Номер 4, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Сколько корней может иметь уравнение?

3.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Корнем уравнения с одной переменной называется значение этой переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Например, рассмотрим уравнение $x + 5 = 8$. Число $3$ является корнем этого уравнения, так как при подстановке $x=3$ мы получаем верное равенство $3 + 5 = 8$. Любое другое число, например $x=4$, не является корнем, так как равенство $4 + 5 = 8$ неверно.

Таким образом, процесс решения уравнения включает в себя выполнение преобразований (перенос слагаемых, умножение или деление обеих частей на одно и то же число и т.д.) с целью найти все значения переменной, которые удовлетворяют исходному равенству. Множество всех найденных корней и является решением уравнения.

Ответ: решить уравнение — это найти все его решения (корни) или установить, что их нет.

4.
Уравнение может иметь разное количество корней в зависимости от его вида. Рассмотрим основные случаи:

• Нет корней. Некоторые уравнения не имеют решений. Например, уравнение $x = x + 1$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получим $0 = 1$, что является ложным утверждением. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы верным. Другой пример — уравнение $x^2 = -9$ не имеет корней в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

• Один корень. Это типично для линейных уравнений. Например, уравнение $2x - 10 = 0$ имеет только один корень $x=5$.

• Конечное число корней (два, три и т.д.). Квадратные уравнения, как правило, имеют два корня. Например, уравнение $x^2 - 4 = 0$ имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Уравнение $x^3 - x = 0$ можно переписать как $x(x-1)(x+1)=0$, и оно имеет три корня: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$. В общем случае, алгебраическое уравнение степени $n$ имеет не более $n$ действительных корней.

• Бесконечное множество корней. Такой случай возникает, когда уравнение является тождеством, то есть верным равенством для любого допустимого значения переменной. Например, $3(x+2) = 3x + 6$. Раскрыв скобки, получим $3x+6 = 3x+6$, что верно при любом $x$. Также бесконечное число корней имеют многие тригонометрические уравнения. Например, уравнение $\sin(x) = 1$ имеет корни $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: уравнение может не иметь корней, иметь один корень, конечное число корней или бесконечное множество корней.