Номер 258, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

258. 1) $\frac{11}{7} = \frac{2-x}{5}$;

2) $\frac{3x}{5} = \frac{6+x}{3}$;

3) $\frac{x}{3} + \frac{x}{5} = 8$;

4) $\frac{y}{3} + \frac{y}{4} = 14$.

1) Решим уравнение $\frac{11}{7} = \frac{2-x}{5}$.

Данное уравнение является пропорцией. Чтобы его решить, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$11 \cdot 5 = 7 \cdot (2-x)$

Выполним умножение в обеих частях уравнения:

$55 = 14 - 7x$

Теперь перенесём слагаемые так, чтобы члены с переменной $x$ оказались в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесём $-7x$ в левую часть, а $55$ в правую, изменив их знаки:

$7x = 14 - 55$

$7x = -41$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = -\frac{41}{7}$

Можно выделить целую часть, чтобы представить ответ в виде смешанного числа:

$x = -5\frac{6}{7}$

Ответ: $x = -5\frac{6}{7}$.

2) Решим уравнение $\frac{3x}{5} = \frac{6+x}{3}$.

Это также пропорция. Применим правило перекрёстного умножения:

$3x \cdot 3 = 5 \cdot (6+x)$

Упростим выражение и раскроем скобки:

$9x = 30 + 5x$

Перенесём слагаемое $5x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$9x - 5x = 30$

Приведём подобные слагаемые:

$4x = 30$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{30}{4}$

Сократим дробь на 2 и, при желании, представим в виде десятичного числа:

$x = \frac{15}{2} = 7.5$

Ответ: $x = 7.5$.

3) Решим уравнение $\frac{x}{3} + \frac{x}{5} = 8$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3 и 5. НОК(3, 5) = 15.

$15 \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{x}{5}\right) = 15 \cdot 8$

Применим распределительный закон умножения:

$\frac{15x}{3} + \frac{15x}{5} = 120$

Сократим дроби:

$5x + 3x = 120$

Сложим подобные слагаемые:

$8x = 120$

Найдём $x$, разделив обе части на 8:

$x = \frac{120}{8}$

$x = 15$

Ответ: $x = 15$.

4) Решим уравнение $\frac{y}{3} + \frac{y}{4} = 14$.

Аналогично предыдущему примеру, найдём НОК знаменателей 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \left(\frac{y}{3} + \frac{y}{4}\right) = 12 \cdot 14$

$\frac{12y}{3} + \frac{12y}{4} = 168$

Сократим дроби:

$4y + 3y = 168$

Сложим подобные слагаемые:

$7y = 168$

Найдём $y$, разделив обе части на 7:

$y = \frac{168}{7}$

$y = 24$

Ответ: $y = 24$.