Номер 293, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения с одним неизвестным - номер 293, страница 98.

Условие.

293. Первый час туристы шли на станцию со скоростью 3,5 км/ч. Если они и дальше будут идти с той же скоростью, то придут на час позже намеченного срока. Увеличив скорость на 1,5 км/ч, туристы прибыли на станцию на 30 мин раньше намеченного срока. Какой путь прошли туристы?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S_{ост}$ (в км) — это оставшийся путь после первого часа ходьбы, а $t_{план}$ (в часах) — это плановое время, за которое туристы должны были пройти этот оставшийся путь.

За первый час туристы прошли $3.5 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 3.5$ км.

Рассмотрим первый гипотетический сценарий.

Если бы туристы продолжали идти с той же скоростью $v_1 = 3.5$ км/ч, то время, затраченное на оставшийся путь $S_{ост}$, составило бы $t_1 = \frac{S_{ост}}{3.5}$ ч. По условию, они пришли бы на 1 час позже намеченного срока. Это означает, что время, затраченное на оставшийся путь, было бы на 1 час больше запланированного времени $t_{план}$.

Составим первое уравнение:

$\frac{S_{ост}}{3.5} = t_{план} + 1$

Рассмотрим второй, реальный, сценарий.

Туристы увеличили скорость на 1,5 км/ч. Их новая скорость на оставшемся участке пути стала $v_2 = 3.5 + 1.5 = 5$ км/ч. Время, которое они потратили на оставшийся путь, равно $t_2 = \frac{S_{ост}}{5}$ ч. По условию, они прибыли на 30 минут (то есть 0,5 часа) раньше намеченного срока. Это означает, что время, затраченное на оставшийся путь, было на 0,5 часа меньше запланированного времени $t_{план}$.

Составим второе уравнение:

$\frac{S_{ост}}{5} = t_{план} - 0.5$

Решим систему из двух уравнений.

Мы получили систему:

$\begin{cases} \frac{S_{ост}}{3.5} = t_{план} + 1 \\ \frac{S_{ост}}{5} = t_{план} - 0.5 \end{cases}$

Выразим $t_{план}$ из обоих уравнений:

$t_{план} = \frac{S_{ост}}{3.5} - 1$

$t_{план} = \frac{S_{ост}}{5} + 0.5$

Теперь приравняем правые части этих выражений, чтобы найти $S_{ост}$:

$\frac{S_{ост}}{3.5} - 1 = \frac{S_{ост}}{5} + 0.5$

Перенесем слагаемые с $S_{ост}$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$\frac{S_{ост}}{3.5} - \frac{S_{ост}}{5} = 1 + 0.5$

$\frac{S_{ост}}{3.5} - \frac{S_{ост}}{5} = 1.5$

Приведем дроби к общему знаменателю (35):

$\frac{10 \cdot S_{ост}}{35} - \frac{7 \cdot S_{ост}}{35} = 1.5$

$\frac{3 \cdot S_{ост}}{35} = 1.5$

Теперь найдем $S_{ост}$:

$3 \cdot S_{ост} = 1.5 \times 35$

$3 \cdot S_{ост} = 52.5$

$S_{ост} = \frac{52.5}{3} = 17.5$ км.

Найдем общий путь.

Общий путь, который прошли туристы, равен сумме расстояния, пройденного в первый час, и оставшегося пути:

$S_{общ} = 3.5 \text{ км} + S_{ост} = 3.5 + 17.5 = 21$ км.

Ответ: 21 км.