Номер 291, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

291. При каких значениях $a$ уравнение $|x|=a$:

1) не имеет корней;

2) имеет только один корень?

Данное уравнение — это $|x| = a$. Для его решения необходимо проанализировать возможные значения параметра $a$.

1) не имеет корней

По определению, модуль числа (абсолютная величина), обозначаемый как $|x|$, является расстоянием от точки $x$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому значение $|x|$ всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Уравнение $|x| = a$ представляет собой равенство неотрицательной величины $|x|$ и числа $a$. Такое равенство может быть верным только если $a$ также является неотрицательным числом ($a \ge 0$).

Если же параметр $a$ принимает отрицательное значение ($a < 0$), то уравнение $|x| = a$ не имеет решений, так как неотрицательная величина не может равняться отрицательной. Например, уравнение $|x| = -3$ не имеет корней.

Ответ: при $a < 0$.

2) имеет только один корень

Рассмотрим количество корней уравнения $|x| = a$ в зависимости от значения $a$.

• Если $a > 0$ (положительное число), то уравнение $|x| = a$ имеет два корня. Это числа, расстояние от которых до нуля равно $a$. Такими числами являются $x_1 = a$ и $x_2 = -a$. Например, для уравнения $|x| = 5$ корнями являются $x=5$ и $x=-5$.
• Если $a < 0$ (отрицательное число), как было показано в пункте 1, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $|x| = 0$. Единственное число, модуль которого равен нулю, — это само число ноль. Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

Следовательно, уравнение $|x| = a$ имеет только один корень в единственном случае, когда правая часть равна нулю.

Ответ: при $a = 0$.