x = 0$
Ответ: 0

8) В уравнении $15x=-15$, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $15$.
$x = \frac{-15}{15}$
$x = -1$
Ответ: -1

252. Установить, являются ли равносильными уравнения:

1) $x + 7 = 0$ и $2x = -14;$

2) $3x = 1$ и $x + 1 = 3;$

3) $-\frac{1}{2}x = 4$ и $x + 2 = -2;$

4) $x - 6 = -5$ и $-0,3x = -0,3.$

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни (или если оба не имеют корней). Чтобы установить, являются ли данные уравнения равносильными, найдём корень каждого уравнения и сравним их.

1) Для уравнений $x + 7 = 0$ и $2x = -14$.

Найдём корень первого уравнения:
$x + 7 = 0$
$x = -7$.

Найдём корень второго уравнения:
$2x = -14$
$x = \frac{-14}{2}$
$x = -7$.

Корни обоих уравнений совпадают и равны $-7$. Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: да, являются равносильными.

2) Для уравнений $3x = 1$ и $x + 1 = 3$.

Найдём корень первого уравнения:
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$.

Найдём корень второго уравнения:
$x + 1 = 3$
$x = 3 - 1$
$x = 2$.

Корни уравнений различны ($\frac{1}{3} \neq 2$). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не являются равносильными.

3) Для уравнений $-\frac{1}{2}x = 4$ и $x + 2 = -2$.

Найдём корень первого уравнения:
$-\frac{1}{2}x = 4$
$x = 4 \cdot (-2)$
$x = -8$.

Найдём корень второго уравнения:
$x + 2 = -2$
$x = -2 - 2$
$x = -4$.

Корни уравнений различны ($-8 \neq -4$). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не являются равносильными.

4) Для уравнений $x - 6 = -5$ и $-0,3x = -0,3$.

Найдём корень первого уравнения:
$x - 6 = -5$
$x = -5 + 6$
$x = 1$.

Найдём корень второго уравнения:
$-0,3x = -0,3$
$x = \frac{-0,3}{-0,3}$
$x = 1$.

Корни обоих уравнений совпадают и равны $1$. Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: да, являются равносильными.

Решить уравнение (253–261).

253.1) $9x = \frac{2}{5}$;

2) $-3x = 2\frac{1}{7}$;

3) $-\frac{1}{2}x = 3$;

4) $\frac{3}{4}x = \frac{1}{2}$.

1) Дано уравнение $9x = \frac{2}{5}$.

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{2}{5}$) разделить на известный множитель (9).

$x = \frac{2}{5} : 9$

При делении дроби на целое число, знаменатель дроби умножается на это число.

$x = \frac{2}{5 \cdot 9}$

$x = \frac{2}{45}$

Ответ: $x = \frac{2}{45}$

2) Дано уравнение $-3x = 2\frac{1}{7}$.

Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби.

$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

Уравнение принимает вид: $-3x = \frac{15}{7}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -3.

$x = \frac{15}{7} : (-3)$

$x = -\frac{15}{7 \cdot 3}$

Сократим дробь на 3.

$x = -\frac{5}{7}$

Ответ: $x = -\frac{5}{7}$

3) Дано уравнение $-\frac{1}{2}x = 3$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-\frac{1}{2}$.

$x = 3 : (-\frac{1}{2})$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$x = 3 \cdot (-\frac{2}{1})$

$x = 3 \cdot (-2)$

$x = -6$

Ответ: $x = -6$

4) Дано уравнение $\frac{3}{4}x = \frac{1}{2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$.

$x = \frac{1}{2} : \frac{3}{4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

$x = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$

Сократим полученную дробь на 2.

$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$

254. 1) $0,3x = 6;$

2) $1,3x = -1,69;$

3) $0,7x = 49;$

4) $-10x = 0,5.$

1) Дано линейное уравнение $0,3x = 6$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение (число $6$) разделить на известный множитель (число $0,3$).
$x = \frac{6}{0,3}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $10$:
$x = \frac{6 \cdot 10}{0,3 \cdot 10} = \frac{60}{3}$
$x = 20$
Проверка: $0,3 \cdot 20 = 6$.
Ответ: $20$.

2) Дано уравнение $1,3x = -1,69$.
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $1,3$.
$x = \frac{-1,69}{1,3}$
Можно заметить, что $1,69$ это квадрат числа $1,3$.
$x = -\frac{1,3 \cdot 1,3}{1,3}$
Сократим дробь на $1,3$:
$x = -1,3$
Проверка: $1,3 \cdot (-1,3) = -1,69$.
Ответ: $-1,3$.

3) Дано уравнение $0,7x = 49$.
Чтобы найти $x$, разделим произведение ($49$) на известный множитель ($0,7$).
$x = \frac{49}{0,7}$
Умножим числитель и знаменатель на $10$, чтобы упростить деление:
$x = \frac{49 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{490}{7}$
$x = 70$
Проверка: $0,7 \cdot 70 = 7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: $70$.

4) Дано уравнение $-10x = 0,5$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-10$.
$x = \frac{0,5}{-10}$
Деление на $-10$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на один знак влево и смене знака.
$x = -0,05$
Проверка: $-10 \cdot (-0,05) = 10 \cdot 0,05 = 0,5$.
Ответ: $-0,05$.

255. 1) $25x - 1 = 9$;

2) $7x + 8 = 11$;

3) $3x - 5 = 10 - x$;

4) $4x + 4 = x + 5$.

1) Дано линейное уравнение $25x - 1 = 9$.
Чтобы найти неизвестную переменную $x$, необходимо сначала изолировать слагаемое, содержащее $x$. Для этого перенесем число $-1$ из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак на противоположный:
$25x = 9 + 1$
Выполним сложение в правой части:
$25x = 10$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 25:
$x = \frac{10}{25}$
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 5:
$x = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$
Этот результат также можно представить в виде десятичной дроби:
$x = 0.4$
Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

2) Дано линейное уравнение $7x + 8 = 11$.
Перенесем свободный член $8$ из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:
$7x = 11 - 8$
Выполним вычитание в правой части:
$7x = 3$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, равный 7:
$x = \frac{3}{7}$
Ответ: $x = \frac{3}{7}$.

3) Дано линейное уравнение $3x - 5 = 10 - x$.
Для решения этого уравнения сгруппируем все члены, содержащие переменную $x$, в левой части, а все числовые (свободные) члены — в правой. Перенесем $-x$ из правой части в левую, поменяв знак на "+". Перенесем $-5$ из левой части в правую, поменяв знак на "+":
$3x + x = 10 + 5$
Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$4x = 15$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{15}{4}$
Этот ответ можно представить в виде смешанного числа $3\frac{3}{4}$ или десятичной дроби $3.75$.
Ответ: $x = \frac{15}{4}$.

4) Дано линейное уравнение $4x + 4 = x + 5$.
Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой. Для этого перенесем $x$ из правой части в левую со знаком "-", а $4$ из левой в правую со знаком "-":
$4x - x = 5 - 4$
Упростим обе части уравнения, приведя подобные слагаемые:
$3x = 1$
Разделим обе части уравнения на коэффициент 3:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

256. 1) $5x + 3(3x + 7) = 35;$

2) $8x - (7x + 8) = 9;$

3) $8y - 9 - (4y - 5) = 12y - (4 + 5y);$

4) $4 + 8y + 8 = 2y - (10 + 7y) + 9.$

1) $5x + 3(3x + 7) = 35$
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 3 на каждый член в скобках:
$5x + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 7 = 35$
$5x + 9x + 21 = 35$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$14x + 21 = 35$
Перенесем число 21 из левой части в правую с противоположным знаком:
$14x = 35 - 21$
$14x = 14$
Разделим обе части уравнения на 14, чтобы найти $x$:
$x = \frac{14}{14}$
$x = 1$
Ответ: 1

2) $8x - (7x + 8) = 9$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$8x - 7x - 8 = 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 8 = 9$
Перенесем число -8 из левой части в правую с противоположным знаком:
$x = 9 + 8$
$x = 17$
Ответ: 17

3) $8y - 9 - (4y - 5) = 12y - (4 + 5y)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Перед скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$8y - 9 - 4y + 5 = 12y - 4 - 5y$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения. Сначала в левой:
$(8y - 4y) + (-9 + 5) = 4y - 4$
Теперь в правой:
$(12y - 5y) - 4 = 7y - 4$
Уравнение принимает вид:
$4y - 4 = 7y - 4$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числа - в другую. Добавим 4 к обеим частям уравнения:
$4y - 4 + 4 = 7y - 4 + 4$
$4y = 7y$
Перенесем $4y$ в правую часть:
$0 = 7y - 4y$
$0 = 3y$
Разделим обе части на 3:
$y = \frac{0}{3}$
$y = 0$
Ответ: 0

4) $4 + 8y + 8 = 2y - (10 + 7y) + 9$
Сначала упростим обе части уравнения. В левой части сложим числа:
$12 + 8y = 2y - (10 + 7y) + 9$
В правой части раскроем скобки (меняя знаки) и приведем подобные слагаемые:
$12 + 8y = 2y - 10 - 7y + 9$
$12 + 8y = (2y - 7y) + (-10 + 9)$
$12 + 8y = -5y - 1$
Теперь перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть, а числа - в правую:
$8y + 5y = -1 - 12$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$13y = -13$
Разделим обе части на 13:
$y = \frac{-13}{13}$
$y = -1$
Ответ: -1

257. 1) $5(x - 3) - 2(x - 7) + 7(2x + 6) = 7;$

2) $11(y - 4) + 10(5 - 3y) - 3(4 - 3y) = -6;$

3) $5(8z - 1) - 7(4z + 1) + 8(7 - 4z) = 9;$

4) $10(3x - 2) - 3(5x + 2) + 5(11 - 4x) = 25.$

1) $5(x-3)-2(x-7)+7(2x+6)=7$
Для решения уравнения сначала раскроем скобки в левой части, умножая число перед скобкой на каждый член внутри скобки:
$5 \cdot x + 5 \cdot (-3) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-7) + 7 \cdot 2x + 7 \cdot 6 = 7$
$5x - 15 - 2x + 14 + 14x + 42 = 7$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и свободные члены (числа).
$(5x - 2x + 14x) + (-15 + 14 + 42) = 7$
$17x + 41 = 7$
Перенесем свободный член $41$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$17x = 7 - 41$
$17x = -34$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $17$:
$x = \frac{-34}{17}$
$x = -2$
Ответ: $-2$

2) $11(y-4)+10(5-3y)-3(4-3y)=-6$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$11y - 44 + 50 - 30y - 12 + 9y = -6$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $y$ и свободные члены.
$(11y - 30y + 9y) + (-44 + 50 - 12) = -6$
$-10y - 6 = -6$
Перенесем свободный член $-6$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$-10y = -6 + 6$
$-10y = 0$
Разделим обе части уравнения на $-10$:
$y = \frac{0}{-10}$
$y = 0$
Ответ: $0$

3) $5(8z-1)-7(4z+1)+8(7-4z)=9$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$40z - 5 - 28z - 7 + 56 - 32z = 9$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $z$ и свободные члены.
$(40z - 28z - 32z) + (-5 - 7 + 56) = 9$
$-20z + 44 = 9$
Перенесем свободный член $44$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$-20z = 9 - 44$
$-20z = -35$
Разделим обе части уравнения на $-20$:
$z = \frac{-35}{-20}$
$z = \frac{35}{20}$
Сократим дробь на $5$:
$z = \frac{7}{4}$ или $z = 1.75$
Ответ: $1.75$

4) $10(3x-2)-3(5x+2)+5(11-4x)=25$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$30x - 20 - 15x - 6 + 55 - 20x = 25$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и свободные члены.
$(30x - 15x - 20x) + (-20 - 6 + 55) = 25$
$-5x + 29 = 25$
Перенесем свободный член $29$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$-5x = 25 - 29$
$-5x = -4$
Разделим обе части уравнения на $-5$:
$x = \frac{-4}{-5}$
$x = \frac{4}{5}$ или $x = 0.8$
Ответ: $0.8$

258. 1) $\frac{11}{7} = \frac{2-x}{5}$;

2) $\frac{3x}{5} = \frac{6+x}{3}$;

3) $\frac{x}{3} + \frac{x}{5} = 8$;

4) $\frac{y}{3} + \frac{y}{4} = 14$.

1) Решим уравнение $\frac{11}{7} = \frac{2-x}{5}$.

Данное уравнение является пропорцией. Чтобы его решить, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$11 \cdot 5 = 7 \cdot (2-x)$

Выполним умножение в обеих частях уравнения:

$55 = 14 - 7x$

Теперь перенесём слагаемые так, чтобы члены с переменной $x$ оказались в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесём $-7x$ в левую часть, а $55$ в правую, изменив их знаки:

$7x = 14 - 55$

$7x = -41$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = -\frac{41}{7}$

Можно выделить целую часть, чтобы представить ответ в виде смешанного числа:

$x = -5\frac{6}{7}$

Ответ: $x = -5\frac{6}{7}$.

2) Решим уравнение $\frac{3x}{5} = \frac{6+x}{3}$.

Это также пропорция. Применим правило перекрёстного умножения:

$3x \cdot 3 = 5 \cdot (6+x)$

Упростим выражение и раскроем скобки:

$9x = 30 + 5x$

Перенесём слагаемое $5x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$9x - 5x = 30$

Приведём подобные слагаемые:

$4x = 30$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{30}{4}$

Сократим дробь на 2 и, при желании, представим в виде десятичного числа:

$x = \frac{15}{2} = 7.5$

Ответ: $x = 7.5$.

3) Решим уравнение $\frac{x}{3} + \frac{x}{5} = 8$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3 и 5. НОК(3, 5) = 15.

$15 \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{x}{5}\right) = 15 \cdot 8$

Применим распределительный закон умножения:

$\frac{15x}{3} + \frac{15x}{5} = 120$

Сократим дроби:

$5x + 3x = 120$

Сложим подобные слагаемые:

$8x = 120$

Найдём $x$, разделив обе части на 8:

$x = \frac{120}{8}$

$x = 15$

Ответ: $x = 15$.

4) Решим уравнение $\frac{y}{3} + \frac{y}{4} = 14$.

Аналогично предыдущему примеру, найдём НОК знаменателей 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \left(\frac{y}{3} + \frac{y}{4}\right) = 12 \cdot 14$

$\frac{12y}{3} + \frac{12y}{4} = 168$

Сократим дроби:

$4y + 3y = 168$

Сложим подобные слагаемые:

$7y = 168$

Найдём $y$, разделив обе части на 7:

$y = \frac{168}{7}$

$y = 24$

Ответ: $y = 24$.

259. 1) $0.71x + 1.98 = 0.37x - 1.76;$

2) $0.18y - 7.4 = 0.05y - 5.71;$

3) $5(5x - 1) - 2.7x + 0.2x = 6.5 - 0.5x;$

4) $0.36x - 0.6 = 0.3(0.4x - 1.2).$

1) $0,71x + 1,98 = 0,37x - 1,76$

Чтобы решить уравнение, сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные.

$0,71x - 0,37x = -1,76 - 1,98$

Теперь выполним вычисления в обеих частях уравнения.

$0,34x = -3,74$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0,34$.

$x = \frac{-3,74}{0,34}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей.

$x = \frac{-374}{34}$

$x = -11$

Ответ: $-11$.

2) $0,18y - 7,4 = 0,05y - 5,71$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$0,18y - 0,05y = -5,71 + 7,4$

Упростим обе части уравнения.

$0,13y = 1,69$

Теперь разделим обе части уравнения на $0,13$, чтобы найти $y$.

$y = \frac{1,69}{0,13}$

Умножим числитель и знаменатель на 100.

$y = \frac{169}{13}$

$y = 13$

Ответ: $13$.

3) $5(5x - 1) - 2,7x + 0,2x = 6,5 - 0,5x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения.

$25x - 5 - 2,7x + 0,2x = 6,5 - 0,5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(25 - 2,7 + 0,2)x - 5 = 6,5 - 0,5x$

$22,5x - 5 = 6,5 - 0,5x$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо.

$22,5x + 0,5x = 6,5 + 5$

Снова приведем подобные слагаемые.

$23x = 11,5$

Найдем $x$, разделив обе части на $23$.

$x = \frac{11,5}{23}$

$x = 0,5$

Ответ: $0,5$.

4) $0,36x - 0,6 = 0,3(0,4x - 1,2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения.

$0,36x - 0,6 = 0,3 \cdot 0,4x - 0,3 \cdot 1,2$

$0,36x - 0,6 = 0,12x - 0,36$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$0,36x - 0,12x = -0,36 + 0,6$

Упростим обе части уравнения.

$0,24x = 0,24$

Разделим обе части на $0,24$, чтобы найти $x$.

$x = \frac{0,24}{0,24}$

$x = 1$

Ответ: $1$.