Номер 1, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 14. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Глава 3. Уравнения с одним неизвестным - номер 1, страница 87.

Условие.

1. Сформулировать свойства уравнения.

Решение 1.

Решение 5.

1. Уравнение — это равенство, содержащее переменную (или несколько переменных), значение которой нужно найти. Решить уравнение — значит найти все его корни (решения) или доказать, что их нет. Процесс решения уравнений основан на выполнении равносильных преобразований, которые не изменяют множество корней исходного уравнения. Эти преобразования базируются на следующих основных свойствах уравнений:

Свойство 1: Перенос слагаемых.
Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный. В результате такого преобразования получается уравнение, равносильное исходному.

Это свойство вытекает из более общего свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства $A = B$ прибавить одно и то же число $c$, то равенство останется верным: $A + c = B + c$. Если мы хотим перенести член $c$ из левой части уравнения $A + c = B$ в правую, мы можем вычесть $c$ из обеих частей: $(A + c) - c = B - c$, что приводит к $A = B - c$.

Пример:
Дано уравнение $3x + 7 = 16$.
Чтобы перенести член $7$ в правую часть, мы меняем его знак на противоположный:
$3x = 16 - 7$
$3x = 9$

Свойство 2: Умножение или деление обеих частей уравнения.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. В результате такого преобразования получается уравнение, равносильное исходному.

Это свойство также основано на свойстве числовых равенств: если обе части верного равенства $A = B$ умножить на одно и то же ненулевое число $c$ (где $c \neq 0$), то равенство останется верным: $A \cdot c = B \cdot c$. Аналогично для деления.

Пример:
Продолжая предыдущий пример с уравнением $3x = 9$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $3$ (поскольку $3 \neq 0$):
$\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}$
$x = 3$

Эти два свойства являются ключевыми инструментами для решения большинства алгебраических уравнений. Они позволяют упрощать уравнения, приводя их к виду, из которого легко найти значение переменной.

Также стоит упомянуть фундаментальные свойства отношения равенства, лежащие в основе всех преобразований:
- Рефлексивность: Любое выражение равно самому себе ($a = a$).
- Симметричность: Если $a = b$, то и $b = a$. Это означает, что части уравнения можно менять местами.
- Транзитивность: Если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$. Это свойство позволяет заменять части уравнения равными им выражениями.

Ответ: Основными свойствами уравнений, используемыми при их решении, являются: 1) возможность переноса любого члена из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный; 2) возможность умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. Эти преобразования приводят к равносильному уравнению.