Номер 5, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.

Какое уравнение называется линейным?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная (или неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (называемые коэффициентами).

Ключевой характеристикой линейного уравнения является то, что переменная $x$ входит в него только в первой степени. Это значит, что в уравнении отсутствуют переменные в квадрате ($x^2$), под корнем ($\sqrt{x}$), в знаменателе дроби ($\frac{1}{x}$) или внутри тригонометрических функций ($\sin(x)$ и т.п.).

Любое уравнение, которое с помощью алгебраических преобразований (таких как перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число) может быть приведено к стандартному виду $ax = b$, также считается линейным.

В зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$ возможны три случая решения:

• Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень: $x = \frac{b}{a}$.
• Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.
• Если $a = 0$ и $b \ne 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Такое равенство невозможно ни при каком $x$, следовательно, уравнение не имеет корней.

Название "линейное" связано с тем, что график функции $y = ax+b$ является прямой линией. Решение уравнения $ax = -b$ соответствует нахождению точки пересечения этой прямой с осью абсцисс (осью X).

Также существуют линейные уравнения с несколькими переменными, например, $ax + by = c$ (с двумя переменными $x$ и $y$), графиком которого является прямая линия на координатной плоскости.

Ответ: Линейное уравнение — это уравнение, которое можно привести к виду $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа. Основное свойство — переменная в уравнении находится только в первой степени.

Привести примеры линейных уравнений.

Вот несколько примеров линейных уравнений и 과정 их решения.

1. Простое линейное уравнение:
$7x = 21$
Это уравнение уже представлено в стандартном виде $ax=b$. Для нахождения $x$ разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 7.
$x = \frac{21}{7}$
$x = 3$

2. Уравнение, требующее преобразований:
$4x - 8 = 12$
Сначала изолируем слагаемое с переменной. Перенесем -8 в правую часть уравнения, поменяв знак на "+":
$4x = 12 + 8$
$4x = 20$
Теперь разделим обе части на 4:
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$

3. Уравнение с переменной в обеих частях:
$9y + 2 = 5y - 10$
Соберем все слагаемые с переменной $y$ в левой части, а числовые слагаемые (свободные члены) — в правой:
$9y - 5y = -10 - 2$
$4y = -12$
Разделим обе части на 4:
$y = \frac{-12}{4}$
$y = -3$

4. Уравнение со скобками:
$3(z - 5) = z + 1$
Раскроем скобки в левой части:
$3z - 15 = z + 1$
Теперь приведем его к стандартному виду, как в примере 3:
$3z - z = 1 + 15$
$2z = 16$
$z = 8$

Для сравнения, уравнения $x^2 = 9$, $\frac{5}{x} = 1$ и $\sqrt{y} = 4$ не являются линейными, так как переменная в них стоит не в первой степени.

Ответ: Примеры линейных уравнений: $5x = 15$; $2y - 6 = 0$; $7z + 4 = 3z - 8$.