Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

218. Выяснить, верно ли утверждение:

1) сумма любых двух чётных чисел делится на 4;

2) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число.

1) сумма любых двух чётных чисел делится на 4;

Данное утверждение является неверным. Чтобы доказать это, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Чётное число — это число, которое делится на 2. Например, числа 2, 4, 6, 8 и т.д.

Рассмотрим два чётных числа: 2 и 6. Их сумма равна $2 + 6 = 8$. Число 8 делится на 4 ($8 \div 4 = 2$). В этом случае утверждение выполняется.

Теперь рассмотрим другую пару чётных чисел: 2 и 4. Их сумма равна $2 + 4 = 6$. Число 6 не делится на 4 нацело ($6 \div 4 = 1.5$).

Поскольку мы нашли пару чётных чисел, сумма которых не делится на 4, исходное утверждение "сумма любых двух чётных чисел делится на 4" является ложным.

Математическое обоснование: Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Сумма двух чётных чисел $2k_1$ и $2k_2$ равна $2(k_1 + k_2)$. Эта сумма будет делиться на 4 только в том случае, если множитель $(k_1 + k_2)$ будет чётным. Но сумма двух целых чисел не всегда чётна (например, если $k_1=1$, а $k_2=2$, то их сумма равна 3, что нечётно). Это соответствует нашему примеру: $2 = 2 \cdot 1$ и $4 = 2 \cdot 2$. Сумма равна $2(1+2) = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число.

Данное утверждение является неверным.

Двузначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 до 99. Трёхзначные числа — от 100 до 999.

Утверждение заключается в том, что произведение любых двух чисел $x$ и $y$, где $10 \le x \le 99$ и $10 \le y \le 99$, всегда будет в пределах от 100 до 999.

Проверим это утверждение на примерах.

Если взять наименьшие двузначные числа, например, 10 и 10, их произведение равно $10 \cdot 10 = 100$. Это трёхзначное число, что не противоречит утверждению.

Однако, если взять два других двузначных числа, например, 32 и 32, их произведение будет: $32 \cdot 32 = 1024$ Число 1024 является четырёхзначным, а не трёхзначным.

Другой пример: произведение самых больших двузначных чисел: $99 \cdot 99 = 9801$ Это число также является четырёхзначным.

Поскольку существуют пары двузначных чисел, произведение которых не является трёхзначным числом, исходное утверждение ложно.

Ответ: нет, утверждение неверно.

219. В трёхзначном числе $a$ сотен, $b$ десятков, $c$ единиц и $a > c$.

1) Составить и упростить сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.

2) Составить разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.

1) Составить и упростить сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.

Пусть данное трёхзначное число состоит из $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $100a + 10b + c$. По условию, $a, b, c$ — это цифры, причём $a \neq 0$ и $a > c$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет состоять из $c$ сотен, $b$ десятков и $a$ единиц. Его алгебраическая форма: $100c + 10b + a$.

Составим сумму этих двух чисел:
Сумма $= (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)$

Теперь упростим полученное выражение, сгруппировав подобные слагаемые:
Сумма $= (100a + a) + (10b + 10b) + (c + 100c)$
Сумма $= 101a + 20b + 101c$

Вынесем общий множитель $101$ за скобки:
Сумма $= 101(a + c) + 20b$
Ответ: $101(a + c) + 20b$.

2) Составить разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.

Составим разность исходного числа $(100a + 10b + c)$ и числа, записанного в обратном порядке $(100c + 10b + a)$.
Разность $= (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Упростим это выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные слагаемые:
Разность $= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a$
Разность $= (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$
Разность $= 99a - 99c$

Вынесем общий множитель $99$ за скобки:
Разность $= 99(a - c)$

Теперь необходимо доказать, что полученная разность $99(a - c)$ делится на 9 и на 11.
Доказательство делимости на 9:
Поскольку число $99$ делится на 9 ($99 = 9 \cdot 11$), то и произведение $99(a - c)$ также делится на 9.
$99(a - c) = 9 \cdot 11(a - c)$. Так как выражение имеет множитель 9, оно кратно 9.

Доказательство делимости на 11:
Поскольку число $99$ делится на 11 ($99 = 11 \cdot 9$), то и произведение $99(a - c)$ также делится на 11.
$99(a - c) = 11 \cdot 9(a - c)$. Так как выражение имеет множитель 11, оно кратно 11.

Поскольку по условию $a$ и $c$ — это цифры и $a > c$, то разность $(a-c)$ является целым положительным числом. Следовательно, $99(a-c)$ всегда является целым числом, которое делится и на 9, и на 11.
Ответ: Разность равна $99(a - c)$. Эта разность делится на 9, так как $99(a-c) = 9 \cdot 11(a-c)$, и делится на 11, так как $99(a-c) = 11 \cdot 9(a-c)$.