Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

286. 1) Собранный виноград предполагалось уложить в ящики, по 9,2 кг в каждый. Вместо этих ящиков взяли другие, вмещающие по 13,2 кг каждый, и тогда потребовалось на 50 ящиков меньше. Сколько килограммов винограда было уложено?

2) Расстояние между станциями А и В пассажирский поезд проходит на 45 мин быстрее, чем товарный. Определить расстояние между этими станциями, если скорость пассажирского поезда равна 48 км/ч, а товарного — 36 км/ч.

1)

Пусть $x$ — это количество ящиков, которое предполагалось использовать изначально. Тогда общая масса винограда составляет $9,2 \cdot x$ кг.

Поскольку новых, более вместительных ящиков потребовалось на 50 штук меньше, их количество составило $(x - 50)$. Общая масса винограда в этом случае составляет $13,2 \cdot (x - 50)$ кг.

Так как общая масса винограда не изменилась, мы можем составить и решить уравнение:

$9,2 \cdot x = 13,2 \cdot (x - 50)$

$9,2x = 13,2x - 13,2 \cdot 50$

$9,2x = 13,2x - 660$

$13,2x - 9,2x = 660$

$4x = 660$

$x = 660 / 4$

$x = 165$

Таким образом, изначально планировалось использовать 165 ящиков. Теперь найдем общую массу винограда, подставив значение $x$ в одно из первоначальных выражений:

Масса винограда = $9,2 \text{ кг/ящик} \cdot 165 \text{ ящиков} = 1518$ кг.

Ответ: 1518 кг.

2)

Пусть $S$ (в км) — искомое расстояние между станциями А и В.

Время, которое тратит на этот путь пассажирский поезд, можно найти по формуле $t = S/v$. Скорость пассажирского поезда $v_п = 48$ км/ч, следовательно, время в пути $t_п = S/48$ ч.

Скорость товарного поезда $v_т = 36$ км/ч, следовательно, его время в пути $t_т = S/36$ ч.

По условию, пассажирский поезд проходит расстояние на 45 минут быстрее. Переведем 45 минут в часы: $45 \text{ мин} = 45/60 \text{ ч} = 3/4$ ч.

Разница во времени составляет: $t_т - t_п = 3/4$. Подставим выражения для времени и составим уравнение:

$\frac{S}{36} - \frac{S}{48} = \frac{3}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 36 и 48 — это 144.

$\frac{4S}{144} - \frac{3S}{144} = \frac{3}{4}$

$\frac{S}{144} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем $S$:

$S = \frac{3 \cdot 144}{4}$

$S = 3 \cdot 36$

$S = 108$

Таким образом, расстояние между станциями составляет 108 км.

Ответ: 108 км.

287. Суммарная масса первого и второго советских искусственных спутников Земли составила 592,4 кг. Первый спутник был легче третьего на 1243,4 кг, второй — на 818,2 кг. Найти массу каждого из трёх первых искусственных спутников Земли.

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие массы каждого из трёх спутников:

• Пусть $m_1$ — масса первого спутника (в кг).
• Пусть $m_2$ — масса второго спутника (в кг).
• Пусть $m_3$ — масса третьего спутника (в кг).

На основе условий задачи составим систему уравнений:

1. Суммарная масса первого и второго спутников равна 592,4 кг:

$m_1 + m_2 = 592,4$

2. Первый спутник был легче третьего на 1243,4 кг. Это можно записать как:

$m_1 = m_3 - 1243,4$

3. Второй спутник был легче третьего на 818,2 кг. Это можно записать как:

$m_2 = m_3 - 818,2$

Теперь мы можем подставить выражения для $m_1$ и $m_2$ из второго и третьего уравнений в первое уравнение, чтобы найти массу третьего спутника ($m_3$):

$(m_3 - 1243,4) + (m_3 - 818,2) = 592,4$

Упростим полученное уравнение:

$2 \cdot m_3 - 1243,4 - 818,2 = 592,4$

$2 \cdot m_3 - 2061,6 = 592,4$

Теперь перенесем известное слагаемое в правую часть уравнения:

$2 \cdot m_3 = 592,4 + 2061,6$

$2 \cdot m_3 = 2654$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $m_3$:

$m_3 = \frac{2654}{2}$

$m_3 = 1327$ кг

Мы нашли массу третьего спутника. Теперь, зная $m_3$, мы можем найти массы первого и второго спутников.

Масса первого спутника:

$m_1 = m_3 - 1243,4 = 1327 - 1243,4 = 83,6$ кг

Масса второго спутника:

$m_2 = m_3 - 818,2 = 1327 - 818,2 = 508,8$ кг

Проведем проверку: суммарная масса первого и второго спутников должна быть 592,4 кг.

$m_1 + m_2 = 83,6 + 508,8 = 592,4$ кг. Условие выполняется.

Ответ: масса первого спутника составляет 83,6 кг, масса второго спутника — 508,8 кг, а масса третьего спутника — 1327 кг.

288. При каком $x$ значение $3(x-1)-2(3-x)-1$ равно $1$?

Чтобы найти значение $x$, при котором выражение $3(x-1) - 2(3-x) - 1$ равно 1, необходимо составить и решить уравнение:

$3(x-1) - 2(3-x) - 1 = 1$

1. Раскроем скобки. При раскрытии второй скобки учтем знак "минус" перед ней, который изменит знаки слагаемых внутри на противоположные.

$3 \cdot x - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-x) - 1 = 1$

$3x - 3 - 6 + 2x - 1 = 1$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Сложим члены, содержащие переменную $x$, и числовые члены отдельно.

$(3x + 2x) + (-3 - 6 - 1) = 1$

$5x - 10 = 1$

3. Перенесем число -10 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на "+".

$5x = 1 + 10$

$5x = 11$

4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 5.

$x = \frac{11}{5}$

5. Представим результат в виде десятичной дроби.

$x = 2.2$

Таким образом, при $x = 2.2$ значение исходного выражения равно 1.

Ответ: $2.2$.

289. При каком значении x значения выражений: $\frac{3x-1}{5} - \frac{5x+1}{6}$ и $\frac{x+1}{8} - 3$ равны?

Чтобы найти значение $x$, при котором значения данных выражений равны, необходимо составить и решить уравнение, приравняв эти выражения друг к другу:

$ \frac{3x-1}{5} - \frac{5x+1}{6} = \frac{x+1}{8} - 3 $

Для решения этого уравнения сначала избавимся от дробей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 6 и 8.

НОК(5, 6, 8) = 120.

Теперь умножим обе части уравнения на 120:

$ 120 \cdot \left( \frac{3x-1}{5} \right) - 120 \cdot \left( \frac{5x+1}{6} \right) = 120 \cdot \left( \frac{x+1}{8} \right) - 120 \cdot 3 $

Выполним умножение и сократим дроби:

$ 24(3x-1) - 20(5x+1) = 15(x+1) - 360 $

Далее раскроем скобки в обеих частях уравнения. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой в левой части, так как он меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$ 72x - 24 - 100x - 20 = 15x + 15 - 360 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$ (72x - 100x) + (-24 - 20) = 15x + (15 - 360) $
$ -28x - 44 = 15x - 345 $

Сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $-28x$ в правую часть, а $-345$ — в левую, изменив их знаки при переносе:

$ 345 - 44 = 15x + 28x $

Выполним вычисления:

$ 301 = 43x $

Наконец, найдем $x$, разделив обе части уравнения на 43:

$ x = \frac{301}{43} $
$ x = 7 $

Ответ: 7

290. Подобрать число a такое, чтобы уравнение имело корни:

1) $5x - 7 = 5x - a;$

2) $x - (2 - x) = 2x - a;$

3) $\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x - (x - 8);$

4) $\frac{x}{3} + \frac{a}{5} = (x + 15) - \frac{2}{3}x.$

1) Дано уравнение $5x - 7 = 5x - a$.
Чтобы решить это уравнение, необходимо найти значение параметра $a$, при котором оно будет иметь хотя бы одно решение (корень).
Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:
$5x - 5x = 7 - a$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$0 \cdot x = 7 - a$
Мы получили уравнение вида $0 \cdot x = b$. Такое уравнение имеет корни только в одном случае: когда правая часть также равна нулю, то есть $b=0$. В этом случае ($0 \cdot x = 0$) решением является любое действительное число $x$, то есть уравнение имеет бесконечное множество корней. Если же $b \neq 0$, то уравнение не имеет решений, так как нет такого числа $x$, которое при умножении на 0 дало бы ненулевой результат.
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело корни, должно выполняться условие:
$7 - a = 0$
Отсюда находим значение $a$:
$a = 7$
Ответ: $a=7$.

2) Дано уравнение $x - (2 - x) = 2x - a$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$x - 2 + x = 2x - a$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x - 2 = 2x - a$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x - 2x = 2 - a$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x = 2 - a$
Как и в предыдущем задании, это уравнение будет иметь корни только в том случае, если его правая часть равна нулю.
$2 - a = 0$
Отсюда находим $a$:
$a = 2$
Ответ: $a=2$.

3) Дано уравнение $\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x - (x - 8)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x - x + 8$
Приведем подобные слагаемые с $x$ в правой части:
$\frac{1}{2}x - x = \frac{1}{2}x - \frac{2}{2}x = -\frac{1}{2}x$
Уравнение принимает вид:
$\frac{a}{2} - \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}x + 8$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$-\frac{x}{2} + \frac{1}{2}x = 8 - \frac{a}{2}$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x = 8 - \frac{a}{2}$
Уравнение имеет корни только тогда, когда его правая часть обращается в нуль.
$8 - \frac{a}{2} = 0$
$8 = \frac{a}{2}$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $a$:
$a = 16$
Ответ: $a=16$.

4) Дано уравнение $\frac{x}{3} + \frac{a}{5} = (x + 15) - \frac{2}{3}x$.
Сначала упростим правую часть уравнения, сгруппировав слагаемые с $x$:
$x + 15 - \frac{2}{3}x = (x - \frac{2}{3}x) + 15 = (\frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x) + 15 = \frac{1}{3}x + 15$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{x}{3} + \frac{a}{5} = \frac{1}{3}x + 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$\frac{x}{3} - \frac{1}{3}x = 15 - \frac{a}{5}$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x = 15 - \frac{a}{5}$
Данное уравнение будет иметь корни только в том случае, если его правая часть равна нулю.
$15 - \frac{a}{5} = 0$
$15 = \frac{a}{5}$
Умножим обе части на 5, чтобы найти $a$:
$a = 15 \cdot 5$
$a = 75$
Ответ: $a=75$.

291. При каких значениях $a$ уравнение $|x|=a$:

1) не имеет корней;

2) имеет только один корень?

Данное уравнение — это $|x| = a$. Для его решения необходимо проанализировать возможные значения параметра $a$.

1) не имеет корней

По определению, модуль числа (абсолютная величина), обозначаемый как $|x|$, является расстоянием от точки $x$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому значение $|x|$ всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Уравнение $|x| = a$ представляет собой равенство неотрицательной величины $|x|$ и числа $a$. Такое равенство может быть верным только если $a$ также является неотрицательным числом ($a \ge 0$).

Если же параметр $a$ принимает отрицательное значение ($a < 0$), то уравнение $|x| = a$ не имеет решений, так как неотрицательная величина не может равняться отрицательной. Например, уравнение $|x| = -3$ не имеет корней.

Ответ: при $a < 0$.

2) имеет только один корень

Рассмотрим количество корней уравнения $|x| = a$ в зависимости от значения $a$.

• Если $a > 0$ (положительное число), то уравнение $|x| = a$ имеет два корня. Это числа, расстояние от которых до нуля равно $a$. Такими числами являются $x_1 = a$ и $x_2 = -a$. Например, для уравнения $|x| = 5$ корнями являются $x=5$ и $x=-5$.
• Если $a < 0$ (отрицательное число), как было показано в пункте 1, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $|x| = 0$. Единственное число, модуль которого равен нулю, — это само число ноль. Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

Следовательно, уравнение $|x| = a$ имеет только один корень в единственном случае, когда правая часть равна нулю.

Ответ: при $a = 0$.

292. Решить уравнение, принимая за неизвестное $x$, и выяснить, при каких значениях $a$ это уравнение имеет корни:

1) $2x - 3(x - a) = 3 + a;$

2) $a + 6(x - 1) = 2a + x;$

3) $\frac{ax - 2}{2} = \frac{3 - ax}{4};$

4) $\frac{5 - ax}{3} = \frac{7 - ax}{6};$

5) $ax - 3(1 + x) = 5;$

6) $7 - ax = 2(3 + x).$

1) $2x - 3(x - a) = 3 + a$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x - 3x + 3a = 3 + a$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части, а остальные — в правой:
$-x = 3 + a - 3a$
$-x = 3 - 2a$

Умножим обе части на $-1$, чтобы выразить $x$:
$x = -(3 - 2a)$
$x = 2a - 3$

Это линейное уравнение относительно $x$. Коэффициент при $x$ равен $-1$ и не зависит от параметра $a$. Так как этот коэффициент не равен нулю, уравнение всегда имеет единственный корень при любом значении $a$.

Ответ: $x = 2a - 3$; уравнение имеет корни при любом значении $a$.

2) $a + 6(x - 1) = 2a + x$

Раскроем скобки в левой части:
$a + 6x - 6 = 2a + x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части, а остальные — в правой:
$6x - x = 2a - a + 6$
$5x = a + 6$

Выразим $x$:
$x = \frac{a + 6}{5}$

Коэффициент при $x$ равен $5$ и не зависит от параметра $a$. Так как он не равен нулю, уравнение всегда имеет единственный корень при любом значении $a$.

Ответ: $x = \frac{a + 6}{5}$; уравнение имеет корни при любом значении $a$.

3) $\frac{ax - 2}{2} = \frac{3 - ax}{4}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $4$:
$4 \cdot \frac{ax - 2}{2} = 4 \cdot \frac{3 - ax}{4}$
$2(ax - 2) = 3 - ax$

Раскроем скобки:
$2ax - 4 = 3 - ax$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$2ax + ax = 3 + 4$
$3ax = 7$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = 3a$ и $B = 7$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $3a \ne 0$, то есть $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{7}{3a}$.
2. Если $3a = 0$, то есть $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 7$. Это равенство неверно, поэтому при $a = 0$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{7}{3a}$; уравнение имеет корни при $a \ne 0$.

4) $\frac{5 - ax}{3} = \frac{7 - ax}{6}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $6$:
$6 \cdot \frac{5 - ax}{3} = 6 \cdot \frac{7 - ax}{6}$
$2(5 - ax) = 7 - ax$

Раскроем скобки:
$10 - 2ax = 7 - ax$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$10 - 7 = 2ax - ax$
$3 = ax$ или $ax = 3$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = a$ и $B = 3$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3}{a}$.
2. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$. Это равенство неверно, поэтому при $a = 0$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{3}{a}$; уравнение имеет корни при $a \ne 0$.

5) $ax - 3(1 + x) = 5$

Раскроем скобки:
$ax - 3 - 3x = 5$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и вынесем $x$ за скобки:
$ax - 3x = 5 + 3$
$(a - 3)x = 8$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = a-3$ и $B = 8$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a - 3 \ne 0$, то есть $a \ne 3$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{8}{a - 3}$.
2. Если $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 8$. Это равенство неверно, поэтому при $a = 3$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{8}{a - 3}$; уравнение имеет корни при $a \ne 3$.

6) $7 - ax = 2(3 + x)$

Раскроем скобки в правой части:
$7 - ax = 6 + 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$7 - 6 = ax + 2x$

Вынесем $x$ за скобки:
$1 = (a + 2)x$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = a+2$ и $B = 1$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a + 2 \ne 0$, то есть $a \ne -2$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{a + 2}$.
2. Если $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 1$. Это равенство неверно, поэтому при $a = -2$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{1}{a + 2}$; уравнение имеет корни при $a \ne -2$.

293. Первый час туристы шли на станцию со скоростью 3,5 км/ч. Если они и дальше будут идти с той же скоростью, то придут на час позже намеченного срока. Увеличив скорость на 1,5 км/ч, туристы прибыли на станцию на 30 мин раньше намеченного срока. Какой путь прошли туристы?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S_{ост}$ (в км) — это оставшийся путь после первого часа ходьбы, а $t_{план}$ (в часах) — это плановое время, за которое туристы должны были пройти этот оставшийся путь.

За первый час туристы прошли $3.5 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 3.5$ км.

Рассмотрим первый гипотетический сценарий.

Если бы туристы продолжали идти с той же скоростью $v_1 = 3.5$ км/ч, то время, затраченное на оставшийся путь $S_{ост}$, составило бы $t_1 = \frac{S_{ост}}{3.5}$ ч. По условию, они пришли бы на 1 час позже намеченного срока. Это означает, что время, затраченное на оставшийся путь, было бы на 1 час больше запланированного времени $t_{план}$.

Составим первое уравнение:

$\frac{S_{ост}}{3.5} = t_{план} + 1$

Рассмотрим второй, реальный, сценарий.

Туристы увеличили скорость на 1,5 км/ч. Их новая скорость на оставшемся участке пути стала $v_2 = 3.5 + 1.5 = 5$ км/ч. Время, которое они потратили на оставшийся путь, равно $t_2 = \frac{S_{ост}}{5}$ ч. По условию, они прибыли на 30 минут (то есть 0,5 часа) раньше намеченного срока. Это означает, что время, затраченное на оставшийся путь, было на 0,5 часа меньше запланированного времени $t_{план}$.

Составим второе уравнение:

$\frac{S_{ост}}{5} = t_{план} - 0.5$

Решим систему из двух уравнений.

Мы получили систему:

$\begin{cases} \frac{S_{ост}}{3.5} = t_{план} + 1 \\ \frac{S_{ост}}{5} = t_{план} - 0.5 \end{cases}$

Выразим $t_{план}$ из обоих уравнений:

$t_{план} = \frac{S_{ост}}{3.5} - 1$

$t_{план} = \frac{S_{ост}}{5} + 0.5$

Теперь приравняем правые части этих выражений, чтобы найти $S_{ост}$:

$\frac{S_{ост}}{3.5} - 1 = \frac{S_{ост}}{5} + 0.5$

Перенесем слагаемые с $S_{ост}$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$\frac{S_{ост}}{3.5} - \frac{S_{ост}}{5} = 1 + 0.5$

$\frac{S_{ост}}{3.5} - \frac{S_{ост}}{5} = 1.5$

Приведем дроби к общему знаменателю (35):

$\frac{10 \cdot S_{ост}}{35} - \frac{7 \cdot S_{ост}}{35} = 1.5$

$\frac{3 \cdot S_{ост}}{35} = 1.5$

Теперь найдем $S_{ост}$:

$3 \cdot S_{ост} = 1.5 \times 35$

$3 \cdot S_{ост} = 52.5$

$S_{ост} = \frac{52.5}{3} = 17.5$ км.

Найдем общий путь.

Общий путь, который прошли туристы, равен сумме расстояния, пройденного в первый час, и оставшегося пути:

$S_{общ} = 3.5 \text{ км} + S_{ост} = 3.5 + 17.5 = 21$ км.

Ответ: 21 км.

294. Расстояние между двумя посёлками равно 9 км. Дорога имеет подъём, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъёме равна 4 км/ч, на равнинном участке 5 км/ч, а на спуске 6 км/ч. Сколько километров составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного посёлка до другого и обратно за 3 ч 41 мин?

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие длины каждого участка дороги. Пусть:

• $x$ — длина подъёма в километрах.
• $y$ — длина равнинного участка в километрах (искомая величина).
• $z$ — длина спуска в километрах.

Согласно условию, общее расстояние между посёлками составляет 9 км. Это дает нам первое уравнение:

$x + y + z = 9$

Далее рассмотрим время, затраченное пешеходом на путь туда и обратно. Общее время составляет 3 часа 41 минуту. Переведем это значение в часы для удобства расчетов:

$3 \text{ ч } 41 \text{ мин } = 3 + \frac{41}{60} \text{ ч} = \frac{180 + 41}{60} \text{ ч} = \frac{221}{60} \text{ ч}$

Время движения по каждому участку определяется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь из первого посёлка во второй ($T_1$), складывается из времени на подъёме (скорость 4 км/ч), равнине (скорость 5 км/ч) и спуске (скорость 6 км/ч):

$T_1 = \frac{x}{4} + \frac{y}{5} + \frac{z}{6}$

При движении в обратном направлении подъём становится спуском (скорость 6 км/ч), а спуск — подъёмом (скорость 4 км/ч). Скорость на равнинном участке не меняется. Поэтому время на обратный путь ($T_2$) будет:

$T_2 = \frac{x}{6} + \frac{y}{5} + \frac{z}{4}$

Общее время $T_{\text{общ}}$ равно сумме времени $T_1$ и $T_2$:

$T_{\text{общ}} = T_1 + T_2 = \left(\frac{x}{4} + \frac{y}{5} + \frac{z}{6}\right) + \left(\frac{x}{6} + \frac{y}{5} + \frac{z}{4}\right) = \frac{221}{60}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{6}\right) + \left(\frac{y}{5} + \frac{y}{5}\right) + \left(\frac{z}{6} + \frac{z}{4}\right) = \frac{221}{60}$

Приведем дроби к общему знаменателю для каждой группы:

$\left(\frac{3x + 2x}{12}\right) + \frac{2y}{5} + \left(\frac{2z + 3z}{12}\right) = \frac{221}{60}$

$\frac{5x}{12} + \frac{2y}{5} + \frac{5z}{12} = \frac{221}{60}$

Сгруппируем члены с $x$ и $z$:

$\frac{5}{12}(x + z) + \frac{2y}{5} = \frac{221}{60}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Из первого уравнения ($x + y + z = 9$) выразим сумму длин подъёма и спуска $(x+z)$ через длину равнины $(y)$:

$x + z = 9 - y$

Подставим это выражение в уравнение времени:

$\frac{5}{12}(9 - y) + \frac{2y}{5} = \frac{221}{60}$

Мы получили линейное уравнение с одной переменной $y$. Решим его. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (12, 5, 60), который равен 60:

$60 \cdot \frac{5}{12}(9 - y) + 60 \cdot \frac{2y}{5} = 60 \cdot \frac{221}{60}$

$5 \cdot 5(9 - y) + 12 \cdot 2y = 221$

$25(9 - y) + 24y = 221$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$225 - 25y + 24y = 221$

$225 - y = 221$

$y = 225 - 221$

$y = 4$

Таким образом, протяженность равнинного участка составляет 4 километра.

Ответ: 4 км.