Номер 294, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

294. Расстояние между двумя посёлками равно 9 км. Дорога имеет подъём, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъёме равна 4 км/ч, на равнинном участке 5 км/ч, а на спуске 6 км/ч. Сколько километров составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного посёлка до другого и обратно за 3 ч 41 мин?

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие длины каждого участка дороги. Пусть:

• $x$ — длина подъёма в километрах.
• $y$ — длина равнинного участка в километрах (искомая величина).
• $z$ — длина спуска в километрах.

Согласно условию, общее расстояние между посёлками составляет 9 км. Это дает нам первое уравнение:

$x + y + z = 9$

Далее рассмотрим время, затраченное пешеходом на путь туда и обратно. Общее время составляет 3 часа 41 минуту. Переведем это значение в часы для удобства расчетов:

$3 \text{ ч } 41 \text{ мин } = 3 + \frac{41}{60} \text{ ч} = \frac{180 + 41}{60} \text{ ч} = \frac{221}{60} \text{ ч}$

Время движения по каждому участку определяется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь из первого посёлка во второй ($T_1$), складывается из времени на подъёме (скорость 4 км/ч), равнине (скорость 5 км/ч) и спуске (скорость 6 км/ч):

$T_1 = \frac{x}{4} + \frac{y}{5} + \frac{z}{6}$

При движении в обратном направлении подъём становится спуском (скорость 6 км/ч), а спуск — подъёмом (скорость 4 км/ч). Скорость на равнинном участке не меняется. Поэтому время на обратный путь ($T_2$) будет:

$T_2 = \frac{x}{6} + \frac{y}{5} + \frac{z}{4}$

Общее время $T_{\text{общ}}$ равно сумме времени $T_1$ и $T_2$:

$T_{\text{общ}} = T_1 + T_2 = \left(\frac{x}{4} + \frac{y}{5} + \frac{z}{6}\right) + \left(\frac{x}{6} + \frac{y}{5} + \frac{z}{4}\right) = \frac{221}{60}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{6}\right) + \left(\frac{y}{5} + \frac{y}{5}\right) + \left(\frac{z}{6} + \frac{z}{4}\right) = \frac{221}{60}$

Приведем дроби к общему знаменателю для каждой группы:

$\left(\frac{3x + 2x}{12}\right) + \frac{2y}{5} + \left(\frac{2z + 3z}{12}\right) = \frac{221}{60}$

$\frac{5x}{12} + \frac{2y}{5} + \frac{5z}{12} = \frac{221}{60}$

Сгруппируем члены с $x$ и $z$:

$\frac{5}{12}(x + z) + \frac{2y}{5} = \frac{221}{60}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Из первого уравнения ($x + y + z = 9$) выразим сумму длин подъёма и спуска $(x+z)$ через длину равнины $(y)$:

$x + z = 9 - y$

Подставим это выражение в уравнение времени:

$\frac{5}{12}(9 - y) + \frac{2y}{5} = \frac{221}{60}$

Мы получили линейное уравнение с одной переменной $y$. Решим его. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (12, 5, 60), который равен 60:

$60 \cdot \frac{5}{12}(9 - y) + 60 \cdot \frac{2y}{5} = 60 \cdot \frac{221}{60}$

$5 \cdot 5(9 - y) + 12 \cdot 2y = 221$

$25(9 - y) + 24y = 221$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$225 - 25y + 24y = 221$

$225 - y = 221$

$y = 225 - 221$

$y = 4$

Таким образом, протяженность равнинного участка составляет 4 километра.

Ответ: 4 км.