Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

a) $(17,2 \cdot 4,01 + 4,01 \cdot 32,8) : 1\frac{2}{3};$

б) $\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 2\frac{2}{3} - 25 \cdot 0,03 \cdot 4.$

а) $(17,2 \cdot 4,01 + 4,01 \cdot 32,8) : 1\frac{2}{3}$

Решим задачу по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем деление.

1. В выражении $(17,2 \cdot 4,01 + 4,01 \cdot 32,8)$ можно вынести общий множитель $4,01$ за скобки, используя распределительный закон умножения $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$:

$4,01 \cdot (17,2 + 32,8)$

2. Вычислим сумму в скобках:

$17,2 + 32,8 = 50$

3. Теперь умножим результат на $4,01$:

$4,01 \cdot 50 = 200,5$

4. Преобразуем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в неправильную для выполнения деления:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

5. Выполним деление. Разделить на дробь — то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$200,5 : \frac{5}{3} = 200,5 \cdot \frac{3}{5}$

Вычислим значение:

$\frac{200,5}{5} \cdot 3 = 40,1 \cdot 3 = 120,3$

Ответ: 120,3

б) $\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 \cdot 2\frac{2}{3} - 25 \cdot 0,03 \cdot 4$

Вычислим значение выражения, соблюдая порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Возводим в степень:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

2. Выполняем первое умножение. Для этого преобразуем смешанную дробь $2\frac{2}{3}$ в неправильную:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Теперь умножаем:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

3. Выполняем второе умножение. Для удобства можно переставить множители:

$25 \cdot 0,03 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 0,03 = 100 \cdot 0,03 = 3$

4. Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 3$

5. Выполняем вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$; $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$; $3 = \frac{18}{6}$

$\frac{3}{6} - \frac{4}{6} - \frac{18}{6} = \frac{3 - 4 - 18}{6} = \frac{-1 - 18}{6} = -\frac{19}{6}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанную:

$-\frac{19}{6} = -3\frac{1}{6}$

Ответ: $-3\frac{1}{6}$

2. Упростить выражение $3(2y-x)-2(y-3x)$ и найти его числовое значение при $x=-\frac{2}{9}, y=0,25$.

Упростить выражение $3(2y-x)-2(y-3x)$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить два действия: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
1. Раскроем скобки. Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на каждый член внутри нее, учитывая знаки:
$3(2y - x) = 3 \cdot 2y + 3 \cdot (-x) = 6y - 3x$
$-2(y - 3x) = -2 \cdot y - 2 \cdot (-3x) = -2y + 6x$
2. Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $y$ и члены с переменной $x$):
$(6y - 3x) + (-2y + 6x) = 6y - 3x - 2y + 6x$
Сгруппируем их:
$(6y - 2y) + (-3x + 6x) = 4y + 3x$
Таким образом, после упрощения исходное выражение принимает вид $4y + 3x$.

Ответ: $4y + 3x$

Найти его числовое значение при $x = -\frac{2}{9}$, $y = 0,25$

Теперь подставим заданные значения $x$ и $y$ в упрощенное выражение $4y + 3x$.
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби:
$y = 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
Подставляем значения в выражение:
$4y + 3x = 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) + 3 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)$
Выполним вычисления по шагам:
$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$
$3 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{3 \cdot 2}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$
Теперь сложим полученные результаты:
$1 + \left(-\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3. Для лагеря купили 10 мячей и 5 ракеток. Один мяч стоит $a$ р., а одна ракетка — $b$ р. Написать выражение стоимости всей покупки.

Для того чтобы найти общую стоимость покупки, необходимо вычислить стоимость всех мячей и стоимость всех ракеток по отдельности, а затем сложить полученные значения.

1. Определим стоимость всех мячей. По условию, купили 10 мячей, и цена одного мяча составляет a рублей. Следовательно, стоимость всех мячей равна произведению количества мячей на цену одного мяча:
Стоимость мячей = $10 \cdot a = 10a$ (рублей).

2. Определим стоимость всех ракеток. Купили 5 ракеток, и цена одной ракетки составляет b рублей. Следовательно, стоимость всех ракеток равна произведению количества ракеток на цену одной ракетки:
Стоимость ракеток = $5 \cdot b = 5b$ (рублей).

3. Теперь найдем общую стоимость всей покупки, сложив стоимость мячей и стоимость ракеток:
Стоимость всей покупки = Стоимость мячей + Стоимость ракеток = $10a + 5b$ (рублей).

Таким образом, выражение для стоимости всей покупки имеет вид $10a + 5b$.

Ответ: $10a + 5b$

4. Вычислить:

$0.5 - 1\frac{5}{16} : (2.25 + (0.75 - 2\frac{5}{8} : 7))$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках (начиная с самых внутренних), затем деление и вычитание. Для удобства преобразуем все десятичные и смешанные дроби в обыкновенные.

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$1\frac{5}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 5}{16} = \frac{21}{16}$
$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{1}{2} - \frac{21}{16} : \left( \frac{9}{4} + \left( \frac{3}{4} - \frac{21}{8} : 7 \right) \right)$

Выполним вычисления по действиям.

1. Деление в самых внутренних скобках:

$2\frac{5}{8} : 7 = \frac{21}{8} : \frac{7}{1} = \frac{21}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{21 \cdot 1}{8 \cdot 7} = \frac{3}{8}$

2. Вычитание во внутренних скобках:

$0,75 - \frac{3}{8} = \frac{3}{4} - \frac{3}{8}$

Приводим дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{3}{8} = \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

3. Сложение в оставшихся скобках:

$2,25 + \frac{3}{8} = \frac{9}{4} + \frac{3}{8}$

Приводим дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = \frac{18}{8} + \frac{3}{8} = \frac{21}{8}$

4. Деление за скобками:

$1\frac{5}{16} : \frac{21}{8} = \frac{21}{16} : \frac{21}{8} = \frac{21}{16} \cdot \frac{8}{21} = \frac{21 \cdot 8}{16 \cdot 21}$

Сокращаем 21 в числителе и знаменателе, а также 8 и 16:

$\frac{1 \cdot 8}{16 \cdot 1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

5. Финальное вычитание:

$0,5 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Ответ: 0

5. Упростить выражение

$6x - (2x - (3x - (4x + 4)))$

5. Чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно раскрыть скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $6x - (2x - (3x - (4x + 4)))$.

1. Раскроем самые внутренние скобки $(4x + 4)$. Перед ними стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$6x - (2x - (3x - 4x - 4))$

2. Приведем подобные слагаемые внутри круглых скобок:

$3x - 4x - 4 = -x - 4$

Выражение примет вид:

$6x - (2x - (-x - 4))$

3. Раскроем следующие скобки. Перед ними также стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых $-x$ и $-4$ изменятся на противоположные:

$6x - (2x + x + 4)$

4. Приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:

$2x + x + 4 = 3x + 4$

Выражение примет вид:

$6x - (3x + 4)$

5. Раскроем последние скобки. Так как перед ними стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри изменятся на противоположные:

$6x - 3x - 4$

6. Приведем подобные слагаемые:

$6x - 3x - 4 = 3x - 4$

Ответ: $3x - 4$

6. Тетрадь стоила $n$ р., а ручка — $m$ р. Записать стоимость покупки двух тетрадей и трёх ручек после снижения цены ручки на $2$ %, а тетради — на $3$ %.

1. Вычисление новой цены тетради
Первоначальная цена тетради составляла $n$ р. Цена была снижена на 3%. Это означает, что новая цена составляет $100\% - 3\% = 97\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, нужно умножить исходную цену на десятичное представление процента: $n \cdot (1 - \frac{3}{100}) = n \cdot (1 - 0.03) = 0.97n$ р.

2. Вычисление новой цены ручки
Первоначальная цена ручки составляла $m$ р. Цена была снижена на 2%. Новая цена составляет $100\% - 2\% = 98\%$ от первоначальной. Вычислим новую цену: $m \cdot (1 - \frac{2}{100}) = m \cdot (1 - 0.02) = 0.98m$ р.

3. Расчет общей стоимости покупки
Стоимость покупки состоит из стоимости двух тетрадей и трёх ручек по новым, сниженным ценам.
Стоимость двух тетрадей: $2 \cdot 0.97n = 1.94n$ р.
Стоимость трёх ручек: $3 \cdot 0.98m = 2.94m$ р.
Чтобы найти общую стоимость, сложим полученные значения:
Общая стоимость = $1.94n + 2.94m$ р.
Ответ: $1.94n + 2.94m$ р.

7. Найти рациональным способом значение выражения

$\frac{2}{3}(1,2+1,7+2,1+2,9+3,3+3,8)$

Для рационального вычисления значения данного выражения необходимо найти удобный способ сложения чисел в скобках. Заметим, что некоторые слагаемые можно сгруппировать так, чтобы их сумма была целым числом, что значительно упрощает вычисления.

Исходное выражение: $ \dfrac{2}{3}(1,2 + 1,7 + 2,1 + 2,9 + 3,3 + 3,8) $.

Сгруппируем слагаемые в скобках следующим образом:

$ \dfrac{2}{3}((1,2 + 3,8) + (1,7 + 3,3) + (2,1 + 2,9)) $

Вычислим сумму в каждой из получившихся пар:

$ 1,2 + 3,8 = 5 $

$ 1,7 + 3,3 = 5 $

$ 2,1 + 2,9 = 5 $

Теперь выражение можно переписать, подставив найденные суммы:

$ \dfrac{2}{3}(5 + 5 + 5) $

Сначала вычислим сумму в скобках:

$ 5 + 5 + 5 = 15 $

Затем умножим результат на дробь:

$ \dfrac{2}{3} \times 15 = \dfrac{2 \times 15}{3} = 2 \times 5 = 10 $

Ответ: 10

8. Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Доказать, что сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 4.

Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр $c$ (сотни), $d$ (десятки) и $u$ (единицы). Тогда это число можно записать в виде $100c + 10d + u$.

Из условия задачи нам известно, что:

• Число сотен в 2 раза меньше числа десятков: $d = 2c$.
• Число сотен в 3 раза меньше числа единиц: $u = 3c$.

Поскольку $c$, $d$ и $u$ являются цифрами, $c$ не может быть равно 0 (так как число трёхзначное), а $d$ и $u$ не могут быть больше 9. Этим условиям удовлетворяют следующие значения для $c$: 1, 2 и 3.

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет равно $100u + 10d + c$.

Найдём сумму этих двух чисел. Обозначим её $S$.

$S = (100c + 10d + u) + (100u + 10d + c)$

Сгруппируем подобные члены:

$S = (100c + c) + (10d + 10d) + (u + 100u) = 101c + 20d + 101u$

Теперь подставим в полученное выражение зависимости $d=2c$ и $u=3c$:

$S = 101c + 20(2c) + 101(3c)$

$S = 101c + 40c + 303c$

$S = 444c$

Нам нужно доказать, что сумма $S$ делится на 4. Рассмотрим полученное выражение $444c$. Коэффициент $444$ можно представить как произведение:

$444 = 4 \times 111$

Тогда сумма $S$ равна:

$S = (4 \times 111) \times c = 4 \times (111c)$

Поскольку $c$ — это целое число (цифра), то произведение $111c$ также является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда является произведением числа 4 и некоторого целого числа, что по определению означает, что $S$ делится на 4 без остатка. Доказательство завершено.

Ответ: Сумма исходного числа $(100c + 10d + u)$ и обратного ему числа $(100u + 10d + c)$ равна $101c + 20d + 101u$. Используя условия $d=2c$ и $u=3c$, получаем, что сумма равна $101c + 20(2c) + 101(3c) = 101c + 40c + 303c = 444c$. Так как число $444$ делится на $4$ ($444 = 4 \times 111$), то и произведение $444c$ делится на $4$ при любом целом $c$, что и требовалось доказать.

9. Трое друзей вместе покупали музыкальные инструменты. Первый внёс $a$ р., второй — на 10 % больше, чем первый, а третий — на 40 % меньше, чем оба его друга внесли вместе. Чей взнос был самым большим?

Для решения этой задачи давайте последовательно определим размер взноса каждого друга, выразив его через переменную а.

Взнос первого друга:
Согласно условию, он составляет $а$ рублей.

Взнос второго друга:
Он внёс на 10% больше, чем первый. Это значит, что его взнос равен взносу первого друга плюс 10% от этой суммы. 10% от $a$ — это $0,1a$.
Следовательно, взнос второго друга равен: $a + 0,1a = 1,1a$.

Взнос третьего друга:
Сначала найдём общую сумму, которую внесли первые два друга вместе:
$a + 1,1a = 2,1a$.
Третий друг внёс на 40% меньше этой суммы. Это означает, что его взнос составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от совместного взноса первых двух. 60% в виде десятичной дроби — это 0,6.
Следовательно, взнос третьего друга равен: $0,6 \cdot (2,1a) = 1,26a$.

Сравнение взносов:
Теперь мы можем сравнить суммы, которые внёс каждый из друзей:

• Первый друг: $1a$
• Второй друг: $1,1a$
• Третий друг: $1,26a$

Так как $a$ — это положительное число (сумма денег), мы можем сравнить коэффициенты: $1,26 > 1,1 > 1$. Это означает, что взнос третьего друга был самым большим.

Ответ: самым большим был взнос третьего друга.