Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Процентное содержание сахара в растворе, содержащем 0,3 кг сахара и 2,1 кг воды (рис. 4), находят так:

$p\% = \frac{0,3}{0,3+2,1} \cdot 100\% = 12,5\%$

Каково процентное содержание сахара в растворе, полученном добавлением 400 г сахара в 3,6 кг воды?

сахар

300 г

2,1 кг воды

2,4 кг

p% растВ.

сахара

Рис. 4

Для определения процентного содержания сахара в растворе необходимо найти отношение массы сахара к общей массе раствора и умножить его на 100%. Общая масса раствора вычисляется как сумма массы растворенного вещества (сахара) и массы растворителя (воды).

Формула для расчета процентного содержания (массовой доли) вещества:
$p\% = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \cdot 100\%$

Исходные данные задачи:
Масса сахара: $m_{сахара} = 400 \text{ г}$
Масса воды: $m_{воды} = 3,6 \text{ кг}$

1. Приведение масс к единой единице измерения
Для корректности расчетов необходимо, чтобы все величины были выражены в одних единицах. Переведем граммы в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$:
$m_{сахара} = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}$

2. Вычисление общей массы раствора
Теперь найдем общую массу полученного раствора, сложив массу воды и массу сахара:
$m_{раствора} = m_{сахара} + m_{воды} = 0,4 \text{ кг} + 3,6 \text{ кг} = 4,0 \text{ кг}$

3. Расчет процентного содержания сахара
Подставим значения массы сахара и общей массы раствора в формулу для нахождения процентного содержания:
$p\% = \frac{m_{сахара}}{m_{раствора}} \cdot 100\% = \frac{0,4 \text{ кг}}{4,0 \text{ кг}} \cdot 100\%$
$p\% = 0,1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

15. Имеются три мерных отрезка известных длин $a$, $b$ и $c$. При замере с их помощью длин сторон треугольника оказалось, что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом: $2a - b$, $3a + c$ и $4b - c$. Составить выражение для нахождения периметра треугольника и найти значение полученного выражения, если:

Рис. 4

1) $a=3$ см, $b=2$ см, $c=1$ см;

2) $a=4$ см, $b=3$ см, $c=2$ см.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. По условию задачи, стороны треугольника выражаются через мерные отрезки $a$, $b$ и $c$ следующими формулами: $2a - b$, $3a + c$ и $4b - c$.

Чтобы составить выражение для нахождения периметра $P$, сложим длины всех сторон:
$P = (2a - b) + (3a + c) + (4b - c)$

Теперь упростим это выражение, приведя подобные слагаемые:
$P = (2a + 3a) + (-b + 4b) + (c - c) = 5a + 3b$

Таким образом, формула для вычисления периметра этого треугольника: $P = 5a + 3b$. Теперь, используя эту формулу, найдем значения периметра для заданных условий.

1)

Нам даны значения: $a = 3$ см, $b = 2$ см, $c = 1$ см.
Прежде чем вычислять периметр, найдем длины сторон, чтобы убедиться, что такой треугольник может существовать (длины должны быть положительными и удовлетворять неравенству треугольника).
Сторона 1: $2a - b = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$ см.
Сторона 2: $3a + c = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10$ см.
Сторона 3: $4b - c = 4 \cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7$ см.
Длины сторон положительны. Проверим неравенство треугольника: $4+7 > 10$ (верно), $4+10 > 7$ (верно), $7+10 > 4$ (верно). Треугольник существует.

Теперь вычислим периметр по выведенной формуле:
$P = 5a + 3b = 5 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15 + 6 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

2)

Нам даны значения: $a = 4$ см, $b = 3$ см, $c = 2$ см.
Найдем длины сторон:
Сторона 1: $2a - b = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$ см.
Сторона 2: $3a + c = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$ см.
Сторона 3: $4b - c = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$ см.
Длины сторон положительны. Проверим неравенство треугольника: $5+10 > 14$ (верно), $5+14 > 10$ (верно), $10+14 > 5$ (верно). Треугольник существует.

Вычислим периметр по формуле:
$P = 5a + 3b = 5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 20 + 9 = 29$ см.

Ответ: 29 см.

16. У бабушки на дачном участке стояли две большие бочки и имелись вёдра двух видов: $n$-литровые и $m$-литровые. Для полива растений внук носил полными вёдрами воду из пруда и заполнял бочки. Первая бочка заполнилась, когда в неё влили пять $n$-литровых и семь $m$-литровых вёдер воды. Во вторую бочку поместилась вода из шести $n$-литровых и пяти $m$-литровых вёдер. Сколько всего литров воды подготовил внук для полива растений, если:

1) $n=8, m=5;$

2) $n=10, m=8?$

Для решения задачи сначала найдем объем воды в каждой бочке, а затем их общую сумму. Пусть $n$ — объем первого вида ведра в литрах, а $m$ — объем второго вида ведра в литрах.

Объем воды в первой бочке ($V_1$) складывается из пяти $n$-литровых и семи $m$-литровых ведер. Формула для объема первой бочки:

$V_1 = 5n + 7m$

Объем воды во второй бочке ($V_2$) складывается из шести $n$-литровых и пяти $m$-литровых ведер. Формула для объема второй бочки:

$V_2 = 6n + 5m$

Общий объем воды ($V_{общ}$), подготовленный внуком, равен сумме объемов в обеих бочках:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = (5n + 7m) + (6n + 5m)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными, чтобы упростить выражение:

$V_{общ} = (5n + 6n) + (7m + 5m) = 11n + 12m$

Теперь мы можем использовать эту общую формулу для решения каждого подпункта.

1) n = 8, m = 5;

Подставим значения $n=8$ и $m=5$ в полученную формулу:

$V_{общ} = 11 \cdot 8 + 12 \cdot 5 = 88 + 60 = 148$

Ответ: 148 литров.

2) n = 10, m = 8?

Подставим значения $n=10$ и $m=8$ в ту же формулу:

$V_{общ} = 11 \cdot 10 + 12 \cdot 8 = 110 + 96 = 206$

Ответ: 206 литров.

17. Для полива овощей на огороде из полной 200-литровой бочки вычерпали восемь $n$-литровых и двенадцать $m$-литровых вёдер воды. Сколько воды осталось в бочке, если:

1) $n=10$, $m=5$;

2) $n=8$, $m=6$?

1) n = 10, m = 5;

Для решения задачи сперва необходимо найти общий объем воды, который вычерпали из бочки. Согласно условию, было взято восемь ведер объемом $n$ литров каждое и двенадцать ведер объемом $m$ литров каждое.

Общий объем вычерпанной воды ($V_{выч}$) можно рассчитать по формуле: $V_{выч} = 8 \cdot n + 12 \cdot m$

Подставим в формулу значения из первого пункта: $n = 10$ и $m = 5$. $V_{выч} = 8 \cdot 10 + 12 \cdot 5 = 80 + 60 = 140$ литров.

Изначально в бочке было 200 литров воды. Чтобы найти оставшийся объем ($V_{ост}$), вычтем из начального объема вычерпанный: $V_{ост} = 200 - 140 = 60$ литров.

Ответ: 60 литров.

2) n = 8, m = 6?

Действуем аналогично первому пункту, но с новыми значениями для $n$ и $m$. Формула для расчета вычерпанного объема остается той же: $V_{выч} = 8 \cdot n + 12 \cdot m$

Подставим новые значения: $n = 8$ и $m = 6$. $V_{выч} = 8 \cdot 8 + 12 \cdot 6 = 64 + 72 = 136$ литров.

Теперь найдем, сколько воды осталось в бочке, вычитая полученный объем из начального: $V_{ост} = 200 - 136 = 64$ литра.

Ответ: 64 литра.

18. Фирма-посредник, на счету которой было 10 млн р., заку-пила в январе 150 ноутбуков по цене $a$ р., 70 пылесосов по цене $b$ р. и 50 холодильников по цене $c$ р. В феврале это-го же года фирма закупила по тем же ценам 80 ноутбуков, 50 пылесосов и 20 холодильников. Сколько денег осталось на счету этой фирмы к марту, если:

1) $a=22 000, b=4000, c=15 000;$

2) $a=17 000, b=3000, c=18 000?$

Для решения задачи сначала определим общее количество закупленных товаров за два месяца (январь и февраль). Начальная сумма на счету фирмы составляет 10 000 000 рублей.

Общее количество закупленных ноутбуков: $150 + 80 = 230$ штук.
Общее количество закупленных пылесосов: $70 + 50 = 120$ штук.
Общее количество закупленных холодильников: $50 + 20 = 70$ штук.

Общая стоимость всех закупок $S_{общ}$ вычисляется по формуле: $S_{общ} = 230 \cdot a + 120 \cdot b + 70 \cdot c$.

Остаток на счету к марту будет равен: $10000000 - S_{общ}$.

1) Рассчитаем остаток для случая, когда $a = 22000$ р., $b = 4000$ р., $c = 15000$ р.
Сначала найдем общую стоимость закупок:
$S_{общ} = 230 \cdot 22000 + 120 \cdot 4000 + 70 \cdot 15000 = 5060000 + 480000 + 1050000 = 6590000$ рублей.
Теперь найдем остаток на счету:
$10000000 - 6590000 = 3410000$ рублей.
Ответ: 3 410 000 рублей.

2) Рассчитаем остаток для случая, когда $a = 17000$ р., $b = 3000$ р., $c = 18000$ р.
Сначала найдем общую стоимость закупок:
$S_{общ} = 230 \cdot 17000 + 120 \cdot 3000 + 70 \cdot 18000 = 3910000 + 360000 + 1260000 = 5530000$ рублей.
Теперь найдем остаток на счету:
$10000000 - 5530000 = 4470000$ рублей.
Ответ: 4 470 000 рублей.