Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $-10+3-2$;

2) $15-18-4$;

3) $-23-18-14+18$.

1) Для вычисления значения выражения $-10 + 3 - 2$ необходимо выполнить арифметические действия в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо.
Сначала выполним сложение:
$-10 + 3 = -7$
Затем из полученного результата вычтем $2$:
$-7 - 2 = -9$
Таким образом, $-10 + 3 - 2 = -9$.
Ответ: -9

2) Для вычисления значения выражения $15 - 18 - 4$ также выполним действия последовательно слева направо.
Сначала выполним первое вычитание:
$15 - 18 = -3$
Затем из полученного результата выполним второе вычитание:
$-3 - 4 = -7$
Таким образом, $15 - 18 - 4 = -7$.
Ответ: -7

3) В выражении $-23 - 18 - 14 + 18$ можно упростить вычисления. Заметим, что в выражении присутствуют два противоположных числа: $-18$ и $18$. Их сумма равна нулю.
$-18 + 18 = 0$
Воспользуемся переместительным свойством сложения, чтобы сгруппировать эти числа:
$-23 - 18 - 14 + 18 = -23 - 14 + (-18 + 18)$
Подставим значение их суммы:
$-23 - 14 + 0 = -23 - 14$
Теперь выполним оставшееся вычитание:
$-23 - 14 = -37$
Таким образом, $-23 - 18 - 14 + 18 = -37$.
Ответ: -37

2. Найти значение числового выражения:

1) $27 - (3 - (8 + (6 - 7))) \div 12;$

2) $16 + (-6 - (18 + (4 - 9) - 2) + 1).$

1) Для нахождения значения числового выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, начиная с самых внутренних, затем деление и в последнюю очередь вычитание.

Исходное выражение: $27 - (3 - (8 + (6 - 7))) \div 12$

1. Выполним действие в самых внутренних скобках: $6 - 7 = -1$

Теперь выражение выглядит так: $27 - (3 - (8 + (-1))) \div 12$

2. Раскроем следующие скобки: $8 + (-1) = 8 - 1 = 7$

Выражение упрощается до: $27 - (3 - 7) \div 12$

3. Вычислим значение в оставшихся скобках: $3 - 7 = -4$

Получаем выражение: $27 - (-4) \div 12$

4. По порядку действий выполняем деление: $(-4) \div 12 = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Теперь выражение имеет вид: $27 - (-\frac{1}{3})$

5. Выполняем вычитание: $27 - (-\frac{1}{3}) = 27 + \frac{1}{3} = 27\frac{1}{3}$

Ответ: $27\frac{1}{3}$

2) Решим второе выражение, соблюдая тот же порядок действий.

Исходное выражение: $16 + (-6 - (18 + (4 - 9) - 2) + 1)$

1. Начинаем с самых внутренних скобок: $4 - 9 = -5$

Подставляем полученное значение в выражение: $16 + (-6 - (18 + (-5) - 2) + 1)$

2. Вычисляем значение в следующих скобках: $18 + (-5) - 2 = 18 - 5 - 2 = 13 - 2 = 11$

Выражение принимает вид: $16 + (-6 - 11 + 1)$

3. Находим значение в последних скобках: $-6 - 11 + 1 = -17 + 1 = -16$

Получаем: $16 + (-16)$

4. Выполняем сложение: $16 + (-16) = 16 - 16 = 0$

Ответ: $0$

209. Вычислить, используя свойства арифметических действий:

1) $4,385 + (0,407 + 5,615)$;

2) $7\frac{7}{8} + (\frac{13}{18} - 3\frac{7}{8})$;

3) $0,213 - (5,8 + 3,413)$;

4) $10\frac{4}{17} - (3\frac{4}{9} - 1\frac{13}{17})$.

1) Чтобы вычислить $4,385 + (0,407 + 5,615)$, воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Это позволит нам сгруппировать числа, которые легко складываются вместе. В данном случае удобно сложить $4,385$ и $5,615$, так как их дробные части $(0,385$ и $0,615)$ в сумме дают $1$.
$4,385 + (0,407 + 5,615) = (4,385 + 5,615) + 0,407$.
Сначала выполним сложение в скобках:
$4,385 + 5,615 = 10$.
Теперь к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:
$10 + 0,407 = 10,407$.
Ответ: 10,407.

2) В выражении $7\frac{7}{8} + \left(\frac{13}{18} - 3\frac{7}{8}\right)$ мы можем раскрыть скобки. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются.
$7\frac{7}{8} + \left(\frac{13}{18} - 3\frac{7}{8}\right) = 7\frac{7}{8} + \frac{13}{18} - 3\frac{7}{8}$.
Используя свойства арифметических действий, сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисление:
$\left(7\frac{7}{8} - 3\frac{7}{8}\right) + \frac{13}{18}$.
Вычислим разность в скобках. Так как дробные части у смешанных чисел одинаковы, они взаимно уничтожаются:
$7\frac{7}{8} - 3\frac{7}{8} = (7-3) + \left(\frac{7}{8}-\frac{7}{8}\right) = 4 + 0 = 4$.
Теперь прибавим оставшуюся дробь:
$4 + \frac{13}{18} = 4\frac{13}{18}$.
Ответ: $4\frac{13}{18}$.

3) В выражении $0,213 - (5,8 + 3,413)$ нужно вычесть сумму из числа. Для этого используем правило вычитания суммы из числа: $a - (b+c) = a - b - c$.
$0,213 - (5,8 + 3,413) = 0,213 - 5,8 - 3,413$.
Перегруппируем слагаемые для удобства вычислений. Удобно сначала вычесть $3,413$ из $0,213$, так как у них одинаковое количество знаков после запятой.
$(0,213 - 3,413) - 5,8$.
Вычислим значение в скобках:
$0,213 - 3,413 = -3,2$.
Теперь вычтем оставшееся число:
$-3,2 - 5,8 = -(3,2 + 5,8) = -9$.
Ответ: -9.

4) В выражении $10\frac{4}{17} - \left(3\frac{4}{9} - 1\frac{13}{17}\right)$ нужно вычесть разность из числа. Используем правило вычитания разности из числа: $a - (b-c) = a - b + c$.
$10\frac{4}{17} - \left(3\frac{4}{9} - 1\frac{13}{17}\right) = 10\frac{4}{17} - 3\frac{4}{9} + 1\frac{13}{17}$.
Сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями $(17)$:
$\left(10\frac{4}{17} + 1\frac{13}{17}\right) - 3\frac{4}{9}$.
Вычислим сумму в скобках. Сложим целые и дробные части по отдельности:
$10\frac{4}{17} + 1\frac{13}{17} = (10+1) + \left(\frac{4}{17} + \frac{13}{17}\right) = 11 + \frac{4+13}{17} = 11 + \frac{17}{17} = 11 + 1 = 12$.
Теперь вычтем оставшееся число из полученного результата:
$12 - 3\frac{4}{9}$.
Для вычитания смешанного числа из целого, представим $12$ как $11\frac{9}{9}$:
$11\frac{9}{9} - 3\frac{4}{9} = (11-3) + \left(\frac{9}{9} - \frac{4}{9}\right) = 8 + \frac{5}{9} = 8\frac{5}{9}$.
Ответ: $8\frac{5}{9}$.

Раскрыть скобки (210—211).

210.

1) $a+(2b-3c);$

2) $a-(2b-3c);$

3) $a-(2b+3c);$

4) $-(a-2b+3c).$

1) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать эти скобки и стоящий перед ними знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его нужно записать со знаком «+».

$a + (2b - 3c) = a + 2b - 3c$

Ответ: $a + 2b - 3c$

2) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», нужно убрать эти скобки и стоящий перед ними знак «–», а все знаки у слагаемых внутри скобок изменить на противоположные.

$a - (2b - 3c) = a - 2b + 3c$

Ответ: $a - 2b + 3c$

3) В данном случае перед скобками также стоит знак «–». Раскрывая скобки, мы меняем знаки всех слагаемых внутри них на противоположные: знак «+» у $2b$ меняется на «–», и знак «+» у $3c$ меняется на «–».

$a - (2b + 3c) = a - 2b - 3c$

Ответ: $a - 2b - 3c$

4) Если перед скобками стоит знак «–», то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых в них меняются на противоположные. Знак у $a$ (положительный) меняется на «–», знак у $-2b$ (отрицательный) меняется на «+», знак у $+3c$ (положительный) меняется на «–».

$-(a - 2b + 3c) = -a + 2b - 3c$

Ответ: $-a + 2b - 3c$

211. 1) $a + (b - (c - d));$

2) $a - (b - (c - d));$

3) $a - ((b - c) - d);$

4) $a - (b + (c - (d - k)));$

1) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $a + (b - (c - d))$, необходимо последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних. Правило раскрытия скобок гласит: если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются; если стоит знак «−», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

Сначала раскроем внутренние скобки $(c - d)$. Перед ними стоит знак минус, поэтому выражение $b - (c - d)$ преобразуется в $b - c + d$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $a + (b - c + d)$.

Поскольку перед оставшимися скобками стоит знак плюс, мы можем просто убрать их, не меняя знаки слагаемых внутри:

$a + b - c + d$

Ответ: $a + b - c + d$

2) Раскроем скобки в выражении $a - (b - (c - d))$.

Как и в предыдущем примере, начинаем с внутренних скобок. Выражение $b - (c - d)$ становится $b - c + d$.

Подставим результат в исходное выражение:

$a - (b - c + d)$

Теперь раскроем оставшиеся скобки. Перед ними стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:

$a - b + c - d$

Ответ: $a - b + c - d$

3) Раскроем скобки в выражении $a - ((b - c) - d)$.

Начнем с раскрытия внутренних скобок $(b - c)$. Так как они стоят в начале выражения внутри внешних скобок, их можно просто убрать. Выражение во внешних скобках примет вид $b - c - d$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$a - (b - c - d)$

Раскроем оставшиеся скобки. Перед ними стоит знак минус, поэтому меняем знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$a - b + c + d$

Ответ: $a - b + c + d$

4) Раскроем скобки в выражении $a - (b + (c - (d - k)))$.

Это выражение имеет три уровня вложенности скобок. Начинаем с самых внутренних $(d - k)$.

Рассмотрим выражение $c - (d - k)$. Раскрывая скобки, меняем знаки: $c - d + k$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$a - (b + (c - d + k))$

Следующий шаг — раскрыть скобки $(c - d + k)$. Перед ними стоит знак плюс, поэтому знаки не меняются. Выражение во внешних скобках становится $b + c - d + k$.

Исходное выражение теперь выглядит так:

$a - (b + c - d + k)$

Наконец, раскроем последние скобки. Перед ними стоит знак минус, поэтому все знаки внутри меняются на противоположные:

$a - b - c + d - k$

Ответ: $a - b - c + d - k$

212. Раскрыть скобки и упростить:

1) $3a-(a+2b);$
2) $5x-(2y-3x);$
3) $3m-(5m-(2m-1));$
4) $4a+(2a-(3a+2)).$

1) Чтобы упростить выражение $3a - (a + 2b)$, необходимо раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$3a - (a + 2b) = 3a - a - 2b$
Далее приводим подобные слагаемые. Подобными в данном выражении являются $3a$ и $-a$.
$3a - a = 2a$
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:
$2a - 2b$

Ответ: $2a - 2b$

2) Для упрощения выражения $5x - (2y - 3x)$ раскроем скобки. Знак минус перед скобками означает, что знаки всех слагаемых внутри скобок нужно изменить на противоположные.
$5x - (2y - 3x) = 5x - 2y + 3x$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые, которыми являются $5x$ и $3x$.
$5x + 3x = 8x$
В результате получаем следующее выражение:
$8x - 2y$

Ответ: $8x - 2y$

3) Упростим выражение $3m - (5m - (2m - 1))$. Упрощение выражений с вложенными скобками начинают с внутренних скобок. Раскроем внутренние скобки $-(2m - 1)$.
$3m - (5m - 2m + 1)$
Теперь упростим выражение в оставшихся скобках, приведя подобные слагаемые $5m$ и $-2m$:
$5m - 2m = 3m$
Выражение примет вид:
$3m - (3m + 1)$
Раскроем оставшиеся скобки. Знак минус перед ними снова меняет знаки слагаемых внутри:
$3m - 3m - 1$
Приведем подобные слагаемые $3m$ и $-3m$:
$3m - 3m = 0$
В итоге остается:
$-1$

Ответ: $-1$

4) Упростим выражение $4a + (2a - (3a + 2))$. Начинаем с раскрытия самых внутренних скобок $-(3a + 2)$.
$4a + (2a - 3a - 2)$
Далее упростим выражение в оставшихся скобках, приведя подобные слагаемые $2a$ и $-3a$:
$2a - 3a = -a$
Теперь выражение выглядит так:
$4a + (-a - 2)$
Раскроем последние скобки. Так как перед ними стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри не изменяются:
$4a - a - 2$
Приведем подобные слагаемые $4a$ и $-a$:
$4a - a = 3a$
Окончательный вид выражения:
$3a - 2$

Ответ: $3a - 2$

213. Заключить в скобки все слагаемые, начиная с числа $m$ или $(-m)$, поставив перед скобками знак «+»:

1) $a+2b+m-c;$

2) $a-2b+m+c;$

3) $a-m-3c+4d;$

4) $a-m+3b^2-2a^3.$

Чтобы заключить в скобки группу слагаемых, перед которыми ставится знак «+», нужно записать эти слагаемые в скобках с их собственными знаками. Знак «+» перед скобками не меняет знаки слагаемых внутри них.

1) В выражении $a + 2b + m - c$ необходимо заключить в скобки слагаемые, начиная с $m$. Это слагаемые $+m$ и $-c$. Поставив перед скобками знак «+», мы сохраняем знаки этих слагаемых внутри скобок. Таким образом, получаем: $a + 2b + (m - c)$.
Ответ: $a + 2b + (m - c)$

2) В выражении $a - 2b + m + c$ заключаем в скобки слагаемые, начиная с $m$: $+m$ и $+c$. Перед скобками ставим знак «+», поэтому знаки внутри скобок не меняются: $a - 2b + (m + c)$.
Ответ: $a - 2b + (m + c)$

3) В выражении $a - m - 3c + 4d$ заключаем в скобки слагаемые, начиная с $-m$: $-m$, $-3c$ и $+4d$. Перед скобками ставим знак «+», знаки слагаемых в скобках остаются без изменений: $a + (-m - 3c + 4d)$.
Ответ: $a + (-m - 3c + 4d)$

4) В выражении $a - m + 3b^2 - 2a^3$ заключаем в скобки слагаемые, начиная с $-m$: $-m$, $+3b^2$ и $-2a^3$. Перед скобками ставим знак «+», знаки внутри скобок сохраняются: $a + (-m + 3b^2 - 2a^3)$.
Ответ: $a + (-m + 3b^2 - 2a^3)$

214. Заключить в скобки все слагаемые, начиная с числа $m$ или $(-m)$, поставив перед скобками знак «$-$»:

1) $2a + 3b + m - c;$

2) $2a + b + m + 3c;$

3) $c - m - 2a^2 + 3b^2;$

4) $a - m + 3b^2 - 2a^3.$

Чтобы заключить группу слагаемых в скобки, перед которыми стоит знак «-», необходимо поменять знак каждого слагаемого внутри этих скобок на противоположный. Это правило основано на свойстве распределительного закона: $a - (b + c) = a - b - c$ и $a - (b - c) = a - b + c$.

1) $2a + 3b + m - c$

В данном выражении нам нужно заключить в скобки слагаемые, начиная с $m$. Это группа слагаемых $+ m - c$. Мы должны поставить перед скобками знак «-». Для этого мы меняем знаки у каждого слагаемого в этой группе:

• слагаемое $+m$ превращается в $-m$;
• слагаемое $-c$ превращается в $+c$.

Таким образом, выражение $2a + 3b$ остается без изменений, а группа $+ m - c$ преобразуется в $-(-m + c)$. Для удобства записи слагаемые внутри скобок можно поменять местами: $-(-m + c) = -(c - m)$.

Итоговое выражение: $2a + 3b - (c - m)$.

Проверка: $2a + 3b - (c - m) = 2a + 3b - c + m = 2a + 3b + m - c$. Выражение верно.

Ответ: $2a + 3b - (c - m)$

2) $2a + b + m + 3c$

Заключаем в скобки слагаемые $+ m + 3c$, поставив перед скобками знак «-». Для этого меняем знаки у слагаемых $+m$ и $+3c$ на противоположные:

• слагаемое $+m$ превращается в $-m$;
• слагаемое $+3c$ превращается в $-3c$.

Получаем группу $-(-m - 3c)$.

Итоговое выражение: $2a + b - (-m - 3c)$.

Проверка: $2a + b - (-m - 3c) = 2a + b + m + 3c$. Выражение верно.

Ответ: $2a + b - (-m - 3c)$

3) $c - m - 2a^2 + 3b^2$

В этом выражении нужно заключить в скобки группу слагаемых, которая начинается с $-m$: $-m - 2a^2 + 3b^2$. Знак минус уже стоит перед $m$. Мы выносим этот минус за скобки, меняя знаки всех последующих слагаемых внутри скобок:

• слагаемое $-m$ превращается в $+m$;
• слагаемое $-2a^2$ превращается в $+2a^2$;
• слагаемое $+3b^2$ превращается в $-3b^2$.

Исходное выражение $c - m - 2a^2 + 3b^2$ можно представить как $c - (m + 2a^2 - 3b^2)$.

Проверка: $c - (m + 2a^2 - 3b^2) = c - m - 2a^2 + 3b^2$. Выражение верно.

Ответ: $c - (m + 2a^2 - 3b^2)$

4) $a - m + 3b^2 - 2a^3$

Аналогично предыдущему примеру, заключаем в скобки группу слагаемых, начиная с $-m$: $-m + 3b^2 - 2a^3$. Выносим знак минус за скобки:

• слагаемое $-m$ превращается в $+m$;
• слагаемое $+3b^2$ превращается в $-3b^2$;
• слагаемое $-2a^3$ превращается в $+2a^3$.

Исходное выражение $a - m + 3b^2 - 2a^3$ можно представить как $a - (m - 3b^2 + 2a^3)$.

Проверка: $a - (m - 3b^2 + 2a^3) = a - m + 3b^2 - 2a^3$. Выражение верно.

Ответ: $a - (m - 3b^2 + 2a^3)$

215. Упростить:

1) $ (5a - 2b) - (3b - 5a) $;

2) $ (6a - b) - (2a + 3b) $;

3) $ 7x + 3y - (-3x + 3y) $;

4) $ 8x - (3x - 2y) - 5y $.

1) Для упрощения выражения $(5a - 2b) - (3b - 5a)$ необходимо раскрыть скобки. Перед первой скобкой нет знака, поэтому мы ее просто убираем. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри второй скобки меняются на противоположные: $3b$ становится $-3b$, а $-5a$ становится $+5a$.
$(5a - 2b) - (3b - 5a) = 5a - 2b - 3b + 5a$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):
$(5a + 5a) + (-2b - 3b) = 10a - 5b$
Ответ: $10a - 5b$

2) Упростим выражение $(6a - b) - (2a + 3b)$. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$(6a - b) - (2a + 3b) = 6a - b - 2a - 3b$
Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6a - 2a) + (-b - 3b) = 4a - 4b$
Ответ: $4a - 4b$

3) Упростим выражение $7x + 3y - (-3x + 3y)$. Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки каждого слагаемого внутри скобок на противоположные.
$7x + 3y - (-3x + 3y) = 7x + 3y + 3x - 3y$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(7x + 3x) + (3y - 3y) = 10x + 0 = 10x$
Ответ: $10x$

4) Упростим выражение $8x - (3x - 2y) - 5y$. Сначала раскроем скобки. Перед скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых в ней меняются на противоположные.
$8x - (3x - 2y) - 5y = 8x - 3x + 2y - 5y$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(8x - 3x) + (2y - 5y) = 5x - 3y$
Ответ: $5x - 3y$

216. Найти значение выражения, предварительно упростив его:

1) $(7x + 8y) - (5x - 2y)$ при $x = - \frac{3}{4}, y = 0,025;$

2) $(5c - 6b) - (3c - 5b)$ при $c = -0,25, b = 2,5.$

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$(7x + 8y) - (5x - 2y) = 7x + 8y - 5x + 2y$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с одинаковыми переменными:

$(7x - 5x) + (8y + 2y) = 2x + 10y$

Подставим в упрощенное выражение значения $x = -\frac{3}{4}$ и $y = 0,025$.

Чтобы упростить вычисления, можно представить $x$ в виде десятичной дроби: $x = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Теперь выполним подстановку и расчет:

$2x + 10y = 2 \cdot (-0,75) + 10 \cdot 0,025 = -1,5 + 0,25 = -1,25$

Ответ: -1,25.

2) Аналогично первому пункту, сначала упростим выражение, раскрыв скобки и изменив знаки во второй скобке:

$(5c - 6b) - (3c - 5b) = 5c - 6b - 3c + 5b$

Приведем подобные слагаемые:

$(5c - 3c) + (-6b + 5b) = 2c - b$

Теперь подставим в полученное выражение значения $c = -0,25$ и $b = 2,5$:

$2c - b = 2 \cdot (-0,25) - 2,5 = -0,5 - 2,5 = -3$

Ответ: -3.

217. Доказать, что:

1) разность чисел $8m - n$ и $5m - 4n$ делится на 3, если $m$ и $n$ — натуральные числа;

2) сумма числа $5m - 3n$ и числа, противоположного числу $m - 7n$, делится на 4, если $m$ и $n$ — натуральные числа;

3) при любых значениях $a$ значение выражения $2(3a - 5) - (7 - (5 - 6a))$ отрицательно;

4) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом.

1) разность чисел 8m−n и 5m−4n делится на 3, если m и n — натуральные числа;
Чтобы доказать это утверждение, составим разность данных выражений и упростим ее. Разность чисел $8m−n$ и $5m−4n$ равна:
$(8m - n) - (5m - 4n)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$8m - n - 5m + 4n = (8m - 5m) + (-n + 4n) = 3m + 3n$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(m + n)$
Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, их сумма $(m+n)$ также является натуральным числом. Произведение числа 3 на любое натуральное число $(m+n)$ всегда делится на 3 без остатка. Следовательно, разность исходных чисел делится на 3.
Ответ: утверждение доказано.

2) сумма числа 5m−3n и числа, противоположного числу m−7n, делится на 4, если m и n — натуральные числа;
Число, противоположное числу $(m-7n)$, равно $-(m-7n)$.
Найдем сумму числа $(5m-3n)$ и числа $-(m-7n)$:
$(5m - 3n) + (-(m - 7n)) = 5m - 3n - m + 7n$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5m - m) + (-3n + 7n) = 4m + 4n$
Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(m + n)$
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, их сумма $(m+n)$ также является натуральным числом. Произведение числа 4 на любое натуральное число $(m+n)$ всегда делится на 4 без остатка. Следовательно, полученная сумма делится на 4.
Ответ: утверждение доказано.

3) при любых значениях a значение выражения 2(3a−5)−(7−(5−6a)) отрицательно;
Упростим данное выражение, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.
$2(3a - 5) - (7 - (5 - 6a)) = 2(3a - 5) - (7 - 5 + 6a) = 2(3a - 5) - (2 + 6a)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$6a - 10 - 2 - 6a$
Приведем подобные слагаемые:
$(6a - 6a) + (-10 - 2) = 0 - 12 = -12$
Значение выражения равно -12 независимо от значения переменной $a$. Так как -12 является отрицательным числом, то и значение выражения всегда отрицательно.
Ответ: утверждение доказано.

4) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом.
Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число.
Возьмем два произвольных нечётных числа. Пусть первое число равно $2k + 1$, а второе — $2p + 1$, где $k$ и $p$ — некоторые целые числа.
Найдем их сумму:
$(2k + 1) + (2p + 1) = 2k + 1 + 2p + 1 = 2k + 2p + 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(k + p + 1)$
Так как $k$ и $p$ — целые числа, то выражение в скобках $(k+p+1)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $q$, то есть $q = k+p+1$.
Тогда сумма двух нечётных чисел равна $2q$. По определению, число, которое можно представить в виде произведения 2 на целое число, является чётным.
Ответ: утверждение доказано.