Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать свойства уравнения.

1. Уравнение — это равенство, содержащее переменную (или несколько переменных), значение которой нужно найти. Решить уравнение — значит найти все его корни (решения) или доказать, что их нет. Процесс решения уравнений основан на выполнении равносильных преобразований, которые не изменяют множество корней исходного уравнения. Эти преобразования базируются на следующих основных свойствах уравнений:

Свойство 1: Перенос слагаемых.
Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный. В результате такого преобразования получается уравнение, равносильное исходному.

Это свойство вытекает из более общего свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства $A = B$ прибавить одно и то же число $c$, то равенство останется верным: $A + c = B + c$. Если мы хотим перенести член $c$ из левой части уравнения $A + c = B$ в правую, мы можем вычесть $c$ из обеих частей: $(A + c) - c = B - c$, что приводит к $A = B - c$.

Пример:
Дано уравнение $3x + 7 = 16$.
Чтобы перенести член $7$ в правую часть, мы меняем его знак на противоположный:
$3x = 16 - 7$
$3x = 9$

Свойство 2: Умножение или деление обеих частей уравнения.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. В результате такого преобразования получается уравнение, равносильное исходному.

Это свойство также основано на свойстве числовых равенств: если обе части верного равенства $A = B$ умножить на одно и то же ненулевое число $c$ (где $c \neq 0$), то равенство останется верным: $A \cdot c = B \cdot c$. Аналогично для деления.

Пример:
Продолжая предыдущий пример с уравнением $3x = 9$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $3$ (поскольку $3 \neq 0$):
$\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}$
$x = 3$

Эти два свойства являются ключевыми инструментами для решения большинства алгебраических уравнений. Они позволяют упрощать уравнения, приводя их к виду, из которого легко найти значение переменной.

Также стоит упомянуть фундаментальные свойства отношения равенства, лежащие в основе всех преобразований:
- Рефлексивность: Любое выражение равно самому себе ($a = a$).
- Симметричность: Если $a = b$, то и $b = a$. Это означает, что части уравнения можно менять местами.
- Транзитивность: Если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$. Это свойство позволяет заменять части уравнения равными им выражениями.

Ответ: Основными свойствами уравнений, используемыми при их решении, являются: 1) возможность переноса любого члена из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный; 2) возможность умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. Эти преобразования приводят к равносильному уравнению.

2. Назвать свойство, которое использовалось для преобразования уравнения:

1) $24+2x=40, 2x=40-24;$

2) $3x=15, x=5.$

1) В уравнении $24 + 2x = 40$ для получения $2x = 40 - 24$ было использовано свойство равносильности уравнений. Это свойство гласит, что если какой-либо член уравнения перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.
Более формально, это следствие из основного свойства равенства: если к обеим частям верного равенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное равенство. В данном случае из обеих частей уравнения вычли число 24:
$(24 + 2x) - 24 = 40 - 24$
$2x = 40 - 24$
Ответ: Использовалось свойство переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный (следствие из свойства равенства о вычитании одного и того же числа из обеих частей).

2) Для преобразования уравнения $3x = 15$ в $x = 5$ было использовано другое свойство равносильности уравнений. Оно гласит, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.
В этом примере обе части уравнения были разделены на 3, то есть на коэффициент при неизвестной $x$:
$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$
$x = 5$
Ответ: Использовалось свойство деления обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

3. Сформулировать алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным.

Уравнения, сводящиеся к линейным, решаются с помощью тождественных преобразований, которые приводят исходное, более сложное уравнение к стандартному линейному виду $ax = b$. Алгоритм решения состоит из следующих шагов:

1. Раскрытие скобок и избавление от знаменателей.

   Если уравнение содержит скобки, их необходимо раскрыть, применяя распределительный закон умножения. Если в уравнении есть дроби, следует избавиться от них, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех дробей в уравнении. Это преобразование является тождественным и упрощает уравнение.

2. Группировка слагаемых.

   Все слагаемые, содержащие неизвестную переменную (например, $x$), переносятся в одну часть уравнения (традиционно в левую), а все числовые слагаемые (константы) — в другую (традиционно в правую). Важно помнить, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

3. Приведение подобных слагаемых.

   После группировки необходимо упростить обе части уравнения, выполнив сложение и вычитание слагаемых с переменной между собой и числовых слагаемых между собой. В результате этих действий уравнение приводится к простейшему линейному виду $ax = b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа.

4. Нахождение корня уравнения.

   На этом шаге анализируется полученное уравнение $ax = b$:

   • Если коэффициент $a \neq 0$, то корень уравнения находится делением обеих частей на $a$: $x = \frac{b}{a}$.
   • Если $a = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно при любом значении $x$, следовательно, уравнение не имеет решений (корней нет).
   • Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$, следовательно, решением уравнения является любое число (уравнение имеет бесконечное множество решений).

5. Проверка решения.

   Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное (самое первое) уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, значит, корень найден правильно. Этот шаг помогает выявить возможные арифметические ошибки, допущенные в процессе преобразований.

Ответ: Алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным, заключается в последовательном выполнении следующих шагов: 1. Упрощение уравнения путем раскрытия скобок и избавления от знаменателей. 2. Перенос всех слагаемых с переменной в одну сторону, а констант — в другую. 3. Приведение подобных слагаемых для получения уравнения вида $ax = b$. 4. Нахождение $x$ путем деления на коэффициент $a$, если он не равен нулю, и анализ случаев, когда $a=0$. 5. Проверка найденного корня подстановкой в исходное уравнение.

4. Решить уравнение:

1) $0 \cdot x = -6$;

2) $0 \cdot x = 0$.

1) Решить уравнение $0 \cdot x = -6$.

Это линейное уравнение вида $a \cdot x = b$, где $a=0$ и $b=-6$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $0 \cdot x$. Согласно свойству умножения, произведение любого числа на ноль равно нулю. Это означает, что для любого действительного числа $x$, значение выражения $0 \cdot x$ всегда будет равно $0$.

Таким образом, наше уравнение принимает вид $0 = -6$.

Полученное равенство является ложным, так как $0$ не равно $-6$. Из этого следует, что не существует такого значения $x$, которое могло бы удовлетворить исходному уравнению.

Ответ: нет корней (решений нет).

2) Решить уравнение $0 \cdot x = 0$.

Это также линейное уравнение вида $a \cdot x = b$, но здесь $a=0$ и $b=0$.

Как и в предыдущем случае, левая часть уравнения, $0 \cdot x$, равна нулю при любом значении переменной $x$.

Подставив это в уравнение, мы получаем равенство $0 = 0$.

Это равенство является истинным тождеством, то есть оно верно для абсолютно любого значения $x$. Какое бы число мы ни подставили вместо $x$, при умножении на ноль мы получим ноль, что равно правой части уравнения.

Ответ: $x$ — любое число (или $x \in \mathbb{R}$).

5. Какие уравнения называются равносильными?

Два уравнения с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Это означает, что каждый корень (или набор корней, если переменных несколько) первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения также считаются равносильными, если оба не имеют решений. Знак равносильности — $\Leftrightarrow$.

Пример 1: Уравнения с одинаковыми корнями
Рассмотрим два уравнения: $5x - 15 = 0$ и $x - 3 = 0$.
Решим первое уравнение: $5x = 15$ $x = \frac{15}{5}$ $x = 3$
Решением второго уравнения очевидно является $x = 3$.
Поскольку множества корней этих уравнений совпадают (в обоих случаях это $\{3\}$), уравнения $5x - 15 = 0$ и $x - 3 = 0$ являются равносильными.

Пример 2: Уравнения, не имеющие корней
Уравнения $x^2 = -1$ и $\sqrt{x} = -2$ не имеют действительных корней. Множество решений для каждого из них пустое. Следовательно, эти уравнения также равносильны.

Для получения равносильного уравнения из исходного используют равносильные преобразования. К ним относятся:

• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение, которое определено и не обращается в ноль на области допустимых значений переменной.
• Применение тождеств для преобразования выражений в левой или правой части уравнения (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых).

Важно помнить, что некоторые преобразования, например, возведение обеих частей уравнения в квадрат, могут привести к появлению посторонних корней и, как следствие, к неравносильному уравнению. Например, уравнение $x = 2$ имеет один корень $x = 2$. Если возвести обе части в квадрат, получится уравнение $x^2 = 4$, у которого два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Множества решений не совпадают, значит, уравнения $x = 2$ и $x^2 = 4$ не являются равносильными.

Ответ: Равносильными называются уравнения, которые имеют одно и то же множество решений. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.

1. Дано верное равенство $ \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{18} + \frac{5}{18} $. Не выполняя вычислений, выяснить, какие из приведённых ниже равенств являются верными:

1) $ (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) \cdot 7 = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) \cdot 7; $

2) $ (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) : 3 = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) \cdot 3; $

3) $ (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) + 1,15 = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) + 1,13; $

4) $ (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) - \frac{4}{7} = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) - \frac{4}{7}; $

5) $ (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) : (-\frac{1}{3}) = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) : (-\frac{1}{3}); $

6) $ (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) \cdot (-5) = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) \cdot 5. $

По условию задачи дано верное равенство $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{18} + \frac{5}{18}$. Обозначим левую часть этого равенства как $A$, а правую — как $B$. То есть, $A = \frac{5}{9} - \frac{2}{9}$ и $B = \frac{1}{18} + \frac{5}{18}$. Таким образом, нам дано, что $A = B$.

Чтобы определить, какие из приведённых равенств верны, не выполняя вычислений в скобках, воспользуемся свойствами верных числовых равенств. Если к обеим частям верного равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, или умножить (или разделить) обе части на одно и то же ненулевое число, то получится верное равенство.

1) $(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) \cdot 7 = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) \cdot 7$
Это равенство можно записать в виде $A \cdot 7 = B \cdot 7$. Так как исходное равенство $A = B$ верно, и обе его части умножены на одно и то же число 7, то полученное равенство также будет верным.
Ответ: Верно.

2) $(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) : 3 = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) \cdot 3$
Это равенство можно записать в виде $A : 3 = B \cdot 3$. Так как $A = B$, равенство примет вид $A : 3 = A \cdot 3$, или $\frac{A}{3} = 3A$. Это равенство верно только в том случае, если $A = 0$. Однако, $A = \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \neq 0$. Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: Неверно.

3) $(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) + 1,15 = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) + 1,13$
Это равенство можно записать в виде $A + 1,15 = B + 1,13$. Так как $A = B$, равенство примет вид $A + 1,15 = A + 1,13$. Если вычесть из обеих частей число $A$, получим $1,15 = 1,13$, что является ложным утверждением. Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: Неверно.

4) $(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) - \frac{4}{7} = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) - \frac{4}{7}$
Это равенство можно записать в виде $A - \frac{4}{7} = B - \frac{4}{7}$. Так как исходное равенство $A = B$ верно, и из обеих его частей вычли одно и то же число $\frac{4}{7}$, то полученное равенство также будет верным.
Ответ: Верно.

5) $(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) : (-\frac{1}{3}) = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) : (-\frac{1}{3})$
Это равенство можно записать в виде $A : (-\frac{1}{3}) = B : (-\frac{1}{3})$. Так как исходное равенство $A = B$ верно, и обе его части разделены на одно и то же ненулевое число $(-\frac{1}{3})$, то полученное равенство также будет верным.
Ответ: Верно.

6) $(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) \cdot (-5) = (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) \cdot 5$
Это равенство можно записать в виде $A \cdot (-5) = B \cdot 5$. Так как $A = B$, равенство примет вид $A \cdot (-5) = A \cdot 5$, или $-5A = 5A$. Это равенство верно только в том случае, если $A = 0$. Как мы уже выяснили в пункте 2, $A = \frac{1}{3} \neq 0$. Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: Неверно.