Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

238. Сколько монет по 2 р. и 5 р. нужно взять, чтобы набрать 23 р.?

Для решения этой задачи необходимо найти все комбинации монет, удовлетворяющие условию. Пусть $x$ — это количество монет номиналом 2 рубля, а $y$ — количество монет номиналом 5 рублей. Суммарная стоимость всех монет должна равняться 23 рублям. Это можно выразить в виде следующего уравнения:

$2x + 5y = 23$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0, y \ge 0$), так как они представляют количество монет.

Решить это уравнение можно методом подбора, но для ускорения процесса можно использовать логические рассуждения. Обратим внимание на четность чисел в уравнении. Слагаемое $2x$ всегда будет четным числом, так как является произведением на 2. Сумма, равная 23, является нечетным числом. Чтобы сумма четного числа ($2x$) и некоторого числа ($5y$) была нечетной, необходимо, чтобы число $5y$ было нечетным.

Произведение $5y$ будет нечетным только в том случае, если оба множителя нечетные. Так как 5 — нечетное число, то и $y$ (количество пятирублевых монет) должно быть нечетным.

Теперь будем перебирать возможные нечетные значения для $y$ и находить соответствующее значение $x$. Максимальное количество пятирублевых монет не может превышать $23 / 5 = 4.6$, поэтому мы проверяем только нечетные $y$ в этом диапазоне: 1 и 3.

Случай 1: Пусть количество пятирублевых монет $y = 1$.
Подставим это значение в наше уравнение:
$2x + 5 \cdot 1 = 23$
$2x + 5 = 23$
$2x = 23 - 5$
$2x = 18$
$x = 9$
Мы получили целое положительное число, значит, это одно из решений: 9 двухрублевых монет и 1 пятирублевая монета.

Случай 2: Пусть количество пятирублевых монет $y = 3$.
Подставим это значение в уравнение:
$2x + 5 \cdot 3 = 23$
$2x + 15 = 23$
$2x = 23 - 15$
$2x = 8$
$x = 4$
Мы снова получили целое положительное число. Это второе решение: 4 двухрублевые монеты и 3 пятирублевые монеты.

Если мы возьмем следующее нечетное число $y=5$, то сумма только из пятирублевых монет ($5 \cdot 5 = 25$) уже превысит 23 рубля. Следовательно, других решений в неотрицательных целых числах не существует.

Ответ: Существует два способа набрать 23 рубля: взять 9 монет по 2 рубля и 1 монету по 5 рублей, либо взять 4 монеты по 2 рубля и 3 монеты по 5 рублей.

239. В магазин привезли $n$ метров ткани по 60 р. за метр и $m$ метров ткани по 50 р. за метр — всего на сумму 5100 р. Сколько метров ткани по 50 р. и по 60 р. привезли в магазин ($n$ и $m$ — натуральные числа), если $n > 45$, $m > 40$?

Пусть $n$ — количество метров ткани по 60 рублей за метр, а $m$ — количество метров ткани по 50 рублей за метр.

Согласно условию задачи, общая стоимость всей ткани составляет 5100 рублей. Мы можем составить уравнение, отражающее это условие:

$60 \cdot n + 50 \cdot m = 5100$

Для упрощения этого уравнения разделим обе его части на 10:

$6n + 5m = 510$

Также в условии даны дополнительные ограничения на переменные $n$ и $m$:

1. $n$ и $m$ — натуральные числа.

2. $n > 45$

3. $m > 40$

Выразим одну переменную через другую из упрощенного уравнения. Например, выразим $m$:

$5m = 510 - 6n$

$m = \frac{510 - 6n}{5}$

$m = 102 - \frac{6}{5}n$

Поскольку $m$ должно быть натуральным (целым) числом, выражение $102 - \frac{6}{5}n$ также должно быть целым. Число 102 является целым, следовательно, дробь $\frac{6}{5}n$ должна давать в результате целое число. Так как числа 6 и 5 взаимно простые, это возможно только в том случае, если $n$ делится на 5 без остатка.

Теперь воспользуемся неравенствами из условия. Подставим выражение для $m$ в неравенство $m > 40$:

$102 - \frac{6}{5}n > 40$

Вычтем 102 из обеих частей неравенства:

$-\frac{6}{5}n > 40 - 102$

$-\frac{6}{5}n > -62$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{6}{5}n < 62$

Умножим обе части на 5:

$6n < 310$

Разделим обе части на 6:

$n < \frac{310}{6}$

$n < 51\frac{4}{6}$ или $n < 51\frac{2}{3}$

Таким образом, мы получили три условия для $n$:

1. $n > 45$ (из условия)

2. $n$ делится на 5 (из требования целочисленности $m$)

3. $n < 51\frac{2}{3}$ (из условия $m > 40$)

Единственное натуральное число, которое удовлетворяет всем этим трем условиям, — это $n = 50$.

Теперь, зная значение $n$, найдем соответствующее значение $m$:

$m = 102 - \frac{6}{5} \cdot 50 = 102 - 6 \cdot 10 = 102 - 60 = 42$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $m$ условию $m > 40$. Да, $42 > 40$.

Итак, в магазин привезли 50 метров ткани по 60 рублей и 42 метра ткани по 50 рублей.

Ответ: В магазин привезли 50 метров ткани по 60 р. и 42 метра ткани по 50 р.

240. Сумма цифр двузначного числа меньше 10. Доказать, что результат умножения такого числа на 11 получится, если между цифрами этого числа вставить их сумму ($53 \cdot 11 = 583$).

Доказательство

Пусть дано двузначное число, которое можно представить в виде $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В алгебраической форме это число записывается как $10a + b$. При этом $a$ – это целое число от 1 до 9, а $b$ – целое число от 0 до 9.

По условию задачи, сумма цифр этого числа меньше 10. Запишем это в виде неравенства:

$a + b < 10$

Это означает, что сумма $a+b$ также является однозначным числом.

Теперь умножим наше двузначное число на 11:

$\overline{ab} \cdot 11 = (10a + b) \cdot 11$

Раскроем скобки, представив 11 как $10 + 1$:

$(10a + b) \cdot (10 + 1) = 10a \cdot 10 + 10a \cdot 1 + b \cdot 10 + b \cdot 1 = 100a + 10a + 10b + b$

Сгруппируем слагаемые:

$100a + (10a + 10b) + b = 100a + 10(a+b) + b$

Рассмотрим полученное выражение $100a + 10(a+b) + b$. Оно представляет собой запись числа в виде суммы разрядных слагаемых:

• $100a$ – означает, что в разряде сотен стоит цифра $a$.
• $10(a+b)$ – означает, что в разряде десятков стоит цифра $a+b$ (это одна цифра, так как мы установили, что $a+b < 10$).
• $b$ – означает, что в разряде единиц стоит цифра $b$.

Таким образом, результатом умножения является трехзначное число, у которого первая цифра – это $a$, вторая – $a+b$, а третья – $b$. Это в точности соответствует правилу "вставить сумму цифр между цифрами исходного числа".

Например, для числа 53: $a=5$, $b=3$. Сумма $a+b=8 < 10$.

$53 \cdot 11 = (10 \cdot 5 + 3) \cdot 11 = 100 \cdot 5 + 10(5+3) + 3 = 500 + 80 + 3 = 583$.

Утверждение доказано.

Ответ: Мы представили двузначное число $\overline{ab}$ как $10a+b$ и умножили его на 11, получив выражение $100a + 10(a+b) + b$. Поскольку по условию $a+b<10$, это выражение является разложением по разрядам трехзначного числа, цифры которого равны $a$, $(a+b)$ и $b$, что и требовалось доказать.

1. Сливочное мороженое на 90 % состоит из воды. Сколько воды содержится в 200 г такого мороженого?

По условию задачи, общая масса сливочного мороженого составляет 200 г. Известно, что вода составляет 90% от общей массы. Чтобы найти массу воды в граммах, необходимо вычислить 90% от 200 г.

Для этого можно перевести проценты в десятичную дробь. Один процент — это одна сотая часть ($1\% = 0.01$), следовательно, 90% — это девяносто сотых.
$90\% = \frac{90}{100} = 0.9$

Теперь, чтобы найти массу воды, умножим общую массу мороженого (200 г) на полученную десятичную дробь:
$200 \text{ г} \cdot 0.9 = 180 \text{ г}$

Таким образом, в 200 г сливочного мороженого содержится 180 г воды.
Ответ: 180 г.

2. Профессор испёк шарлотку (яблочный пирог), в которой было $60 \text{ %}$ яблок, а остальное — тесто. При этом $30 \text{ %}$ теста составляли яйца и сахар, остальное — мука. Вся масса пирога равна $1,2 \text{ кг}$. Какова масса муки в пироге?

Для того чтобы найти массу муки в пироге, необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Сначала определим массу теста. Общая масса пирога составляет 1,2 кг. Яблоки составляют 60% от общей массы, следовательно, на тесто приходится оставшаяся часть:
$100\% - 60\% = 40\%$
Теперь можно вычислить массу теста в килограммах:
$1,2 \text{ кг} \times \frac{40}{100} = 1,2 \text{ кг} \times 0,4 = 0,48 \text{ кг}$.

2. Далее определим массу муки в тесте. Известно, что 30% теста составляют яйца и сахар, а остальное — мука. Найдем долю муки в тесте:
$100\% - 30\% = 70\%$
Теперь вычислим массу муки, которая составляет 70% от массы теста (0,48 кг):
$0,48 \text{ кг} \times \frac{70}{100} = 0,48 \text{ кг} \times 0,7 = 0,336 \text{ кг}$.

Ответ: масса муки в пироге равна 0,336 кг.

3. У рабочего заработная плата $N$ р. С неё удержали $13\%$ подоходного налога. Какую сумму получил рабочий после этого?

Пусть $N$ р. — это полная заработная плата рабочего, что составляет 100%.

С этой суммы удерживают 13% подоходного налога. Чтобы найти, какую сумму получит рабочий, нужно из его полной заработной платы вычесть сумму налога.

Найдем, какую сумму составляет налог. Для этого найдем 13% от $N$. Переведем проценты в десятичную дробь:$13\% = \frac{13}{100} = 0.13$.

Сумма налога равна: $N \times 0.13 = 0.13N$ р.

Теперь вычтем сумму налога из полной заработной платы, чтобы найти сумму, которую получит рабочий:$N - 0.13N$

Вынесем общий множитель $N$ за скобки:$N \times (1 - 0.13) = N \times 0.87 = 0.87N$ р.

Также можно рассуждать иначе. Если полная зарплата это 100%, а налог составляет 13%, то на руки рабочий получает оставшуюся часть:$100\% - 13\% = 87\%$.

Найдем 87% от $N$:$N \times \frac{87}{100} = N \times 0.87 = 0.87N$ р.

Ответ: $0.87N$ р.

4. После вычета $13\%$ подоходного налога служащий получил $K$ р. Какая заработная плата была начислена служащему?

Пусть $X$ — это полная (начисленная) заработная плата служащего. Эту величину мы принимаем за 100%.

Подоходный налог составляет 13% от начисленной заработной платы. После вычета налога у служащего остается: $100\% - 13\% = 87\%$ от начисленной заработной платы.

Из условия задачи известно, что эта оставшаяся сумма равна $K$ рублей. Таким образом, $K$ рублей — это 87% от полной заработной платы $X$.

Чтобы найти полную сумму ($X$), зная ее часть ($K$) и процентное соотношение этой части (87%), можно составить пропорцию. Переведем проценты в десятичную дробь: $87\% = 0.87$.

Уравнение будет выглядеть следующим образом: $X \times 0.87 = K$

Чтобы найти $X$, разделим обе части уравнения на 0.87: $X = \frac{K}{0.87}$

Также можно выразить это через обыкновенную дробь: $X = \frac{K}{\frac{87}{100}} = K \cdot \frac{100}{87} = \frac{100K}{87}$

Ответ: Начисленная заработная плата составляет $\frac{100K}{87}$ рублей.

5. После вычета 13 % подоходного налога менеджер заплатил 20 % от оставшихся денег в счёт погашения кредита. Какую сумму заплатил менеджер, если ему была начислена зарплата $P$ р.?

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательные вычисления процентов от изменяющейся суммы.

1. Найдём сумму, оставшуюся после уплаты подоходного налога.

Начисленная зарплата составляет $P$ рублей. Подоходный налог составляет 13%.
Сумма налога: $P \times \frac{13}{100} = 0.13P$.
Сумма, оставшаяся после вычета налога: $P - 0.13P = (1 - 0.13) \times P = 0.87P$.

2. Найдём сумму, уплаченную в счёт погашения кредита.

Менеджер заплатил 20% от оставшейся после уплаты налога суммы, то есть от $0.87P$.
Сумма платежа по кредиту: $(0.87P) \times \frac{20}{100} = 0.87P \times 0.20 = 0.174P$.

Таким образом, менеджер заплатил $0.174P$ рублей в счёт погашения кредита.

Ответ: $0.174P$ р.

6. Вова третью часть суток спит, 1,5 ч тратит на приём пищи, $n$ ч — на учёбу, $m$ мин — на дорогу. Сколько времени ежедневно остаётся у него на другие дела (известно, что такое время у него остаётся)?

Для того чтобы найти, сколько времени у Вовы остается на другие дела, необходимо из общего количества часов в сутках вычесть время, которое он тратит на все перечисленные занятия. Для этого сначала приведем все временные промежутки к одной единице измерения — часам.

1. В сутках 24 часа.

2. Время, которое Вова тратит на сон, составляет треть суток. Вычислим это значение в часах:

$24 \text{ ч} \cdot \frac{1}{3} = 8 \text{ ч}$

3. Время на приём пищи уже дано в часах и составляет 1,5 ч.

4. Время на учёбу составляет $n$ ч.

5. Время на дорогу дано в минутах ($m$ мин). Чтобы перевести его в часы, нужно разделить количество минут на 60, так как в одном часе 60 минут:

$m \text{ мин} = \frac{m}{60} \text{ ч}$

Теперь найдем общее время, которое Вова тратит на все эти дела, сложив все полученные значения:

$T_{затраченное} = 8 + 1,5 + n + \frac{m}{60} = 9,5 + n + \frac{m}{60}$ (часов)

Наконец, чтобы найти время, которое остается на другие дела, вычтем затраченное время из общего количества часов в сутках:

$T_{остаток} = 24 - (9,5 + n + \frac{m}{60})$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$24 - 9,5 - n - \frac{m}{60} = 14,5 - n - \frac{m}{60}$ (часов)

Ответ: $(14,5 - n - \frac{m}{60})$ часов.

7. Потери в проводах транспортируемой электроэнергии достигают $m$%. Сколько электроэнергии доходит до потребителя, если электростанция вырабатывает $P$ мегаватт электроэнергии?

Пусть $P$ — это общее количество электроэнергии, вырабатываемое электростанцией. Это количество мы принимаем за 100%.

Потери электроэнергии при транспортировке составляют $m$ %. Чтобы найти абсолютное значение потерь ($P_{потери}$), нужно найти $m$ % от общего количества $P$. Для этого представим проценты в виде десятичной дроби: $m \% = \frac{m}{100}$.

Величина потерь в мегаваттах равна:

$P_{потери} = P \cdot \frac{m}{100}$

Чтобы определить, сколько электроэнергии доходит до потребителя ($P_{потребитель}$), необходимо из общего выработанного количества вычесть потери:

$P_{потребитель} = P - P_{потери}$

Подставим в формулу выражение для потерь:

$P_{потребитель} = P - P \cdot \frac{m}{100}$

Для упрощения формулы вынесем общий множитель $P$ за скобки:

$P_{потребитель} = P \left(1 - \frac{m}{100}\right)$

Также это можно записать как $P \cdot \frac{100-m}{100}$.

Ответ: до потребителя доходит $P \left(1 - \frac{m}{100}\right)$ мегаватт электроэнергии.

8. Земельная полоса шириной $a$ м и длиной $b$ км нарезана на $k$ одинаковых участков прямоугольной формы со стороной $a$ м. Найти площадь каждого участка.

Для того чтобы найти площадь одного участка, сначала необходимо вычислить общую площадь всей земельной полосы. Для этого приведем все единицы измерения к одной — метрам.

Ширина полосы дана в метрах: $a$ м.

Длина полосы дана в километрах: $b$ км. Переведем ее в метры, зная, что 1 км = 1000 м:

$L = b \text{ км} = b \times 1000 \text{ м} = 1000b \text{ м}$.

Теперь найдем общую площадь всей земельной полосы ($S_{общ}$) как произведение ее длины на ширину:

$S_{общ} = (1000b) \times a = 1000ab \text{ м}^2$.

По условию, эту полосу разделили на $k$ одинаковых участков. Следовательно, площадь каждого участка ($S_{уч}$) равна общей площади, деленной на количество участков:

$S_{уч} = \frac{S_{общ}}{k} = \frac{1000ab}{k} \text{ м}^2$.

Условие, что одна из сторон каждого участка равна $a$ м, является логичным следствием того, что полосу шириной $a$ м разрезают на части. Это подтверждает, что размеры каждого участка составляют $a$ м на $\frac{1000b}{k}$ м.

Ответ: $\frac{1000ab}{k} \text{ м}^2$.

9. Мощность электрического прибора $P$ находится по формуле $P=UI$, где $I$ — сила проходящего через прибор тока, $U$ — напряжение на приборе. При этом известно, что силу тока можно найти по формуле $I=\frac{U}{R}$, где $R$ — сопротивление прибора. Выразить мощность прибора через:

1) I и R;

2) U и R.

1) I и R;

Нам даны две формулы: формула мощности $P = UI$ и закон Ома для участка цепи $I = \frac{U}{R}$. Чтобы выразить мощность $P$ через силу тока $I$ и сопротивление $R$, нам нужно исключить из формулы мощности напряжение $U$. Для этого выразим $U$ из закона Ома:
$I = \frac{U}{R} \implies U = I \cdot R$

Теперь подставим полученное выражение для $U$ в формулу мощности:
$P = (I \cdot R) \cdot I$
Упрощая, получаем:
$P = I^2R$

Ответ: $P = I^2R$

2) U и R.

Чтобы выразить мощность $P$ через напряжение $U$ и сопротивление $R$, нам нужно исключить из формулы мощности $P = UI$ силу тока $I$. Мы можем использовать данную в условии формулу $I = \frac{U}{R}$ напрямую.

Подставим выражение для $I$ в формулу мощности:
$P = U \cdot \left(\frac{U}{R}\right)$
Упрощая, получаем:
$P = \frac{U^2}{R}$

Ответ: $P = \frac{U^2}{R}$