Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

229. Сторона квадрата равна $a$ единиц. Найти периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы, а длина больше — на 8 единиц.

По условию задачи сторона квадрата равна $a$ единиц. Исходя из этого, определим размеры прямоугольника.
Ширина прямоугольника ($w$) на 4 единицы меньше стороны квадрата: $w = a - 4$.
Длина прямоугольника ($l$) на 8 единиц больше стороны квадрата: $l = a + 8$.
(Для того чтобы задача имела геометрический смысл, стороны прямоугольника должны быть положительными, то есть $a - 4 > 0$, откуда следует, что $a > 4$).

Периметр
Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(w + l)$. Подставим в формулу выражения для ширины и длины и выполним преобразования:
$P = 2((a - 4) + (a + 8))$
$P = 2(a + a - 4 + 8)$
$P = 2(2a + 4)$
$P = 4a + 8$
Ответ: Периметр прямоугольника равен $4a + 8$ единиц.

Площадь
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = w \cdot l$. Подставим в формулу выражения для сторон и выполним преобразования:
$S = (a - 4)(a + 8)$
$S = a^2 + 8a - 4a - 32$
$S = a^2 + 4a - 32$
Ответ: Площадь прямоугольника равна $a^2 + 4a - 32$ квадратных единиц.

230. Вклад в банк составил 50 000 р. Через год банк начисляет вкладчику 15 % от суммы вклада. Сколько денег будет на счету через год?

Для того чтобы рассчитать, какая сумма окажется на счете через год, необходимо сначала вычислить сумму процентов, которую начислит банк, а затем прибавить ее к первоначальному вкладу.

Первоначальная сумма вклада: 50 000 р.
Процентная ставка: 15% годовых.

Способ 1: Поэтапный расчет

1. Сначала найдем сумму процентов, которую банк начислит за год. Для этого необходимо найти 15% от 50 000 рублей. Переведем проценты в десятичную дробь:

$15\% = \frac{15}{100} = 0.15$

Теперь умножим сумму вклада на эту дробь:

$50\ 000 \text{ р.} \cdot 0.15 = 7\ 500 \text{ р.}$

Таким образом, доход по вкладу за год составит 7 500 рублей.

2. Теперь найдем итоговую сумму на счете. Для этого сложим первоначальный вклад и начисленные проценты:

$50\ 000 \text{ р.} + 7\ 500 \text{ р.} = 57\ 500 \text{ р.}$

Способ 2: Расчет с помощью множителя

Первоначальная сумма вклада составляет 100%. Через год к ней прибавится 15% годовых. Таким образом, итоговая сумма составит $100\% + 15\% = 115\%$ от первоначального вклада.

Переведем 115% в десятичный множитель:

$115\% = \frac{115}{100} = 1.15$

Теперь умножим первоначальный вклад на этот множитель, чтобы сразу получить итоговую сумму:

$50\ 000 \text{ р.} \cdot 1.15 = 57\ 500 \text{ р.}$

Ответ: через год на счету будет 57 500 рублей.

231. Турист 3 км пути прошёл пешком и проехал на автобусе $t$ ч со скоростью 40 км/ч. Написать формулу пути $s$, проделанного туристом. Из этой формулы выразить $t$ через $s$.

Написать формулу пути s, проделанного туристом

Общий путь $s$, пройденный туристом, складывается из двух частей: расстояния, которое он прошёл пешком, и расстояния, которое он проехал на автобусе.

Расстояние, пройденное пешком, известно и составляет $s_{пешком} = 3$ км.

Расстояние, которое турист проехал на автобусе, вычисляется по формуле $расстояние = скорость \times время$. По условию, скорость автобуса $v = 40$ км/ч, а время в пути $t$ ч. Значит, расстояние на автобусе равно $s_{автобус} = 40 \cdot t$.

Чтобы найти общий путь $s$, нужно сложить эти два расстояния:

$s = s_{пешком} + s_{автобус}$

Подставляя известные значения, получаем формулу:

$s = 3 + 40t$

Ответ: $s = 3 + 40t$

Из этой формулы выразить t через s

Чтобы выразить переменную $t$ через $s$, нужно решить полученное уравнение $s = 3 + 40t$ относительно $t$.

1. Сначала изолируем слагаемое, содержащее $t$. Для этого вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$s - 3 = 40t$

2. Теперь, чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $t$, то есть на 40:

$\frac{s - 3}{40} = t$

Запишем в более привычном виде:

$t = \frac{s - 3}{40}$

Ответ: $t = \frac{s - 3}{40}$

232. При увеличении скорости движения автомобиля вдвое его тормозной путь увеличивается в 4 раза. При скорости 30 км/ч тормозной путь легкового автомобиля равен 7,2 м, а грузового — 9,5 м. Найти тормозной путь этих автомобилей при скорости 60 км/ч.

В условии задачи указано, что при увеличении скорости движения автомобиля вдвое его тормозной путь увеличивается в 4 раза. Это ключевое соотношение, которое показывает, что тормозной путь ($S$) прямо пропорционален квадрату скорости ($v$), то есть $S \sim v^2$.

Нам необходимо найти тормозной путь автомобилей при скорости 60 км/ч, зная их тормозной путь при скорости 30 км/ч. Сперва определим, во сколько раз изменяется скорость:
$\frac{60 \text{ км/ч}}{30 \text{ км/ч}} = 2$.

Скорость увеличилась ровно в 2 раза. Согласно зависимости, указанной в условии, тормозной путь каждого автомобиля должен увеличиться в 4 раза. Рассчитаем новые значения для каждого автомобиля.

Тормозной путь легкового автомобиля
При скорости 30 км/ч тормозной путь легкового автомобиля составляет 7,2 м. При увеличении скорости до 60 км/ч (в 2 раза), его тормозной путь увеличится в 4 раза:
$S_{легк} = 7,2 \text{ м} \times 4 = 28,8 \text{ м}$.
Ответ: 28,8 м.

Тормозной путь грузового автомобиля
При скорости 30 км/ч тормозной путь грузового автомобиля составляет 9,5 м. При увеличении скорости до 60 км/ч, его тормозной путь также увеличится в 4 раза:
$S_{груз} = 9,5 \text{ м} \times 4 = 38 \text{ м}$.
Ответ: 38 м.

233. Записать в виде алгебраического выражения:

1) сумму двух последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно $n$;

2) произведение двух последовательных натуральных чисел, большее из которых равно $m$;

3) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел, меньшее из которых равно $2k$;

4) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел, меньшее из которых равно $2p + 1$.

1) сумму двух последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно n;

По определению, последовательные натуральные числа отличаются друг от друга на 1. Если меньшее из двух чисел равно $n$, то следующее за ним (большее) число будет равно $n + 1$.
Чтобы найти их сумму, нужно сложить эти два выражения:
$n + (n + 1)$
Упростим выражение:
$n + n + 1 = 2n + 1$

Ответ: $2n + 1$

2) произведение двух последовательных натуральных чисел, большее из которых равно m;

Если большее из двух последовательных натуральных чисел равно $m$, то предыдущее (меньшее) число будет равно $m - 1$.
Чтобы найти их произведение, нужно перемножить эти два выражения:
$(m - 1) \cdot m$
Для удобства записи можно записать как:
$m(m - 1)$

Ответ: $m(m - 1)$

3) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел, меньшее из которых равно 2k;

Последовательные чётные числа отличаются друг от друга на 2. Если меньшее из трёх чисел равно $2k$, то следующие два чётных числа будут $2k + 2$ и $(2k + 2) + 2 = 2k + 4$.
Таким образом, мы имеем три числа: $2k$, $2k + 2$ и $2k + 4$.
Найдём их сумму:
$2k + (2k + 2) + (2k + 4)$
Сложим подобные слагаемые:
$(2k + 2k + 2k) + (2 + 4) = 6k + 6$

Ответ: $6k + 6$

4) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел, меньшее из которых равно 2p + 1.

Последовательные нечётные числа, как и чётные, отличаются друг от друга на 2. Если меньшее из трёх чисел равно $2p + 1$ (общая форма нечётного числа), то следующие два нечётных числа будут $(2p + 1) + 2 = 2p + 3$ и $(2p + 3) + 2 = 2p + 5$.
Таким образом, мы имеем три числа: $2p + 1$, $2p + 3$ и $2p + 5$.
Найдём их произведение, перемножив эти три выражения:
$(2p + 1)(2p + 3)(2p + 5)$

Ответ: $(2p + 1)(2p + 3)(2p + 5)$

234. Туристы проплыли на плоту 6 ч со скоростью $v$ км/ч. Затем они прошли по берегу 15 км. Написать формулу пути $s$, который преодолели туристы. Выразить из формулы $v$ через $s$.

Написать формулу пути s, который преодолели туристы.

Общий путь $s$, который преодолели туристы, складывается из двух частей: расстояния, которое они проплыли на плоту ($s_1$), и расстояния, которое они прошли по берегу ($s_2$).

Расстояние, пройденное по берегу, нам известно из условия задачи: $s_2 = 15$ км.

Расстояние, пройденное на плоту, можно вычислить по основной формуле пути: расстояние = скорость × время.

По условию, время движения на плоту $t = 6$ ч, а скорость движения $v$ км/ч. Следовательно, расстояние, пройденное на плоту, равно: $s_1 = v \cdot t = v \cdot 6 = 6v$ км.

Теперь сложим обе части пути, чтобы получить общую формулу для $s$: $s = s_1 + s_2$ $s = 6v + 15$

Ответ: $s = 6v + 15$.

Выразить из формулы v через s.

Мы получили формулу для общего пути: $s = 6v + 15$.

Чтобы выразить переменную $v$ через $s$, нам нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы изолировать $v$ в одной части уравнения.

1. Сначала вычтем 15 из обеих частей уравнения, чтобы переместить свободный член в левую часть: $s - 15 = 6v$

2. Теперь, чтобы найти $v$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $v$, то есть на 6: $\frac{s - 15}{6} = v$

Для удобства записи поменяем части уравнения местами: $v = \frac{s - 15}{6}$

Ответ: $v = \frac{s - 15}{6}$.

235. Верно ли утверждение:

1) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число, то их сумма также число чётное;

2) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число, то их сумма также число нечётное?

1) Да, это утверждение верно. Давайте докажем это.
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. По условию, их разность — чётное натуральное число. Для определённости, предположим, что $a \ge b$. Тогда их разность можно записать как $a - b = 2k$, где $k$ — натуральное число (или ноль, если $a=b$, но разность — натуральное число, значит $k \ge 1$).
Выразим число $a$ из этого равенства: $a = b + 2k$.
Теперь найдём сумму этих двух чисел, подставив выражение для $a$:
$a + b = (b + 2k) + b = 2b + 2k$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(b + k)$
Поскольку $b$ и $k$ — натуральные числа, их сумма $(b + k)$ также является натуральным числом. Любое число, которое можно представить в виде произведения двойки и натурального числа, является чётным. Следовательно, сумма $a + b$ всегда будет чётным числом.
Альтернативное рассуждение: Разность двух натуральных чисел является чётной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Сумма двух чисел одинаковой чётности всегда является чётным числом (чётное + чётное = чётное; нечётное + нечётное = чётное). Таким образом, утверждение верно.
Ответ: да, верно.

2) Да, это утверждение также верно. Докажем его.
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. По условию, их разность — нечётное натуральное число. Для определённости, предположим, что $a > b$. Тогда их разность можно записать как $a - b = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).
Выразим число $a$ из этого равенства: $a = b + 2k + 1$.
Теперь найдём сумму этих двух чисел, подставив выражение для $a$:
$a + b = (b + 2k + 1) + b = 2b + 2k + 1$
Вынесем общий множитель 2 за скобки у первых двух слагаемых:
$a + b = 2(b + k) + 1$
Поскольку $b$ — натуральное число, а $k$ — целое неотрицательное число, их сумма $(b + k)$ является натуральным числом. Любое число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — натуральное число (или ноль), является нечётным. Следовательно, сумма $a + b$ всегда будет нечётным числом.
Альтернативное рассуждение: Разность двух натуральных чисел является нечётной только в том случае, если числа имеют разную чётность (одно чётное, а другое нечётное). Сумма двух чисел разной чётности всегда является нечётным числом (чётное + нечётное = нечётное). Таким образом, утверждение верно.
Ответ: да, верно.

236. Доказать, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

Для доказательства того, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5, воспользуемся алгебраическим методом.

Пусть первое из этих пяти последовательных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа натуральные, $n$ может быть любым целым числом, начиная с 1 ($n \ge 1$).

Тогда последовательность из пяти чисел будет выглядеть следующим образом:
Первое число: $n$
Второе число: $n+1$
Третье число: $n+2$
Четвертое число: $n+3$
Пятое число: $n+4$

Найдем сумму $S$ этих пяти чисел:
$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем слагаемые, содержащие $n$, и числовые слагаемые:
$S = (n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4)$

Выполним сложение:
$S = 5n + 10$

В полученном выражении $5n + 10$ можно вынести за скобки общий множитель 5:
$S = 5(n+2)$

Из этого выражения видно, что сумма $S$ является произведением числа 5 и выражения $(n+2)$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+2$ также будет натуральным числом ($n+2 \ge 3$).

Согласно определению делимости, число делится на 5, если его можно представить в виде произведения 5 и некоторого целого числа. В нашем случае сумма $S$ равна $5 \cdot k$, где $k = n+2$ и $k$ является целым числом.

Следовательно, сумма пяти последовательных натуральных чисел всегда делится на 5 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

237. Велосипедист выехал из города в село, расстояние между которыми $s$ километров, со скоростью $v$ километров в час. Преодолев 3 км пути, он сделал остановку. Записать формулу для нахождения времени, необходимого на преодоление оставшейся части пути. Успеет ли велосипедист после остановки доехать до села за 2,5 ч, если $s=36$, $v=12$?

Записать формулу для нахождения времени, необходимого на преодоление оставшейся части пути.

Для начала определим оставшуюся часть пути. Общее расстояние между городом и селом равно $s$ километров. Велосипедист уже преодолел 3 км. Следовательно, оставшееся расстояние, которое ему нужно проехать, составляет $s - 3$ км.

Скорость велосипедиста постоянна и равна $v$ километров в час.

Время ($t$) можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - это расстояние, а $v$ - скорость. В нашем случае в качестве расстояния мы используем оставшуюся часть пути.

Таким образом, формула для нахождения времени, необходимого на преодоление оставшейся части пути, будет выглядеть так:

$t = \frac{s - 3}{v}$

Ответ: Формула для нахождения времени: $t = \frac{s - 3}{v}$.

Успеет ли велосипедист после остановки доехать до села за 2,5 ч, если s = 36, v = 12?

Воспользуемся выведенной формулой и подставим в нее заданные значения: $s = 36$ км и $v = 12$ км/ч.

Сначала найдем оставшееся расстояние:

$S_{ост} = s - 3 = 36 - 3 = 33$ км.

Теперь рассчитаем время, которое потребуется велосипедисту, чтобы проехать это расстояние со скоростью 12 км/ч:

$t = \frac{S_{ост}}{v} = \frac{33}{12}$ ч.

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$t = \frac{33 \div 3}{12 \div 3} = \frac{11}{4}$ ч.

Переведем дробь в десятичный вид:

$t = 2.75$ ч.

Теперь сравним полученное время с заданным условием (2,5 часа):

$2.75$ ч > $2.5$ ч.

Поскольку время, необходимое для преодоления оставшегося пути (2,75 часа), больше, чем время, за которое он должен успеть (2,5 часа), велосипедист не успеет доехать до села.

Ответ: Нет, не успеет.