Номер 235, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 235, страница 73.

Условие.

235. Верно ли утверждение:

1) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число, то их сумма также число чётное;

2) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число, то их сумма также число нечётное?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Да, это утверждение верно. Давайте докажем это.
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. По условию, их разность — чётное натуральное число. Для определённости, предположим, что $a \ge b$. Тогда их разность можно записать как $a - b = 2k$, где $k$ — натуральное число (или ноль, если $a=b$, но разность — натуральное число, значит $k \ge 1$).
Выразим число $a$ из этого равенства: $a = b + 2k$.
Теперь найдём сумму этих двух чисел, подставив выражение для $a$:
$a + b = (b + 2k) + b = 2b + 2k$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(b + k)$
Поскольку $b$ и $k$ — натуральные числа, их сумма $(b + k)$ также является натуральным числом. Любое число, которое можно представить в виде произведения двойки и натурального числа, является чётным. Следовательно, сумма $a + b$ всегда будет чётным числом.
Альтернативное рассуждение: Разность двух натуральных чисел является чётной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Сумма двух чисел одинаковой чётности всегда является чётным числом (чётное + чётное = чётное; нечётное + нечётное = чётное). Таким образом, утверждение верно.
Ответ: да, верно.

2) Да, это утверждение также верно. Докажем его.
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. По условию, их разность — нечётное натуральное число. Для определённости, предположим, что $a > b$. Тогда их разность можно записать как $a - b = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).
Выразим число $a$ из этого равенства: $a = b + 2k + 1$.
Теперь найдём сумму этих двух чисел, подставив выражение для $a$:
$a + b = (b + 2k + 1) + b = 2b + 2k + 1$
Вынесем общий множитель 2 за скобки у первых двух слагаемых:
$a + b = 2(b + k) + 1$
Поскольку $b$ — натуральное число, а $k$ — целое неотрицательное число, их сумма $(b + k)$ является натуральным числом. Любое число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — натуральное число (или ноль), является нечётным. Следовательно, сумма $a + b$ всегда будет нечётным числом.
Альтернативное рассуждение: Разность двух натуральных чисел является нечётной только в том случае, если числа имеют разную чётность (одно чётное, а другое нечётное). Сумма двух чисел разной чётности всегда является нечётным числом (чётное + нечётное = нечётное). Таким образом, утверждение верно.
Ответ: да, верно.