Номер 1, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. (Задача о жизни Диофанта.) Диофант провёл шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую — в юности; после седьмой части, проведённой в бездетном супружестве, и ещё после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант?

1. (Задача о жизни Диофанта.)

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество лет, которые прожил Диофант.

Согласно условию задачи, всю жизнь Диофанта можно представить как сумму нескольких периодов:
- Детство: шестая часть жизни, то есть $\frac{x}{6}$ лет.
- Юность: двенадцатая часть жизни, то есть $\frac{x}{12}$ лет.
- Бездетное супружество: седьмая часть жизни, то есть $\frac{x}{7}$ лет.
- Период до рождения сына: 5 лет.
- Период жизни с сыном: сын прожил половину жизни отца, то есть $\frac{x}{2}$ лет.
- Жизнь после смерти сына: 4 года.

Сумма всех этих периодов составляет полную продолжительность жизни Диофанта, $x$. На основании этого составим линейное уравнение:

$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$

Упростим уравнение, сложив числовые слагаемые в левой части: $5 + 4 = 9$.

$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 9 = x$

Теперь сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.

$9 = x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2}$

Для того чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 6, 12, 7 и 2 равно 84.

$9 = \frac{84x}{84} - \frac{14x}{84} - \frac{7x}{84} - \frac{12x}{84} - \frac{42x}{84}$

Объединим дроби в правой части:

$9 = \frac{84x - 14x - 7x - 12x - 42x}{84}$

$9 = \frac{(84 - 14 - 7 - 12 - 42)x}{84}$

Вычислим выражение в скобках: $84 - 14 - 7 - 12 - 42 = 9$.

$9 = \frac{9x}{84}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9 и затем умножим на 84:

$1 = \frac{x}{84}$

$x = 84$

Таким образом, Диофант прожил 84 года. Проверим, соответствуют ли периоды его жизни этому возрасту:
- Детство: $\frac{84}{6} = 14$ лет.
- Юность: $\frac{84}{12} = 7$ лет.
- Бездетный брак: $\frac{84}{7} = 12$ лет.
- До рождения сына: 5 лет.
- Жизнь сына: $\frac{84}{2} = 42$ года.
- После смерти сына: 4 года.
Сумма: $14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84$ года.
Решение верно.

Ответ: Диофант прожил 84 года.