Номер 240, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 240, страница 74.

Условие.

240. Сумма цифр двузначного числа меньше 10. Доказать, что результат умножения такого числа на 11 получится, если между цифрами этого числа вставить их сумму ($53 \cdot 11 = 583$).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Доказательство

Пусть дано двузначное число, которое можно представить в виде $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В алгебраической форме это число записывается как $10a + b$. При этом $a$ – это целое число от 1 до 9, а $b$ – целое число от 0 до 9.

По условию задачи, сумма цифр этого числа меньше 10. Запишем это в виде неравенства:

$a + b < 10$

Это означает, что сумма $a+b$ также является однозначным числом.

Теперь умножим наше двузначное число на 11:

$\overline{ab} \cdot 11 = (10a + b) \cdot 11$

Раскроем скобки, представив 11 как $10 + 1$:

$(10a + b) \cdot (10 + 1) = 10a \cdot 10 + 10a \cdot 1 + b \cdot 10 + b \cdot 1 = 100a + 10a + 10b + b$

Сгруппируем слагаемые:

$100a + (10a + 10b) + b = 100a + 10(a+b) + b$

Рассмотрим полученное выражение $100a + 10(a+b) + b$. Оно представляет собой запись числа в виде суммы разрядных слагаемых:

• $100a$ – означает, что в разряде сотен стоит цифра $a$.
• $10(a+b)$ – означает, что в разряде десятков стоит цифра $a+b$ (это одна цифра, так как мы установили, что $a+b < 10$).
• $b$ – означает, что в разряде единиц стоит цифра $b$.

Таким образом, результатом умножения является трехзначное число, у которого первая цифра – это $a$, вторая – $a+b$, а третья – $b$. Это в точности соответствует правилу "вставить сумму цифр между цифрами исходного числа".

Например, для числа 53: $a=5$, $b=3$. Сумма $a+b=8 < 10$.

$53 \cdot 11 = (10 \cdot 5 + 3) \cdot 11 = 100 \cdot 5 + 10(5+3) + 3 = 500 + 80 + 3 = 583$.

Утверждение доказано.

Ответ: Мы представили двузначное число $\overline{ab}$ как $10a+b$ и умножили его на 11, получив выражение $100a + 10(a+b) + b$. Поскольку по условию $a+b<10$, это выражение является разложением по разрядам трехзначного числа, цифры которого равны $a$, $(a+b)$ и $b$, что и требовалось доказать.