Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

245. Составить уравнение, корнем которого является число:

1) $5$;

2) $3$;

3) $0$;

4) $-4$.

1) Чтобы составить уравнение, корнем которого является число 5, нужно создать математическое равенство с одной переменной (например, $x$), которое будет верным при $x = 5$.

Самый простой способ — это начать с самого решения: $x = 5$.

Далее, мы можем преобразовать это равенство. Например, перенесем число 5 в левую часть уравнения, изменив его знак. Это делается путем вычитания 5 из обеих частей равенства:

$x - 5 = 5 - 5$

$x - 5 = 0$

Мы получили простое линейное уравнение. Проверим его решение: чтобы найти $x$, перенесем -5 обратно в правую часть, изменив знак. Получим $x = 5$. Это означает, что составленное уравнение верное.

Существует бесконечное множество уравнений с таким корнем. Например, $2x = 10$ или $x + 1 = 6$. Мы выбрали одно из самых простых.

Ответ: $x - 5 = 0$.

2) Требуется составить уравнение, для которого число 3 будет являться корнем. Пусть корень уравнения — это переменная $x$. Значит, $x = 3$.

Мы можем выполнить одинаковые математические операции над обеими частями этого равенства, чтобы получить новое уравнение. Например, умножим обе части на 2:

$2 \cdot x = 2 \cdot 3$

$2x = 6$

Это уже является уравнением, корнем которого будет 3. Для проверки разделим обе части на 2: $x = 6 / 2$, $x = 3$.

Также можно записать уравнение в форме, где правая часть равна нулю:

$2x - 6 = 0$

Ответ: $2x - 6 = 0$.

3) Нужно составить уравнение, корнем которого является число 0. То есть, $x = 0$.

Это равенство само по себе уже является простейшим уравнением. Чтобы сделать его немного сложнее, мы можем, например, умножить обе части на любое число, отличное от нуля, скажем, на 7:

$7 \cdot x = 7 \cdot 0$

$7x = 0$

Проверим решение этого уравнения. Чтобы найти $x$, нужно разделить 0 на 7:

$x = 0 / 7$

$x = 0$

Корень действительно равен 0. Другой возможный вариант: $x + 5 = 5$.

Ответ: $7x = 0$.

4) Составим уравнение, корнем которого является число -4. Запишем исходное равенство: $x = -4$.

Чтобы получить уравнение, преобразуем это равенство. Удобно привести его к виду, где в правой части стоит ноль. Для этого прибавим к обеим частям равенства число 4:

$x + 4 = -4 + 4$

$x + 4 = 0$

Проверим, правильно ли мы составили уравнение. Решим его относительно $x$, перенеся 4 в правую часть с противоположным знаком:

$x = -4$

Решение верное. Как и в предыдущих случаях, можно было составить и другие уравнения, например, $x + 5 = 1$ или $3x = -12$.

Ответ: $x + 4 = 0$.

246. Подобрать число $a$ так, чтобы уравнение $4x - 3 = 2x + a$ имело корень:

1) $x = 1$;

2) $x = -1$;

3) $x = \frac{1}{2}$;

4) $x = 0,3$.

Для того чтобы подобрать число a, при котором уравнение $4x-3=2x+a$ будет иметь заданный корень, необходимо подставить значение этого корня (x) в уравнение и решить его относительно a.

1) $x=1$
Подставляем значение $x=1$ в уравнение:
$4 \cdot 1 - 3 = 2 \cdot 1 + a$
$4 - 3 = 2 + a$
$1 = 2 + a$
$a = 1 - 2$
$a = -1$
Ответ: $a = -1$.

2) $x=-1$
Подставляем значение $x=-1$ в уравнение:
$4 \cdot (-1) - 3 = 2 \cdot (-1) + a$
$-4 - 3 = -2 + a$
$-7 = -2 + a$
$a = -7 + 2$
$a = -5$
Ответ: $a = -5$.

3) $x=\frac{1}{2}$
Подставляем значение $x = \frac{1}{2}$ в уравнение:
$4 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 2 \cdot \frac{1}{2} + a$
$2 - 3 = 1 + a$
$-1 = 1 + a$
$a = -1 - 1$
$a = -2$
Ответ: $a = -2$.

4) $x=0,3$
Подставляем значение $x = 0,3$ в уравнение:
$4 \cdot 0,3 - 3 = 2 \cdot 0,3 + a$
$1,2 - 3 = 0,6 + a$
$-1,8 = 0,6 + a$
$a = -1,8 - 0,6$
$a = -2,4$
Ответ: $a = -2,4$.

247. Выяснить, имеет ли корни уравнение при заданном значении a:

1) $3x + a = 3x + 5$ при $a = 1$;

2) $\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + a$ при $a = 4$.

Указать такое значение $a$, при котором данное уравнение имеет корни.

1) Для уравнения $3x + a = 3x + 5$ при $a = 1$.

Сначала выясним, имеет ли уравнение корни при заданном значении $a=1$. Подставим это значение в уравнение:

$3x + 1 = 3x + 5$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 3x = 5 - 1$

$0 \cdot x = 4$

Мы получили неверное числовое равенство $0 = 4$. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет корней.

Теперь укажем такое значение $a$, при котором данное уравнение будет иметь корни. Рассмотрим уравнение в общем виде:

$3x + a = 3x + 5$

$3x - 3x = 5 - a$

$0 \cdot x = 5 - a$

Это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда оно обращается в верное равенство $0 = 0$. Для этого необходимо, чтобы правая часть уравнения была равна нулю:

$5 - a = 0$

$a = 5$

При $a=5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, и его корнем является любое число. Таким образом, уравнение имеет корни (бесконечно много) только при $a=5$.

Ответ: при $a=1$ уравнение корней не имеет. Уравнение имеет корни при $a=5$.

2) Для уравнения $\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + a$ при $a = 4$.

Сначала выясним, имеет ли уравнение корни при заданном значении $a=4$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + 4$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x = 4 - 3$

$0 \cdot x = 1$

Мы получили неверное числовое равенство $0 = 1$. Это означает, что при $a=4$ уравнение не имеет корней.

Теперь укажем такое значение $a$, при котором данное уравнение будет иметь корни. Рассмотрим уравнение в общем виде:

$\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + a$

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x = a - 3$

$0 \cdot x = a - 3$

Это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда оно обращается в верное равенство $0 = 0$. Для этого необходимо, чтобы правая часть уравнения была равна нулю:

$a - 3 = 0$

$a = 3$

При $a=3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, и его корнем является любое число. Таким образом, уравнение имеет корни (бесконечно много) только при $a=3$.

Ответ: при $a=4$ уравнение корней не имеет. Уравнение имеет корни при $a=3$.

248. Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение $x$, при котором равенство верно:

1) число $x$ составляет $18\%$ числа $75$;

2) число $15$ составляет $25\%$ числа $x$.

1) Чтобы записать утверждение «число x составляет 18 % числа 75» в виде равенства, необходимо перевести проценты в десятичную дробь. 18 % — это 18 частей из 100, то есть $18\% = \frac{18}{100} = 0.18$. Фраза «составляет ... от числа 75» означает умножение на 75.

Таким образом, получаем следующее равенство:

$x = 0.18 \times 75$

Теперь найдем значение x, решив это уравнение:

$x = 13.5$

Ответ: $x = 0.18 \times 75$; $x = 13.5$.

2) Утверждение «число 15 составляет 25 % числа x» означает, что 15 — это результат взятия 25 % от неизвестного числа x. Переведем 25 % в дробь: $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.

Составляем равенство:

$0.25 \times x = 15$

Чтобы найти неизвестный множитель x, нужно произведение (15) разделить на известный множитель (0.25):

$x = \frac{15}{0.25}$

Выполняем деление:

$x = 60$

Ответ: $0.25 \times x = 15$; $x = 60$.

249. Найти все значения x, при которых верно равенство:

1) $x(x-2)=0$;

2) $2x(1-x)=0$;

3) $x(x+3)(x-4)=0$;

4) $(3-x)(x+2)(x-1)=0$.

1) Данное равенство $x(x-2)=0$ является произведением двух множителей, которое равно нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, мы должны решить совокупность уравнений:
$x=0$
или
$x-2=0$
Решая второе уравнение, получаем:
$x=2$
Таким образом, исходное равенство верно при двух значениях $x$.
Ответ: 0; 2.

2) Равенство $2x(1-x)=0$ представляет собой произведение, равное нулю. Это возможно, если один из множителей, содержащих переменную $x$, равен нулю (множитель 2 не может быть равен нулю).
Приравниваем множители с переменной к нулю:
$x=0$
или
$1-x=0$
Решаем второе уравнение:
$x=1$
Следовательно, равенство верно при двух значениях $x$.
Ответ: 0; 1.

3) В равенстве $x(x+3)(x-4)=0$ произведение трех множителей равно нулю. Это означает, что хотя бы один из этих множителей должен быть равен нулю.
Приравниваем каждый множитель к нулю по отдельности:
$x=0$
или
$x+3=0 \implies x=-3$
или
$x-4=0 \implies x=4$
Значит, решениями являются три значения $x$.
Ответ: -3; 0; 4.

4) Равенство $(3-x)(x+2)(x-1)=0$ также является произведением, равным нулю. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$3-x=0 \implies x=3$
или
$x+2=0 \implies x=-2$
или
$x-1=0 \implies x=1$
Таким образом, равенство верно при трех значениях $x$.
Ответ: -2; 1; 3.

250. Найти все значения $x$, при которых верно равенство:

1) $|x|=0$;

2) $|x|=2$;

3) $|x|=\frac{1}{3}$;

4) $|x-1|=2$.

1) Дано равенство $|x|=0$.
Модуль числа (его абсолютная величина) равен нулю только в том случае, если само число равно нулю.
Следовательно, $x=0$.
Ответ: $0$.

2) Дано равенство $|x|=2$.
Если модуль числа равен положительному числу $a$, то само число может быть равно как $a$, так и $-a$. В данном случае $a=2$.
Следовательно, уравнение распадается на два возможных случая:
$x = 2$ или $x = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

3) Дано равенство $|x|=\frac{1}{3}$.
По аналогии с предыдущим пунктом, если модуль числа равен $\frac{1}{3}$, то само число может быть равно $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.
$x = \frac{1}{3}$ или $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

4) Дано равенство $|x-1|=2$.
Это уравнение означает, что выражение, стоящее под знаком модуля, равно $2$ или $-2$. Рассмотрим оба варианта:
1) $x-1 = 2$
Прибавляем 1 к обеим частям уравнения:
$x = 2 + 1$
$x = 3$
2) $x-1 = -2$
Прибавляем 1 к обеим частям уравнения:
$x = -2 + 1$
$x = -1$
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Ответ: $-1; 3$.