Номер 247, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

247. Выяснить, имеет ли корни уравнение при заданном значении a:

1) $3x + a = 3x + 5$ при $a = 1$;

2) $\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + a$ при $a = 4$.

Указать такое значение $a$, при котором данное уравнение имеет корни.

1) Для уравнения $3x + a = 3x + 5$ при $a = 1$.

Сначала выясним, имеет ли уравнение корни при заданном значении $a=1$. Подставим это значение в уравнение:

$3x + 1 = 3x + 5$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 3x = 5 - 1$

$0 \cdot x = 4$

Мы получили неверное числовое равенство $0 = 4$. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет корней.

Теперь укажем такое значение $a$, при котором данное уравнение будет иметь корни. Рассмотрим уравнение в общем виде:

$3x + a = 3x + 5$

$3x - 3x = 5 - a$

$0 \cdot x = 5 - a$

Это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда оно обращается в верное равенство $0 = 0$. Для этого необходимо, чтобы правая часть уравнения была равна нулю:

$5 - a = 0$

$a = 5$

При $a=5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, и его корнем является любое число. Таким образом, уравнение имеет корни (бесконечно много) только при $a=5$.

Ответ: при $a=1$ уравнение корней не имеет. Уравнение имеет корни при $a=5$.

2) Для уравнения $\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + a$ при $a = 4$.

Сначала выясним, имеет ли уравнение корни при заданном значении $a=4$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + 4$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x = 4 - 3$

$0 \cdot x = 1$

Мы получили неверное числовое равенство $0 = 1$. Это означает, что при $a=4$ уравнение не имеет корней.

Теперь укажем такое значение $a$, при котором данное уравнение будет иметь корни. Рассмотрим уравнение в общем виде:

$\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{2}x + a$

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x = a - 3$

$0 \cdot x = a - 3$

Это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда оно обращается в верное равенство $0 = 0$. Для этого необходимо, чтобы правая часть уравнения была равна нулю:

$a - 3 = 0$

$a = 3$

При $a=3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, и его корнем является любое число. Таким образом, уравнение имеет корни (бесконечно много) только при $a=3$.

Ответ: при $a=4$ уравнение корней не имеет. Уравнение имеет корни при $a=3$.