Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать основные этапы решения текстовой задачи.

Решение текстовой задачи — это процесс, который можно разделить на несколько последовательных логических этапов. Выделяют четыре основных этапа:

1. Этап 1. Анализ условия задачи и составление краткой записи.

   На этом этапе необходимо внимательно прочитать текст задачи, чтобы понять ее смысл. Главная цель — выделить основные данные (известные величины), искомые величины (то, что нужно найти) и зависимости между ними. Для наглядности и лучшего понимания условия часто составляют краткую запись в виде таблицы, схемы, рисунка или простого перечисления данных. Это помогает структурировать информацию и подготовиться к следующему шагу.

2. Этап 2. Составление математической модели.

   Это ключевой этап, на котором происходит перевод задачи с обычного языка на язык математики. Для этого выбирают одну из искомых (или удобную для расчетов) величин и обозначают ее переменной, чаще всего $x$. Затем, используя зависимости, выявленные на первом этапе, все остальные неизвестные величины выражают через эту переменную. В результате всех действий составляется математическое выражение, уравнение, неравенство или система уравнений, которая описывает ситуацию из задачи. Эта система или уравнение и называется математической моделью задачи.

3. Этап 3. Работа с математической моделью (решение уравнения).

   На данном этапе выполняются чисто математические действия: решается уравнение, неравенство или система уравнений, полученная на предыдущем шаге. Здесь применяются известные алгоритмы, формулы и правила преобразования выражений для нахождения численного значения переменной (или переменных). Это техническая часть решения, требующая математических знаний и навыков.

4. Этап 4. Интерпретация результата и запись ответа.

   После нахождения математического решения (например, корней уравнения) необходимо вернуться к условию задачи. Полученные значения проверяют на соответствие реальности и условиям задачи. Например, если решалась задача про расстояние, отрицательный корень не может быть ответом. Нужно выбрать те решения, которые имеют физический или логический смысл в контексте задачи. После этого формулируется четкий и полный словесный ответ на поставленный в задаче вопрос. Часто на этом этапе также рекомендуется выполнить проверку, подставив найденный ответ обратно в условие задачи, чтобы убедиться в его правильности.

Ответ: Основные этапы решения текстовой задачи: 1) анализ условия задачи; 2) составление математической модели (уравнения); 3) решение полученной модели (уравнения); 4) интерпретация результата и запись ответа.

2. Из формулы $s=vt$ выразить $v$; $t$.

Дана формула $s = vt$, которая описывает связь между расстоянием s, скоростью v и временем t. Задача состоит в том, чтобы из этой формулы выразить поочередно скорость v и время t. Это делается с помощью алгебраических преобразований.

Выразим v

Чтобы выразить переменную v, нам нужно изолировать ее на одной стороне уравнения. Исходное уравнение: $s = vt$.

В правой части уравнения скорость v умножается на время t. Чтобы "освободить" v от множителя t, нужно выполнить обратное действие — деление. Разделим обе части уравнения на t.

$\frac{s}{t} = \frac{vt}{t}$

В правой части t в числителе и знаменателе сокращаются:

$\frac{s}{t} = v$

Для удобства прочтения поменяем части уравнения местами:

$v = \frac{s}{t}$

Это преобразование имеет смысл при условии, что $t \neq 0$, так как на ноль делить нельзя. В контексте физической задачи это означает, что время движения должно быть больше нуля.

Ответ: $v = \frac{s}{t}$

Выразим t

Теперь выразим переменную t из той же исходной формулы $s = vt$.

В правой части уравнения время t умножается на скорость v. Чтобы изолировать t, разделим обе части уравнения на v.

$\frac{s}{v} = \frac{vt}{v}$

В правой части v в числителе и знаменателе сокращаются:

$\frac{s}{v} = t$

Поменяем части уравнения местами для наглядности:

$t = \frac{s}{v}$

Это преобразование имеет смысл при условии, что $v \neq 0$. В контексте физической задачи это означает, что скорость объекта не равна нулю, то есть он находится в движении.

Ответ: $t = \frac{s}{v}$

3. Из формулы $p=\frac{A}{t}$ выразить $A$; $t$.

Чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить алгебраические преобразования исходной формулы $p = \frac{A}{t}$ для того, чтобы выразить каждую из требуемых переменных.

A:
Имеем исходную формулу:
$p = \frac{A}{t}$
Чтобы выразить переменную $A$, которая находится в числителе дроби, нужно умножить обе части уравнения на знаменатель $t$. Это позволит избавиться от деления на $t$ в правой части.
$p \cdot t = \frac{A}{t} \cdot t$
В правой части $t$ сокращается:
$p \cdot t = A$
Для удобства записи поменяем части уравнения местами:
Ответ: $A = p \cdot t$

t:
И снова начнем с исходной формулы:
$p = \frac{A}{t}$
Чтобы выразить переменную $t$, которая находится в знаменателе, сначала нужно переместить её в числитель. Для этого, как и в предыдущем шаге, умножим обе части уравнения на $t$:
$p \cdot t = A$
Теперь переменная $t$ умножается на $p$. Чтобы выделить $t$, разделим обе части получившегося уравнения на $p$ (при условии, что $p \neq 0$):
$\frac{p \cdot t}{p} = \frac{A}{p}$
В левой части $p$ сокращается:
Ответ: $t = \frac{A}{p}$

4. Что такое скорость движения объекта?

Скорость движения объекта — это физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения объекта в пространстве. Проще говоря, скорость показывает, какое расстояние объект проходит за определённую единицу времени. Понимание скорости является фундаментальным в кинематике — разделе механики, изучающем способы описания движения тел.

Существует несколько ключевых аспектов для полного понимания этого понятия.

Основное определение и виды скорости

В зависимости от характера движения и способа измерения, различают несколько видов скорости:

• Средняя скорость: Это отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Она используется для характеристики движения на всём его протяжении, особенно если скорость менялась. Например, если автомобиль проехал 120 км за 2 часа, его средняя скорость составит 60 км/ч, даже если он останавливался или ехал быстрее/медленнее на разных участках.
  Формула для средней путевой скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — общий путь, а $t_{общ}$ — общее время движения.
• Мгновенная скорость: Это скорость объекта в данный конкретный момент времени или в данной точке траектории. Именно её показывает спидометр автомобиля. С точки зрения математики, мгновенная скорость — это первая производная от пути по времени: $v = \frac{ds}{dt}$. Она описывает движение в бесконечно малый промежуток времени.

Скорость как скалярная и векторная величина

В физике важно различать понятия «скорость» (speed) и «вектор скорости» (velocity).

• Скорость (скаляр) — это величина, которая имеет только численное значение и не имеет направления. Она отвечает на вопрос «Как быстро?». Например: 80 км/ч.
• Вектор скорости (вектор) — это векторная величина, которая характеризуется не только численным значением (модулем), но и направлением в пространстве. Она отвечает на вопросы «Как быстро?» и «Куда?». Например: 80 км/ч на север. Вектор скорости обозначается как $\vec{v}$. Его модуль $|\vec{v}|$ и есть скалярная скорость. Вектор скорости определяется как производная радиус-вектора $\vec{r}$ по времени: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$.

Для прямолинейного движения без смены направления модуль вектора скорости равен пройденному пути, деленному на время. Однако при криволинейном движении или движении со сменой направления путь и модуль перемещения будут отличаться, а значит, будут отличаться и средняя путевая скорость и модуль средней скорости перемещения.

Единицы измерения

В Международной системе единиц (СИ) скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

На практике также широко используются другие единицы:

• Километры в час (км/ч): основная единица для измерения скорости транспорта. Для перевода используется соотношение: $1 \text{ м/с} = 3.6 \text{ км/ч}$.
• Мили в час (mph): используется в некоторых странах, например, в США и Великобритании.
• Узлы (морские мили в час): используются в мореплавании и авиации.

Ответ: Скорость движения объекта — это физическая величина, количественно характеризующая быстроту изменения его положения в пространстве. Она определяется как расстояние, пройденное объектом за единицу времени. Скорость может быть средней (на всём участке пути) или мгновенной (в конкретный момент времени), а также является векторной величиной, имеющей не только значение, но и направление. Основной единицей измерения в системе СИ является метр в секунду (м/с).

5. Что такое производительность труда?

Производительность труда — это ключевой экономический показатель, который характеризует эффективность (результативность) трудовой деятельности. Он показывает, какое количество продукции (товаров или услуг) производится в единицу рабочего времени, или, наоборот, сколько времени затрачивается на производство единицы продукции.

Простыми словами, производительность труда — это мера того, насколько продуктивно работники используют свое рабочее время и усилия. Рост этого показателя является основой экономического роста как для отдельного предприятия, так и для страны в целом. Он позволяет производить больше благ с теми же или меньшими затратами, что ведет к увеличению прибыли компаний, возможности повышения заработной платы, снижению цен на товары и повышению общего уровня жизни.

Как измеряется производительность труда

Для измерения производительности труда используют два основных взаимообратных показателя:

1. Выработка — это прямой показатель, отражающий объем продукции, произведенной одним работником за определенный период времени (час, смена, месяц, год). Это самый распространенный метод измерения.

   Формула для расчета выработки:

   $W = Q / T$

   где:

   • $W$ — выработка;
   • $Q$ — объем произведенной продукции (в натуральных единицах, например, штуках, тоннах, или в стоимостном выражении);
   • $T$ — затраты рабочего времени (в человеко-часах, человеко-днях) или среднесписочная численность работников.

2. Трудоемкость — это обратный показатель, который характеризует затраты рабочего времени на производство одной единицы продукции.

   Формула для расчета трудоемкости:

   $t = T / Q$

   где:

   • $t$ — трудоемкость;
   • $T$ — затраты рабочего времени;
   • $Q$ — объем произведенной продукции.

   Снижение трудоемкости означает рост производительности труда.

Факторы, влияющие на производительность труда

На уровень производительности труда воздействует множество факторов, которые можно разделить на несколько ключевых групп:

• Материально-технические факторы: внедрение новых технологий, автоматизация и механизация производства, использование современного оборудования, качество используемого сырья и материалов.
• Организационно-экономические факторы: эффективность управления, уровень организации труда и производства (например, специализация, кооперация), совершенствование логистики, системы мотивации и стимулирования персонала.
• Социально-психологические факторы: уровень квалификации, образования и навыков работников (человеческий капитал), условия труда (безопасность, комфорт), социально-психологический климат в коллективе, трудовая дисциплина и мотивация.
• Внешние факторы: общая экономическая ситуация в стране, государственная политика (налоговая, кредитная), развитие инфраструктуры, природно-климатические условия (особенно в сельском хозяйстве и добывающей промышленности).

Ответ: Производительность труда — это показатель эффективности трудовой деятельности, измеряющий количество продукции, произведенной за единицу времени (выработка), или количество времени, затраченного на производство единицы продукции (трудоемкость). Она рассчитывается по формулам $W = Q / T$ (выработка) и $t = T / Q$ (трудоемкость) и зависит от комплекса материально-технических, организационных и социальных факторов, а также от квалификации работников.

6. Как найти $n\%$ от числа $A$?

Чтобы найти $n\%$ от числа $A$, необходимо перевести проценты в числовое значение (дробь) и затем умножить на это значение число $A$. Существует несколько удобных способов это сделать.

Способ 1: Через перевод процентов в десятичную дробь

Это самый распространенный метод.

1. Сначала нужно представить проценты $n$ в виде десятичной дроби. Так как 1% — это одна сотая часть ($1\% = \frac{1}{100} = 0.01$), то для перевода нужно разделить количество процентов на 100.
   $n\% \rightarrow \frac{n}{100}$
2. Затем нужно умножить исходное число $A$ на полученную десятичную дробь.

Таким образом, общая формула для расчета:

$Результат = A \cdot \frac{n}{100}$

Пример: Найдем $30\%$ от числа 200.

Сначала переведем $30\%$ в дробь: $30 \div 100 = 0.3$.
Теперь умножим число 200 на 0.3: $200 \cdot 0.3 = 60$.

Способ 2: Через составление пропорции

Этот метод основан на соотношении частей и целого.

1. Принимаем исходное число $A$ за $100\%$.
2. Искомое число, которое составляет $n\%$ от $A$, обозначаем переменной, например $x$.
3. Составляем пропорцию:
   $A$ соответствует $100\%$
   $x$ соответствует $n\%$
4. Записываем это в виде математического соотношения и решаем его:
   $\frac{A}{x} = \frac{100}{n}$
   Из этого соотношения выражаем $x$:
   $x = \frac{A \cdot n}{100}$

Пример: Найдем $30\%$ от числа 200.

Составляем пропорцию:
$200 \rightarrow 100\%$
$x \rightarrow 30\%$

Решаем: $x = \frac{200 \cdot 30}{100} = \frac{6000}{100} = 60$.

Как видно, оба способа приводят к одной и той же формуле и результату.

Ответ: Чтобы найти $n\%$ от числа $A$, нужно число $A$ умножить на дробь $\frac{n}{100}$.

7. Как найти число, если $n\%$ его равны $B$?

Для того чтобы найти число, зная его процент, можно воспользоваться несколькими способами рассуждений. Обозначим искомое число переменной $X$.

Способ 1: Составление уравнения

Процент — это сотая часть чего-либо. Следовательно, $n$ процентов ($n\%$) можно представить в виде десятичной дроби или обыкновенной дроби, разделив $n$ на 100:

$n\% = \frac{n}{100}$

По условию задачи, $n\%$ от числа $X$ равны $B$. "От" в математике часто означает умножение. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$X \cdot \frac{n}{100} = B$

Чтобы найти $X$, нам нужно решить это уравнение относительно $X$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на 100:

$X \cdot n = B \cdot 100$

Теперь разделим обе части на $n$ (при условии, что $n$ не равно нулю):

$X = \frac{B \cdot 100}{n}$

Способ 2: Нахождение через 1%

Этот способ основан на логике поэтапного вычисления.

1. Нам известно, что $n\%$ от искомого числа равны $B$.

2. Сначала найдем, чему равен $1\%$ от этого числа. Если $n$ процентов — это $B$, то $1\%$ будет в $n$ раз меньше. Следовательно, нужно $B$ разделить на $n$:

Значение $1\%$ = $\frac{B}{n}$

3. Искомое число — это целое, то есть $100\%$. Если мы знаем, чему равен $1\%$, то чтобы найти $100\%$, нужно значение одного процента умножить на 100:

Искомое число $X = (\frac{B}{n}) \cdot 100$

Оба способа приводят к одной и той же формуле.

Пример:

Найдем число, если $20\%$ его равны 50.Здесь $n=20$, $B=50$.Используем формулу:$X = \frac{50 \cdot 100}{20} = \frac{5000}{20} = 250$.Проверка: $20\%$ от 250 это $250 \cdot \frac{20}{100} = 250 \cdot 0.2 = 50$. Все верно.

Ответ: Чтобы найти число, если $n\%$ его равны $B$, нужно $B$ умножить на 100 и разделить на $n$. Формула для нахождения искомого числа $X$ выглядит так: $X = \frac{B \cdot 100}{n}$.

1. Велосипедисту нужно проехать $s$ км за 3 ч. С какой скоростью он должен двигаться?

1. Чтобы определить, с какой скоростью должен двигаться велосипедист, необходимо использовать формулу для расчета скорости при равномерном движении. Скорость равна отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь был пройден.

Формула для нахождения скорости ($v$) выглядит так:

$v = \frac{S}{t}$

где $S$ — это расстояние (путь), а $t$ — время в пути.

В соответствии с условиями задачи, нам даны следующие значения:

Расстояние: $S = s$ км.

Время: $t = 3$ ч.

Теперь подставим эти данные в нашу формулу, чтобы найти скорость:

$v = \frac{s \text{ км}}{3 \text{ ч}} = \frac{s}{3}$ км/ч.

Следовательно, велосипедист должен двигаться со скоростью $\frac{s}{3}$ километров в час, чтобы преодолеть заданное расстояние за указанное время.

Ответ: $\frac{s}{3}$ км/ч.

2. Найти время движения лодки между пристанями A и B по течению и против течения реки, если расстояние AB равно 45 км, скорость лодки – 7 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч.

Для решения этой задачи нам даны следующие величины:
Расстояние между пристанями А и В: $S = 45$ км.
Собственная скорость лодки: $v_{лодки} = 7$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{течения} = 2$ км/ч.

Задача состоит в том, чтобы найти время движения лодки в двух случаях: по течению и против течения.

Время движения по течению

Когда лодка движется по течению, ее скорость относительно берега равна сумме ее собственной скорости и скорости течения реки.
Найдем скорость лодки по течению ($v_{по\ течению}$):
$v_{по\ течению} = v_{лодки} + v_{течения} = 7 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

Теперь, зная расстояние и скорость, мы можем найти время движения ($t_{по\ течению}$) по формуле $t = S/v$:
$t_{по\ течению} = \frac{S}{v_{по\ течению}} = \frac{45 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 5$ часов.

Ответ: время движения по течению составляет 5 часов.

Время движения против течения

Когда лодка движется против течения, ее скорость относительно берега равна разности ее собственной скорости и скорости течения реки.
Найдем скорость лодки против течения ($v_{против\ течения}$):
$v_{против\ течения} = v_{лодки} - v_{течения} = 7 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$.

Теперь, зная расстояние и скорость, мы можем найти время движения ($t_{против\ течения}$):
$t_{против\ течения} = \frac{S}{v_{против\ течения}} = \frac{45 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 9$ часов.

Ответ: время движения против течения составляет 9 часов.