Номер 8, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Доказать, что сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 4.

Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр $c$ (сотни), $d$ (десятки) и $u$ (единицы). Тогда это число можно записать в виде $100c + 10d + u$.

Из условия задачи нам известно, что:

• Число сотен в 2 раза меньше числа десятков: $d = 2c$.
• Число сотен в 3 раза меньше числа единиц: $u = 3c$.

Поскольку $c$, $d$ и $u$ являются цифрами, $c$ не может быть равно 0 (так как число трёхзначное), а $d$ и $u$ не могут быть больше 9. Этим условиям удовлетворяют следующие значения для $c$: 1, 2 и 3.

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет равно $100u + 10d + c$.

Найдём сумму этих двух чисел. Обозначим её $S$.

$S = (100c + 10d + u) + (100u + 10d + c)$

Сгруппируем подобные члены:

$S = (100c + c) + (10d + 10d) + (u + 100u) = 101c + 20d + 101u$

Теперь подставим в полученное выражение зависимости $d=2c$ и $u=3c$:

$S = 101c + 20(2c) + 101(3c)$

$S = 101c + 40c + 303c$

$S = 444c$

Нам нужно доказать, что сумма $S$ делится на 4. Рассмотрим полученное выражение $444c$. Коэффициент $444$ можно представить как произведение:

$444 = 4 \times 111$

Тогда сумма $S$ равна:

$S = (4 \times 111) \times c = 4 \times (111c)$

Поскольку $c$ — это целое число (цифра), то произведение $111c$ также является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда является произведением числа 4 и некоторого целого числа, что по определению означает, что $S$ делится на 4 без остатка. Доказательство завершено.

Ответ: Сумма исходного числа $(100c + 10d + u)$ и обратного ему числа $(100u + 10d + c)$ равна $101c + 20d + 101u$. Используя условия $d=2c$ и $u=3c$, получаем, что сумма равна $101c + 20(2c) + 101(3c) = 101c + 40c + 303c = 444c$. Так как число $444$ делится на $4$ ($444 = 4 \times 111$), то и произведение $444c$ делится на $4$ при любом целом $c$, что и требовалось доказать.