Номер 292, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

292. Решить уравнение, принимая за неизвестное $x$, и выяснить, при каких значениях $a$ это уравнение имеет корни:

1) $2x - 3(x - a) = 3 + a;$

2) $a + 6(x - 1) = 2a + x;$

3) $\frac{ax - 2}{2} = \frac{3 - ax}{4};$

4) $\frac{5 - ax}{3} = \frac{7 - ax}{6};$

5) $ax - 3(1 + x) = 5;$

6) $7 - ax = 2(3 + x).$

1) $2x - 3(x - a) = 3 + a$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x - 3x + 3a = 3 + a$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части, а остальные — в правой:
$-x = 3 + a - 3a$
$-x = 3 - 2a$

Умножим обе части на $-1$, чтобы выразить $x$:
$x = -(3 - 2a)$
$x = 2a - 3$

Это линейное уравнение относительно $x$. Коэффициент при $x$ равен $-1$ и не зависит от параметра $a$. Так как этот коэффициент не равен нулю, уравнение всегда имеет единственный корень при любом значении $a$.

Ответ: $x = 2a - 3$; уравнение имеет корни при любом значении $a$.

2) $a + 6(x - 1) = 2a + x$

Раскроем скобки в левой части:
$a + 6x - 6 = 2a + x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части, а остальные — в правой:
$6x - x = 2a - a + 6$
$5x = a + 6$

Выразим $x$:
$x = \frac{a + 6}{5}$

Коэффициент при $x$ равен $5$ и не зависит от параметра $a$. Так как он не равен нулю, уравнение всегда имеет единственный корень при любом значении $a$.

Ответ: $x = \frac{a + 6}{5}$; уравнение имеет корни при любом значении $a$.

3) $\frac{ax - 2}{2} = \frac{3 - ax}{4}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $4$:
$4 \cdot \frac{ax - 2}{2} = 4 \cdot \frac{3 - ax}{4}$
$2(ax - 2) = 3 - ax$

Раскроем скобки:
$2ax - 4 = 3 - ax$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$2ax + ax = 3 + 4$
$3ax = 7$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = 3a$ и $B = 7$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $3a \ne 0$, то есть $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{7}{3a}$.
2. Если $3a = 0$, то есть $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 7$. Это равенство неверно, поэтому при $a = 0$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{7}{3a}$; уравнение имеет корни при $a \ne 0$.

4) $\frac{5 - ax}{3} = \frac{7 - ax}{6}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $6$:
$6 \cdot \frac{5 - ax}{3} = 6 \cdot \frac{7 - ax}{6}$
$2(5 - ax) = 7 - ax$

Раскроем скобки:
$10 - 2ax = 7 - ax$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$10 - 7 = 2ax - ax$
$3 = ax$ или $ax = 3$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = a$ и $B = 3$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3}{a}$.
2. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$. Это равенство неверно, поэтому при $a = 0$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{3}{a}$; уравнение имеет корни при $a \ne 0$.

5) $ax - 3(1 + x) = 5$

Раскроем скобки:
$ax - 3 - 3x = 5$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и вынесем $x$ за скобки:
$ax - 3x = 5 + 3$
$(a - 3)x = 8$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = a-3$ и $B = 8$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a - 3 \ne 0$, то есть $a \ne 3$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{8}{a - 3}$.
2. Если $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 8$. Это равенство неверно, поэтому при $a = 3$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{8}{a - 3}$; уравнение имеет корни при $a \ne 3$.

6) $7 - ax = 2(3 + x)$

Раскроем скобки в правой части:
$7 - ax = 6 + 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$7 - 6 = ax + 2x$

Вынесем $x$ за скобки:
$1 = (a + 2)x$

Это уравнение вида $Ax = B$, где $A = a+2$ и $B = 1$. Уравнение имеет решение, если коэффициент $A$ при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a + 2 \ne 0$, то есть $a \ne -2$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{a + 2}$.
2. Если $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 1$. Это равенство неверно, поэтому при $a = -2$ корней нет.

Ответ: $x = \frac{1}{a + 2}$; уравнение имеет корни при $a \ne -2$.