Страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какое равенство называют уравнением?

1. Уравнением называют математическое равенство, которое содержит одну или несколько неизвестных величин, называемых переменными. Цель решения уравнения заключается в нахождении таких значений переменных, при которых равенство становится истинным (верным числовым равенством). Эти значения называются корнями или решениями уравнения.

Например, запись $2x + 5 = 11$ является уравнением с одной переменной $x$. Чтобы решить это уравнение, нужно найти такое число, которое при подстановке вместо $x$ сделает равенство верным. В данном случае корнем уравнения является число $3$, так как $2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.

В отличие от уравнения, равенство, не содержащее переменных, например $8 - 3 = 5$, является числовым равенством (или тождеством), а не уравнением.

Ответ: Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой необходимо найти.

2. Что называют корнем уравнения?

Корнем уравнения (или решением уравнения) называют такое значение переменной (или переменных), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Проще говоря, корень – это число, которое при подстановке на место буквы (переменной) делает левую часть уравнения равной его правой части. Найти все корни уравнения или доказать, что их нет, — значит решить уравнение.

Рассмотрим на простом примере. Дано уравнение: $2x - 4 = 6$.

Чтобы проверить, является ли какое-либо число корнем этого уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ и проверить, получится ли верное равенство.

• Проверим число $5$. Подставляем его в уравнение:
  $2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$.
  В результате получили $6 = 6$. Это верное равенство. Значит, число $5$ является корнем данного уравнения.

• Проверим число $1$. Подставляем его в уравнение:
  $2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$.
  В результате получили $-2 = 6$. Это неверное равенство. Значит, число $1$ не является корнем этого уравнения.

Таким образом, корень уравнения – это то самое искомое значение неизвестной, которое удовлетворяет условию уравнения.

Ответ: Корнем уравнения называют значение переменной, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.

3. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все значения неизвестной переменной (или переменных), при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Эти значения называются корнями или решениями уравнения. Таким образом, процесс решения заключается в нахождении всех корней уравнения или в доказательстве того, что их не существует.

Рассмотрим несколько возможных ситуаций на примерах:

1. Уравнение имеет один корень.
В уравнении $3x - 15 = 0$ необходимо найти такое значение $x$, которое сделает равенство истинным.$3x = 15$
$x = \frac{15}{3}$
$x = 5$
Проверка: $3 \cdot 5 - 15 = 15 - 15 = 0$. Равенство $0=0$ верно. Число 5 является единственным корнем этого уравнения.

2. Уравнение имеет несколько корней.
В уравнении $x^2 - 49 = 0$ есть два значения $x$, которые удовлетворяют равенству.$x^2 = 49$
Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверка: $7^2 - 49 = 49 - 49 = 0$ и $(-7)^2 - 49 = 49 - 49 = 0$. Оба равенства верны. Решить это уравнение — значит указать оба этих корня.

3. Уравнение не имеет корней.
Рассмотрим уравнение $x = x + 3$. Если мы попытаемся его решить, вычитая $x$ из обеих частей, мы получим неверное числовое равенство $0 = 3$. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое могло бы удовлетворить исходному уравнению. В этом случае говорят, что уравнение не имеет корней, а множество его решений является пустым ($\emptyset$).

Таким образом, итогом решения любого уравнения является нахождение множества его корней. Это множество может содержать одно число, несколько чисел, бесконечное количество чисел или быть пустым.

Ответ: Решить уравнение — значит найти все его корни (все значения переменной, которые обращают уравнение в верное числовое равенство) или доказать, что таких корней нет.

4. Сколько корней может иметь уравнение?

3.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Корнем уравнения с одной переменной называется значение этой переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Например, рассмотрим уравнение $x + 5 = 8$. Число $3$ является корнем этого уравнения, так как при подстановке $x=3$ мы получаем верное равенство $3 + 5 = 8$. Любое другое число, например $x=4$, не является корнем, так как равенство $4 + 5 = 8$ неверно.

Таким образом, процесс решения уравнения включает в себя выполнение преобразований (перенос слагаемых, умножение или деление обеих частей на одно и то же число и т.д.) с целью найти все значения переменной, которые удовлетворяют исходному равенству. Множество всех найденных корней и является решением уравнения.

Ответ: решить уравнение — это найти все его решения (корни) или установить, что их нет.

4.
Уравнение может иметь разное количество корней в зависимости от его вида. Рассмотрим основные случаи:

• Нет корней. Некоторые уравнения не имеют решений. Например, уравнение $x = x + 1$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получим $0 = 1$, что является ложным утверждением. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы верным. Другой пример — уравнение $x^2 = -9$ не имеет корней в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

• Один корень. Это типично для линейных уравнений. Например, уравнение $2x - 10 = 0$ имеет только один корень $x=5$.

• Конечное число корней (два, три и т.д.). Квадратные уравнения, как правило, имеют два корня. Например, уравнение $x^2 - 4 = 0$ имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Уравнение $x^3 - x = 0$ можно переписать как $x(x-1)(x+1)=0$, и оно имеет три корня: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$. В общем случае, алгебраическое уравнение степени $n$ имеет не более $n$ действительных корней.

• Бесконечное множество корней. Такой случай возникает, когда уравнение является тождеством, то есть верным равенством для любого допустимого значения переменной. Например, $3(x+2) = 3x + 6$. Раскрыв скобки, получим $3x+6 = 3x+6$, что верно при любом $x$. Также бесконечное число корней имеют многие тригонометрические уравнения. Например, уравнение $\sin(x) = 1$ имеет корни $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: уравнение может не иметь корней, иметь один корень, конечное число корней или бесконечное множество корней.

5. Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.

Какое уравнение называется линейным?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная (или неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (называемые коэффициентами).

Ключевой характеристикой линейного уравнения является то, что переменная $x$ входит в него только в первой степени. Это значит, что в уравнении отсутствуют переменные в квадрате ($x^2$), под корнем ($\sqrt{x}$), в знаменателе дроби ($\frac{1}{x}$) или внутри тригонометрических функций ($\sin(x)$ и т.п.).

Любое уравнение, которое с помощью алгебраических преобразований (таких как перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число) может быть приведено к стандартному виду $ax = b$, также считается линейным.

В зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$ возможны три случая решения:

• Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень: $x = \frac{b}{a}$.
• Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.
• Если $a = 0$ и $b \ne 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Такое равенство невозможно ни при каком $x$, следовательно, уравнение не имеет корней.

Название "линейное" связано с тем, что график функции $y = ax+b$ является прямой линией. Решение уравнения $ax = -b$ соответствует нахождению точки пересечения этой прямой с осью абсцисс (осью X).

Также существуют линейные уравнения с несколькими переменными, например, $ax + by = c$ (с двумя переменными $x$ и $y$), графиком которого является прямая линия на координатной плоскости.

Ответ: Линейное уравнение — это уравнение, которое можно привести к виду $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа. Основное свойство — переменная в уравнении находится только в первой степени.

Привести примеры линейных уравнений.

Вот несколько примеров линейных уравнений и 과정 их решения.

1. Простое линейное уравнение:
$7x = 21$
Это уравнение уже представлено в стандартном виде $ax=b$. Для нахождения $x$ разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 7.
$x = \frac{21}{7}$
$x = 3$

2. Уравнение, требующее преобразований:
$4x - 8 = 12$
Сначала изолируем слагаемое с переменной. Перенесем -8 в правую часть уравнения, поменяв знак на "+":
$4x = 12 + 8$
$4x = 20$
Теперь разделим обе части на 4:
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$

3. Уравнение с переменной в обеих частях:
$9y + 2 = 5y - 10$
Соберем все слагаемые с переменной $y$ в левой части, а числовые слагаемые (свободные члены) — в правой:
$9y - 5y = -10 - 2$
$4y = -12$
Разделим обе части на 4:
$y = \frac{-12}{4}$
$y = -3$

4. Уравнение со скобками:
$3(z - 5) = z + 1$
Раскроем скобки в левой части:
$3z - 15 = z + 1$
Теперь приведем его к стандартному виду, как в примере 3:
$3z - z = 1 + 15$
$2z = 16$
$z = 8$

Для сравнения, уравнения $x^2 = 9$, $\frac{5}{x} = 1$ и $\sqrt{y} = 4$ не являются линейными, так как переменная в них стоит не в первой степени.

Ответ: Примеры линейных уравнений: $5x = 15$; $2y - 6 = 0$; $7z + 4 = 3z - 8$.

6. Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения?

Чтобы доказать, является ли данное число корнем уравнения, необходимо подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате этой подстановки и последующих вычислений получится верное числовое равенство (когда левая часть уравнения равна правой), то число является корнем. Если же получится неверное равенство — число корнем не является.

Алгоритм проверки следующий:
1. Взять исходное уравнение и число для проверки.
2. Подставить данное число в уравнение вместо переменной (например, $x$).
3. Вычислить значение левой и правой частей уравнения.
4. Сравнить полученные результаты.

Если после подстановки числа и выполнения всех вычислений левая часть уравнения стала равна правой, это означает, что мы получили верное числовое равенство. Это и есть доказательство того, что данное число — корень уравнения.

Пример. Докажем, что число $5$ является корнем уравнения $3x - 10 = x$.

Подставим $x = 5$ в обе части уравнения:
$3 \cdot 5 - 10 = 5$

Вычислим значение левой части:
$15 - 10 = 5$
$5 = 5$

В результате мы получили верное числовое равенство ($5 = 5$).

Ответ: Число $5$ является корнем уравнения $3x - 10 = x$, так как при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

Если после подстановки числа и вычислений левая часть уравнения оказалась не равна правой, это означает, что мы получили неверное числовое равенство. Это доказывает, что данное число не является корнем уравнения.

Пример. Докажем, что число $1$ не является корнем уравнения $x^2 + 4 = 4x$.

Подставим $x = 1$ в обе части уравнения:
$1^2 + 4 = 4 \cdot 1$

Вычислим значения левой и правой частей:
$1 + 4 = 4$
$5 = 4$

В результате мы получили неверное числовое равенство, так как $5 \ne 4$.

Ответ: Число $1$ не является корнем уравнения $x^2 + 4 = 4x$, так как при его подстановке получается неверное равенство.

1. Вместо знака * записать такое число, чтобы полученное равенство было верным:

1) $17 + * = 25;$

2) $38 - * = 39;$

3) $48 / * = -3;$

4) $* \cdot (-13) = 39;$

5) $0,5 / 4 = *;$

6) $* / \frac{1}{3} = -9.$

Чтобы решить данную задачу, необходимо найти такое число (обозначим его за $x$), при подстановке которого вместо знака * в каждом равенстве получится верное тождество. Для этого будем решать каждое уравнение относительно $x$.

1) $17 + * = 25$

В данном уравнении * является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$* = 25 - 17$

$* = 8$

Проверка: $17 + 8 = 25$. Равенство верно.

Ответ: 8

2) $38 - * = 39$

Здесь * — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$* = 38 - 39$

$* = -1$

Проверка: $38 - (-1) = 38 + 1 = 39$. Равенство верно.

Ответ: -1

3) $48 : * = -3$

В этом равенстве * является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$* = 48 : (-3)$

$* = -16$

Проверка: $48 : (-16) = -3$. Равенство верно.

Ответ: -16

4) $* \cdot (-13) = 39$

Здесь * — неизвестный множитель. Чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$* = 39 : (-13)$

$* = -3$

Проверка: $(-3) \cdot (-13) = 39$. Равенство верно.

Ответ: -3

5) $0,5 : 4 = *$

Чтобы найти значение *, достаточно выполнить действие в левой части равенства.

$* = 0,5 : 4$

$* = 0,125$

Ответ: 0,125

6) $* : \frac{1}{3} = -9$

В этом уравнении * является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

$* = -9 \cdot \frac{1}{3}$

$* = -\frac{9}{3}$

$* = -3$

Проверка: $-3 : \frac{1}{3} = -3 \cdot 3 = -9$. Равенство верно.

Ответ: -3

2. Упростить выражение $5x - 3(x + 7) + 10$ и найти его числовое значение при $x = 11$.

Упростить выражение $5x - 3(x + 7) + 10$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Раскрыть скобки. Для этого умножим множитель $-3$ на каждое слагаемое внутри скобок $(x+7)$ в соответствии с распределительным законом умножения:
$5x - 3 \cdot x - 3 \cdot 7 + 10$

Выполним умножение:
$5x - 3x - 21 + 10$

2. Привести подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $x$ и числовые члены (константы) и выполним действия с ними:
$(5x - 3x) + (-21 + 10)$

Вычислим результат в каждой группе:
$2x - 11$
Ответ: $2x - 11$.

Найти его числовое значение при $x=11$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $x=11$:
$2x - 11 = 2 \cdot (11) - 11$

Выполним вычисления, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем вычитание):
$22 - 11 = 11$
Ответ: 11.

3. Найти числовые значения выражений $2(x-15)+3x$ и $5x-3 \cdot (2-x)$ при $x=1$; $x=0$; $x=-8$. При каком из данных значений $x$ числовые значения выражений равны?

Для решения задачи сначала упростим оба выражения. Это сделает последующие вычисления проще.

Первое выражение: $2(x - 15) + 3x$

Раскроем скобки: $2 \cdot x - 2 \cdot 15 + 3x = 2x - 30 + 3x$

Приведем подобные слагаемые: $(2x + 3x) - 30 = 5x - 30$

Второе выражение: $5x - 3(2 - x)$

Раскроем скобки: $5x - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-x) = 5x - 6 + 3x$

Приведем подобные слагаемые: $(5x + 3x) - 6 = 8x - 6$

Теперь найдем значения упрощенных выражений ($5x - 30$ и $8x - 6$) для каждого из заданных значений $x$.

при x = 1

Подставляем $x = 1$ в первое выражение: $5(1) - 30 = 5 - 30 = -25$

Подставляем $x = 1$ во второе выражение: $8(1) - 6 = 8 - 6 = 2$

Ответ: при $x=1$ значения выражений равны -25 и 2.

при x = 0

Подставляем $x = 0$ в первое выражение: $5(0) - 30 = 0 - 30 = -30$

Подставляем $x = 0$ во второе выражение: $8(0) - 6 = 0 - 6 = -6$

Ответ: при $x=0$ значения выражений равны -30 и -6.

при x = -8

Подставляем $x = -8$ в первое выражение: $5(-8) - 30 = -40 - 30 = -70$

Подставляем $x = -8$ во второе выражение: $8(-8) - 6 = -64 - 6 = -70$

Ответ: при $x=-8$ значения выражений равны -70 и -70.

При каком из данных значений x числовые значения выражений равны?

Сравнив вычисленные значения для $x=1$, $x=0$ и $x=-8$, мы видим, что значения обоих выражений совпадают только в одном случае: когда $x = -8$, оба выражения принимают значение -70.

Ответ: числовые значения выражений равны при $x = -8$.

4. Существует ли значение $y$, при котором числовые значения выражений $9y-7$ и $9y+5$ равны? Ответ обосновать.

Чтобы определить, существует ли значение y, при котором числовые значения выражений $9y - 7$ и $9y + 5$ равны, необходимо приравнять эти выражения и решить получившееся уравнение.

Составим уравнение:

$9y - 7 = 9y + 5$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную y, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые (свободные члены) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$9y - 9y = 5 + 7$

Упростим обе части уравнения, выполнив вычисления:

$0 \cdot y = 12$

$0 = 12$

В результате мы пришли к неверному числовому равенству, которое не зависит от значения переменной y. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Следовательно, не существует такого значения y, при котором данные выражения были бы равны.

Ответ: нет, такого значения y не существует. Обоснование: если предположить, что выражения равны, то мы получаем уравнение $9y - 7 = 9y + 5$. Решение этого уравнения приводит к противоречию — неверному числовому равенству $0 = 12$. Поскольку уравнение не имеет корней, то не существует и значения y, которое бы делало исходные выражения равными.

5. Существует ли значение $x$, при котором числовые значения выражений $14x+21$ и $7(2x+3)$ различны? Ответ обосновать.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить два выражения: $14x + 21$ и $7(2x + 3)$. Для этого мы можем преобразовать одно из выражений и посмотреть, совпадет ли оно с другим.

Преобразуем второе выражение $7(2x + 3)$, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения (умножим каждый член в скобках на 7):

$7(2x + 3) = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 3 = 14x + 21$

После преобразования второе выражение стало полностью идентичным первому выражению. Равенство $14x + 21 = 7(2x + 3)$ является тождеством, то есть оно верно для абсолютно любого значения переменной $x$.

Поскольку два выражения тождественно равны, не существует такого значения $x$, при котором их числовые значения могли бы быть различными. При любом значении $x$ результат вычисления обоих выражений будет одинаковым.

Ответ: Нет, такого значения $x$ не существует. Обоснование: выражения $14x + 21$ и $7(2x + 3)$ являются тождественно равными, так как при раскрытии скобок во втором выражении получается первое: $7(2x + 3) = 14x + 21$. Следовательно, их значения всегда равны, независимо от значения $x$.

241. Записать в виде равенства:

1) число 34 на 18 больше числа $x$;

$34 = x + 18$

2) число 56 в $x$ раз больше числа 14;

$56 = 14x$

3) полусумма чисел $x$ и 5 равна их произведению.

$\frac{x+5}{2} = 5x$

1) Утверждение "число 34 на 18 больше числа x" означает, что если к числу $x$ прибавить 18, то получится число 34. Также это можно интерпретировать так, что разность между числом 34 и числом $x$ равна 18. Оба этих варианта приводят к эквивалентным равенствам. Запишем первый вариант:

$34 = x + 18$

Ответ: $34 = x + 18$

2) Фраза "число 56 в x раз больше числа 14" означает, что если число 14 умножить на $x$, мы получим 56. То есть, 56 является произведением чисел 14 и $x$. Запишем это в виде равенства:

$56 = 14 \cdot x$

Ответ: $56 = 14x$

3) Данное утверждение состоит из двух частей, которые нужно приравнять. Первая часть — "полусумма чисел x и 5". Сумма этих чисел равна $x + 5$. Полусумма — это сумма, деленная на 2, то есть $\frac{x + 5}{2}$. Вторая часть — "их произведению". Произведение чисел $x$ и 5 равно $x \cdot 5$ или $5x$. Приравнивая эти две части, получаем равенство:

$\frac{x + 5}{2} = 5x$

Ответ: $\frac{x + 5}{2} = 5x$

242. Какое из чисел 3; -2 является корнем уравнения:

1) $3x = -6$;

2) $x + 3 = 6$;

3) $4x - 4 = x + 5$;

4) $5x + 10 = 2x + 4$?

Чтобы определить, какое из чисел (3 или -2) является корнем уравнения, подставим поочередно каждое из этих чисел вместо переменной $x$ в каждое уравнение. Если в результате подстановки левая часть уравнения окажется равной правой, то данное число является корнем уравнения.

1) $3x = -6$
Проверим число 3:
$3 \cdot 3 = 9$
$9 \neq -6$. Число 3 не является корнем уравнения.
Проверим число -2:
$3 \cdot (-2) = -6$
$-6 = -6$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем уравнения.
Ответ: -2.

2) $x + 3 = 6$
Проверим число 3:
$3 + 3 = 6$
$6 = 6$. Равенство верное, значит, число 3 является корнем уравнения.
Проверим число -2:
$-2 + 3 = 1$
$1 \neq 6$. Число -2 не является корнем уравнения.
Ответ: 3.

3) $4x - 4 = x + 5$
Проверим число 3:
$4 \cdot 3 - 4 = 3 + 5$
$12 - 4 = 8$
$8 = 8$. Равенство верное, значит, число 3 является корнем уравнения.
Проверим число -2:
$4 \cdot (-2) - 4 = -2 + 5$
$-8 - 4 = 3$
$-12 \neq 3$. Число -2 не является корнем уравнения.
Ответ: 3.

4) $5x + 10 = 2x + 4$
Проверим число 3:
$5 \cdot 3 + 10 = 2 \cdot 3 + 4$
$15 + 10 = 6 + 4$
$25 \neq 10$. Число 3 не является корнем уравнения.
Проверим число -2:
$5 \cdot (-2) + 10 = 2 \cdot (-2) + 4$
$-10 + 10 = -4 + 4$
$0 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем уравнения.
Ответ: -2.

243. (Устно.) При каких значениях $x$ уравнение обращается в верное равенство:

1) $x + 5 = -3;$

2) $2x - 1 = 0;$

3) $\frac{x}{5} = \frac{6}{7};$

4) $\frac{3}{8} = \frac{x}{2}?$

1) Чтобы решить уравнение $x+5=-3$, нужно найти такое значение $x$, при котором равенство будет верным. Для этого изолируем $x$ в левой части, перенеся 5 в правую часть с противоположным знаком:

$x = -3 - 5$

$x = -8$

Ответ: -8

2) В уравнении $2x-1=0$ сначала перенесем -1 в правую часть, изменив знак на противоположный:

$2x = 1$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Уравнение $\frac{x}{5}=\frac{6}{7}$ является пропорцией. Чтобы найти неизвестный член $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), то есть умножим "крест-накрест":

$x \cdot 7 = 5 \cdot 6$

$7x = 30$

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$x = \frac{30}{7}$

Можно также выделить целую часть: $x = 4\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{30}{7}$

4) В пропорции $\frac{3}{8}=\frac{x}{2}$ также применим основное свойство пропорции:

$3 \cdot 2 = 8 \cdot x$

$6 = 8x$

Чтобы найти $x$, поменяем части уравнения местами и разделим на 8:

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

244. Есть ли среди чисел -1; $\frac{1}{2}$; 0 корень уравнения:

1) $4(x - 1) = 2x - 3;$

2) $3(x + 2) = 4 + 2x;$

3) $7(x + 1) - 6x = 10;$

4) $5(x + 1) - 4x = 4?$

Для того чтобы проверить, является ли одно из чисел ($-1; \frac{1}{2}; 0$) корнем уравнения, нужно подставить каждое из этих чисел вместо переменной $x$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $4(x-1) = 2x-3$

Проверим число $x = -1$:
Левая часть: $4(-1 - 1) = 4(-2) = -8$.
Правая часть: $2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
Так как $-8 \neq -5$, число $-1$ не является корнем уравнения.

Проверим число $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $4(\frac{1}{2} - 1) = 4(-\frac{1}{2}) = -2$.
Правая часть: $2(\frac{1}{2}) - 3 = 1 - 3 = -2$.
Так как $-2 = -2$, число $\frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Проверим число $x = 0$:
Левая часть: $4(0 - 1) = 4(-1) = -4$.
Правая часть: $2(0) - 3 = 0 - 3 = -3$.
Так как $-4 \neq -3$, число $0$ не является корнем уравнения.

Ответ: да, число $\frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

2) $3(x+2) = 4+2x$

Проверим число $x = -1$:
Левая часть: $3(-1 + 2) = 3(1) = 3$.
Правая часть: $4 + 2(-1) = 4 - 2 = 2$.
Так как $3 \neq 2$, число $-1$ не является корнем уравнения.

Проверим число $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $3(\frac{1}{2} + 2) = 3(\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) = 3(\frac{5}{2}) = \frac{15}{2}$.
Правая часть: $4 + 2(\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.
Так как $\frac{15}{2} \neq 5$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем уравнения.

Проверим число $x = 0$:
Левая часть: $3(0 + 2) = 3(2) = 6$.
Правая часть: $4 + 2(0) = 4$.
Так как $6 \neq 4$, число $0$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, ни одно из предложенных чисел не является корнем уравнения.

3) $7(x+1) - 6x = 10$

Проверим число $x = -1$:
Левая часть: $7(-1 + 1) - 6(-1) = 7(0) + 6 = 6$.
Правая часть: $10$.
Так как $6 \neq 10$, число $-1$ не является корнем уравнения.

Проверим число $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $7(\frac{1}{2} + 1) - 6(\frac{1}{2}) = 7(\frac{3}{2}) - 3 = \frac{21}{2} - \frac{6}{2} = \frac{15}{2}$.
Правая часть: $10$.
Так как $\frac{15}{2} \neq 10$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем уравнения.

Проверим число $x = 0$:
Левая часть: $7(0 + 1) - 6(0) = 7(1) - 0 = 7$.
Правая часть: $10$.
Так как $7 \neq 10$, число $0$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, ни одно из предложенных чисел не является корнем уравнения.

4) $5(x+1) - 4x = 4$

Проверим число $x = -1$:
Левая часть: $5(-1 + 1) - 4(-1) = 5(0) + 4 = 4$.
Правая часть: $4$.
Так как $4 = 4$, число $-1$ является корнем уравнения.

Поскольку мы уже нашли корень, для ответа на вопрос дальнейшая проверка не обязательна. Но для полноты решения проверим и остальные числа.

Проверим число $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $5(\frac{1}{2} + 1) - 4(\frac{1}{2}) = 5(\frac{3}{2}) - 2 = \frac{15}{2} - \frac{4}{2} = \frac{11}{2}$.
Правая часть: $4$.
Так как $\frac{11}{2} \neq 4$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем уравнения.

Проверим число $x = 0$:
Левая часть: $5(0 + 1) - 4(0) = 5(1) - 0 = 5$.
Правая часть: $4$.
Так как $5 \neq 4$, число $0$ не является корнем уравнения.

Ответ: да, число $-1$ является корнем уравнения.